2021年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)

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1、0 0 01 𝑡𝑎𝑛𝛼32𝜋𝑛 1 𝑎 𝑎𝑛𝑛2021 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合𝐴 = 𝑥|𝑙𝑔𝑥 3，则𝐴 𝐵 = ( )A.(0, +)B.(3,10) C.(, +)D.(3, +)2.若复数𝑧 = (1 + 𝑖

2、)(2 𝑖) ，则复数 z 的虚部为( )A.3B.3C.1D.i3.命题“𝑥 0，使是𝑥 2 + 𝑥 + 1 0”的否定是( )A. 𝑥 0，使得𝑥 2 + 𝑥 + 1 0B.𝑥 0，使得𝑥 2 + 𝑥 + 1 0 0 0 0C.𝑥 0，使得𝑥2+ 𝑥 + 1 0D.𝑥 0，使得𝑥2+ 𝑥 + 1 04.袋子中有 5 个大小质地完全相同的球

3、，其中 3 个红球和 2 个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球， 则摸出的两个球颜色相同的概率为( )A.15B.25C.35D.455.已知sin(𝛼 + 𝛽) =23，sin(𝛼 𝛽) = ，则 的值为( )3 tan𝛽A.13B.13C.3D.36.在 𝐴𝐵𝐶 中，已知𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ，D 为 BC 边中点，点 O 在直线 AD 上，且𝐵𝐶𝐵

4、9874;=3，则BC 边的长度为 ( )A.6B.23C.26D.67.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 的球 O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( )3A.4𝜋B.8𝜋C.12𝜋D.16𝜋8.已知 P 是曲线𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑥 0,3𝜋4)上的动点，点 Q 在直线𝑥 + 𝑦 6 = 0上运动，则当|&

5、#119875;𝑄| 取最小值时，点 P 的横坐标为( )9.𝜋𝜋B.A.43已知数列𝑎 的前 n 项和𝑆 𝑛 𝑛满足𝑆= 𝑛2𝜋C.2，记数列𝑛 𝑛+12𝜋D.3的前 n 项和为𝑇 ，𝑛 𝑁 .则使得𝑇2041成立的 n 的最大值为( )A.17B.18C.19D.2010. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的

6、污染物数量𝑃(𝑚𝑔/𝐿) 与时间𝑡()之间的关系为𝑃 = 𝑃 𝑒 𝑘𝑡 .如果前 2 小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为( )(参考数据： 0𝑙𝑛2 0.69，𝑙𝑛3 1.10，𝑙𝑛5 1.61) 第 1 页，共 18 页2|𝐴𝐵| 55 2 42 2 2 𝑥w

7、910;1 2 1 21 1 1 1 22 A.4hB.6hC.8hD.10h11. 已知 F 为抛物线𝑦2= 2𝑥 的焦点，A 为抛物线上的动点，点𝐵(1,0). 则当2|𝐴𝐹|1取最大值时，|𝐴𝐵|的值为( )A.2B.5C.6D.2212. 已知四面体 ABCD 的所有棱长均为2，M，N 分别为棱 AD，BC 的中点，F 为棱 AB 上异于 A，B 的动 点.有下列结论：线段 MN 的长度为 1；若点 G 为线段 MN 上的动点，则无论点 F 与 G 如何运动，直线 FG 与直

8、线 CD 都是异面直线； 𝑀𝐹𝑁的余弦值的取值范围为0, )5 𝐹𝑀𝑁周长的最小值为2 1其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知函数𝑓(𝑥) =𝑥 2 𝑥, 𝑥 0, 𝑏 0)的左，右焦点分别为𝐹 ，𝐹 ，以𝐹 𝐹𝑎 2 𝑏 2为直径的圆

9、与双曲线在第一象限内的交点为 P，直线𝑃𝐹 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为𝑄. 若点 Q 恰好为线段 𝑃𝐹 的中点， 则直线𝑃𝐹 的斜率的值为_ 16. 已知定义在 R 上的函数𝑓(𝑥) 满足𝑓(𝑥) = 𝑓(2 𝑥) ，且对任意的𝑥 ，𝑥 1, ) ，当𝑥 𝑥1 2时，都有𝑥 𝑓(

10、19909; ) 𝑥 𝑓(𝑥 ) 𝑥 𝑓(𝑥 ) 𝑥 𝑓(𝑥 )成立.若𝑎 = 𝑓(𝑙𝑛2)，𝑏 = 𝑓(log 0.03) ，𝑐 = 𝑓(2 1 1 2 2 1 2 2 1 0.2c 的大小关系为_ . (用符号“ 𝑏 0)经过点𝐴(1, )𝑎 2 𝑏 2 2(

11、1)求椭圆 C 的方程；，其长半轴长为 2(2)设经过点𝐵(1,0) 的直线 l与椭圆 C 相交于 D，E 两点，点 E 关于 x 轴的对称点为 F，直线 DF 与 x轴相交于点 G， 𝐷𝐸𝐺 的面积 S 的取值范围21.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥 +𝑎𝑥 (𝑎 1)𝑙𝑛𝑥 2，其中𝑎 𝑅 (1)若𝑓(𝑥)存在唯一极值点，且极值

12、为 0，求 a 的值；(2)讨论𝑓(𝑥)在区间1, 𝑒2上的零点个数第 4 页，共 18 页| 𝑂𝑃|2 2 1 𝑏1 𝑎22.在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为𝑥 = 1 + cos𝜙 𝑦 = sin𝜙(𝜑 为参数)，直线 l的方程为𝑥 + 3𝑦 6 = 0.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 和直线 l的极坐标方程

13、；(2)若点𝑃(𝑥, 𝑦) 在直线 l上且𝑦 0，射线 OP 与曲线 C 相交于异于 O 点的点 Q，求 的最小值|𝑂𝑄|23.设函数𝑓(𝑥) = 3|𝑥 + 1| + |2𝑥 1|的最小值为 m (1)求 m 的值；(2)若 a，𝑏 (0, +)，证明：( + 1 + )( + 1 + ) 𝑚𝑎 𝑎 𝑏 𝑏2第 5 页，共 18 页0 &#

14、119898;= 答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合𝐴 = 𝑥|𝑙𝑔𝑥 1 = 𝑥|0 𝑥 3， 𝐴 𝐵 = 𝑥|𝑥 0 = (0, +)故选：A求出集合 A，利用并集定义能求出𝐴 𝐵 本题考查并集的求法，涉及并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是 基础题2.【答案】C【解析】解： 𝑧 = (1 + 𝑖)(2 Ү

15、94;) = 2 𝑖 + 2𝑖 𝑖2= 3 + 𝑖 ，复数 z 的虚部为 1故选：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】B【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即𝑥 0，使得𝑥 2 + 𝑥 + 1 0，0 0故选：B根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键比较基础4.【答案】B【解析】解：袋子中有 5 个大小质地完全相同的球

16、，其中 3 个红球和 2 个白球， 从中不放回地依次随机摸出两个球，基本事件总数𝑛 = 5 4 = 20，摸出的两个球颜色相同包含的基本事件个数𝑚 = 3 2 + 2 1 = 8，则摸出的两个球颜色相同的概率为：𝑃 = =𝑛8 220 5第 6 页，共 18 页2 11 1𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 2 1 32𝜋Ү

17、77;= 4 𝜋 32𝜋2 2故选：B基本事件总数𝑛 = 5 4 = 20，摸出的两个球颜色相同包含的基本事件个数𝑚 = 3 2 + 2 1 = 8，由此能 求出摸出的两个球颜色相同的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础 题5.【答案】D【解析】解： sin(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐

18、;𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 = ，sin(𝛼 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 = ，3 3 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜

19、;𝑠𝛽 =，𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 = ， 2 6则= =3tan𝛽 cos𝛼sin𝛽，故选：D由题意利用两角和差的正弦公式求得𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 和𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖⻕

20、9;𝛽 的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要 求式子的值本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题6.【答案】A【解析】解： 𝐴𝐵𝐶 中，由𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ，D 为 BC 边中点，点O 在直线 AD 上，且𝐵𝐶 𝐵𝑂 = 3，结合图象可得| 𝐵𝐶 |𝐵𝑂|cos=3，即 𝐵𝐶= 3

21、，所以|𝐵𝐶| = 62故选：A画出图形，利用两个向量的数量积的定义求出结果本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，是基础题7.【答案】B【解析】解：圆柱的两个底面的圆周在体积为 的球 O 的球面上，3所以球的半径为： 33 3，解得𝑅 = 2，设圆柱的底面半径为 r，所以圆柱的高为：24 𝑟 2 ，所以圆柱的侧面积为：𝑆 = 2𝜋𝑟 24 𝑟2 = 4𝜋𝑟2 (4 𝑟2 ) 4𝜋 ү

22、03; +4𝑟2= 8𝜋当且仅当𝑟 = 2时，取得最大值8𝜋第 7 页，共 18 页𝜋 2， 𝜋 𝜋𝑛1 1𝑎= ( 1 1 1 12 𝑛) = (1 𝑛 可 得：故选：B求出球的半径，设出圆柱的底面半径，求出圆柱的高，然后求解圆柱的侧面积，即可求解圆柱侧面积的最 大值本题考查球的体积以及球的内接体侧面积的求法，基本不等式的应用，是中档题8.【答案】C【解析】解：直线𝑥 + 𝑦 6 = 0

23、的斜率为1， 设𝑃(𝑚, 𝑛) ，由题意可得，当过 P 的直线与直线𝑥 + 𝑦 6 = 0平行，且与曲线𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑥 0,3𝜋4)相切，可得|𝑃𝑄| 取得最小值，由𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐

24、19900;𝑠𝑥 的导数为𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 ，) = ，令𝑐𝑜𝑠𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑚 = 1，即2cos(𝑚 + 即cos(𝑚 +4 2𝜋4) = 1，由0 𝑚 3𝜋4，可得 𝑚 + ⼚

25、7; 4 4则𝑚 +𝜋4=3𝜋4，解得𝑚 =𝜋2，故选：C由题意可得，当过 P 的直线与直线𝑥 + 𝑦 6 = 0平行，且与曲线𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑥 0,3𝜋4)相切，可得|𝑃𝑄|取得最小值，求得曲线𝑦 = 𝑠𝑖

26、19899;𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 的导数，可得切线的斜率，解方程可得所求值本题考查导数的几何意义，以及两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题9.【答案】C【解析】解： 𝑆= 𝑛2，当𝑛 2时，有𝑎 = 𝑆 𝑆 = 𝑛 2 (𝑛 1) 2 = 2𝑛 1，𝑛 𝑛 𝑛1 又当𝑛 = 1时，有𝑎

27、; = 𝑆 = 1也适合上式， 𝑎 = 2𝑛 1， 𝑛𝑎1𝑛 𝑛+1=1 1 1 1 (2𝑛1)(2 𝑛+1) 2 2𝑛1 2𝑛+1)， 𝑇 = (1 + + +3 3 512𝑛11 1 1 2𝑛+1 2 2𝑛+1 ) =𝑛2𝑛+1 ，由𝑇20 𝑛 2041 2𝑛+1 41，解之

28、得：𝑛 20，第 8 页，共 18 页20𝑛1 𝑆 𝑆 , 𝑛 2𝑛𝑛𝑎 𝑎𝑛20𝑙𝑛0.80 00 00 0 , 0)，准线的方程为𝑥 = ， 2 2 = 2 𝑎4 𝑎= ， 使得𝑇 𝑛故选：C41成立的 n 的最大值为 19，先由题设利用𝑎=𝑆 , 𝑛 = 1 1求得

29、9886; ，进而求得 ，然后利用裂项相消法求得其前 n 项和𝑇 ，再𝑛 𝑛1 𝑛 𝑛1求得满足𝑇5，故F 点无限接近 B 点时，cos𝑀𝐹𝑁无限接近 ，3故𝑀𝐹𝑁的余弦值的取值范围为0, )错误；5如图将等边三角形 ABC 与 ABD 铺平，放置在同一平面上，故有𝑁𝐹 𝐹𝑀 𝑀𝑁 = 2，当且仅当 F 为 A

30、B 的中点时取最小值，故在正方体中，𝑁𝐹 𝐹𝑀 2，即三角形 FMN 的最小值为2 故正确其中正确结论的个数为 2第 10 页，共 18 页1，𝑛5 𝑞 = 5 = 1，可得𝑎 = 1， 𝑎 = 𝑎2 𝑎2 𝑎9 9 1 1 3 2 𝑛 𝑛+2 𝑛+1𝑎 = 1，可得𝑎 = 1，𝑞 =， 𝑎， 9 3 2 1

31、故选：B将四面体放置在正方体中，根据 M，N 分别为前后面的中心判断；取 F 为 AB 中点，G 为 MN 中点，此 时直线 FG 与直线 CD 相交；通过计算cos𝑀𝐵𝑁判断；把空间问题转化为平面问题，计算可得𝑁𝐹 + 𝑀𝐹 2判断本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题13.【答案】1【解析】解：根据题意，函数𝑓(𝑥) =𝑥 2 𝑥, 𝑥 1, 2 

32、9909; + 1, 𝑥 1.当𝑎 1时，𝑓(𝑎) = 𝑎2 𝑎 ，则有𝑎2 𝑎 = 2，解可得𝑎 = 1或2(舍)，当𝑎 1时，𝑓(𝑎) = 2𝑎+ 1，则有2𝑎+ 1 = 2，解可得𝑎 = 0(舍)，综合可得：𝑎 = 1，故答案为：1根据题意，结合函数的解析式分 2 种情况讨论，当𝑎 0，𝑎 ⻔

33、6; = 𝑎 2 𝑛 𝑛+2 𝑛+1，数列𝑎 为等比数列，设其公比为 q，𝑛由𝑎=1 𝑎 12 4 3 33， 𝑞 =，3 𝑎 = 1，即𝑎 = 3， 2 2故答案为：3由𝑎 𝑎 = 𝑎，可知数列𝑎𝑛为等比数列，设其公比为 q，结合已知𝑎 =51 12 4 3于是可得𝑎 的值本题考查数列递推式的应用，推得数列&

34、#119886; 15.【答案】2𝑛为等比数列是关键，考查推理与数学运算能力，属于中档题第 11 页，共 18 页1 2𝑃𝐹 =𝜋 𝜋1 21 1 22 2 𝐹 =， tan𝑃𝐹𝑎𝑎𝐹 =𝐹 = cos𝑃𝐹所 sin𝑃𝐹以 ， 𝑐𝑐1 21 2 1 1 21 = =2 1 1 1 1 𝑃

35、9865; =𝜋 𝜋1 21 1 21 22 𝐹 =， 进而得tan𝑃𝐹𝑎𝑎1 21 2 1 1 33 1 1 2 2 1 2 2 1【解析】解：以𝐹 𝐹为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P，直径所对的圆周角为 ，所以𝐹2 2，又因为点 Q 为𝑃𝐹 的中点，O 为𝐹 𝐹的中点，所以𝑂𝑄 =12𝑃𝐹2，且&

36、#119874;𝑄/𝑃𝐹 ，所以tan𝑄𝑂𝐹=𝑏 𝑏2 1，𝑏 𝑎2 1 2 1，又|𝐹 𝐹 | = 2|𝑂𝐹 | = 2𝑐，得|𝐹 𝑃| = 2𝑎，|𝐹 𝑃| = 2𝑏，由双曲线的定义了得|𝐹 𝑃| |𝐹 

37、9875;| = 2𝑏 2𝑎 = 2𝑎，所以𝑏 = 2𝑎，所以𝑘𝑃𝐹= tan𝑃𝐹 𝐹 = 1 2|𝑃𝐹 | 2𝑎 1 |𝑃𝐹 | 2𝑏 2，所以直线𝑃𝐹 的斜率为 2故答案为： 2由直径所对的圆周角为 ，推出𝐹2 2，由点 Q 为𝑃𝐹 的中点，O

38、 为𝐹 𝐹的中点，得 OQ 是三角形𝑃𝐹 𝐹的中位线，推出tan𝑄𝑂𝐹= 𝑏 𝑏2 1，再由双曲线的定义得|𝐹 𝑃| |𝐹 𝑃| = 2𝑏 2𝑎 = 2𝑎，则𝑘𝑃𝐹= tan𝑃𝐹 𝐹 = 1 2|𝑃𝐹

39、 |𝑃𝐹 |，即可得出答案本题考查双曲线的性质，解题中需要理清数量关系，属于中档题16.【答案】𝑏 𝑐 𝑎【解析】解： 𝑓(𝑥) = 𝑓(2 𝑥) ，函数图象关于𝑥 = 1对称， 𝑎 = 𝑓(𝑙𝑛2) = 𝑓(2 𝑙𝑛2) 𝑥 𝑓(𝑥 ) + 𝑥 𝑓

40、;(𝑥 ) 𝑥 𝑓(𝑥 ) + 𝑥 𝑓(𝑥 )， (𝑥 𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) 0，1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 𝑓(𝑥) 在1, +)上为减函数 ln𝑒 𝑙𝑛2 𝑙𝑜𝑔 0.04 0.2= 2， 220.7 20.7 2 ⻕

41、7;𝑛2， 𝑏 𝑐 𝑎故答案为：𝑏 𝑐 𝑎由𝑓(𝑥) = 𝑓(2 𝑥) ，得到函数图象关于𝑥 = 1对称，再由𝑥 𝑓(𝑥 ) + 𝑥 𝑓(𝑥 ) 𝑥 𝑓(𝑥 ) + 𝑥 𝑓(𝑥 )，变形得 到𝑓(&#

42、119909;) 在1, +)上为减函数，最后比较自变量的大小即可第 12 页，共 18 页 22 2 22 2 2𝐵𝐶1 1 2 1 1+2+3+4+5+6+7𝑦 = = 0.99 7 𝑏 = 𝑖=1𝑖𝑖 𝑖14 ， 𝑦 = 0.5𝑥 + 2.3本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性、单调性的分析，属于中档题17.【答案】解：(1)因为(2𝑏 𝑎)𝑐𝑜w

43、904;𝐶 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴，由正弦定理可得2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴， 即2w

44、904;𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴 = sin(𝐴 + 𝐶) = 𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 因为𝑠&

45、#119894;𝑛𝐵 0，故𝑐𝑜𝑠𝐶 = ，2因为𝐶 (0, 𝜋) ，故 C=𝜋4(2)因为𝑎 = 2，𝑐(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴) = 𝑎𝑐 22= 2，可得𝑏 = 1， = 2𝑏整理可得w

46、886;𝑎 +𝑐 𝑏 2𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑏 +𝑐 𝑎2𝑏𝑐= 𝑏2，又𝐶 =𝜋4，所以𝑆= 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2 1 = 2 2 2 2【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合𝑠𝑖𝑛&

47、#119861; 0，可求 cosC 的值，结合𝐶 (0, 𝜋) ， 可求 C 的值(2)利用余弦定理化简已知等式可求 b 的值，结合已知利用三角形的面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在解三角形中的综合应用，属于基 础题18.【答案】解：(1)由题意可知，𝑥 =7= 4， 2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90 7= 4.30，7𝑖=1( 𝑥 𝑥) 2 = (1 4)2 + (2 4)2 + (3 4)2 + (4 4)2

48、 + (5 4)2 + (6 4)2 + (7 4)2 = 28， 𝑖所以𝑟 =14.00 14.00 14.00 287.08 198.24 14.10，因为 y 与 x 的相关系数近似为0.99，所以 y 与 x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；(2)因为 (𝑥 𝑥)(𝑦 𝑦) 7 (𝑥 𝑥)2𝑖=1= = 0.5，28所以𝑎 = 𝑦 𝑏 𝑥 =

49、4.3 0.5 4 = 2.3所以 y 关于 x 的线性回归方程为，第 13 页，共 18 页 𝑦 = 0.5 10 + 2.3 = 7.3 𝑎𝑏4 4 4 4 由 4 4将𝑥 = 10代入线性回归方程，可得 ，所以估算该种机械设备使用 10 年的失效费7.3万元【解析】(1)求出样本中心，然后利用公式求出相关系数 r，由此进行判断即可；(2)利用公式先求出 和 ，然后求出线性回归方程，再将𝑥 = 10的值代入方程求解即可本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与

50、运算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)证明：如图，在棱 AC 上取点 G，满足𝐶𝐺 = 2𝐴𝐺 ，连接 EG、FG， 𝐵𝐹=2𝐹𝐴，𝐹𝐺/𝐵𝐶 ，且𝐹𝐺 =13𝐵𝐶，由题意得𝐷𝐸/𝐵𝐶 ，且𝐷𝐸 =13𝐵𝐶，

51、𝐷𝐸 = 𝐹𝐺 ，且𝐷𝐸/𝐹𝐺 ，四边形 DEGF 是平行四边形， 𝐷𝐹/𝐸𝐺 ， 𝐷𝐹 平面 ACE，𝐸𝐺 平面 ACE， 𝐷𝐹/ 平面 ACE(2)如图，分别取 DE、BC 的中点 M，N，连接 AM，MN，BM， 由题意知𝑀𝑁 𝐵𝐶 ，

52、19860;𝑀 = 2，𝑀𝑁 = 4，𝐵𝑁 = 3，在𝑅𝑡 𝐵𝑀𝑁 中，𝐵𝑀 = 𝐵𝑁 2 + 𝑀𝑁 2 = 9 + 16 = 5，在 𝐴𝐵𝑀 中， 𝐴𝐵 = 29， 𝐴𝑀2+ 𝐵𝑀2= 4 + 25

53、 = 29 = 𝐴𝐵2， 𝐴𝑀 𝐵𝑀 ， 𝐴𝑀 𝐷𝐸 ，𝐵𝑀 𝐷𝐸 = 𝑀 ，BM、𝐷𝐸 平面 BCED， 𝐴𝑀 平面 BCED，以 M 为坐标原点，𝑀𝑁,𝑀𝐸,𝑀𝐴的方向分别为 x，y，z 轴的正方

54、向，建立空间直角坐标系，则𝑀(0, 0，0)，𝐴(0,0，2)，𝐵(4, 3,0)，𝐶(4, 3，0)，𝐷(0, 1,0)，𝐸(0, 1，0)，𝐹(, 1, )，3 3 𝐸𝐶= (4,2，0)，𝐸𝐴=(0, 1,2)，𝐷𝐸=(0,2，0)，𝐷𝐹 = ( , 0, )，3 3设平面 ACE 的一个法向量为𝑚= (𝑥, y，

55、19911;) ，平面 DEF 的一个法向量为𝑛 = (𝑎, b，𝑐) ，𝑚 𝐸𝐶=4𝑥 + 2𝑦 = 0 则𝑚 𝐸𝐴=𝑦 + 2𝑧 = 0，令𝑥 = 1，得𝑚= (1,2，1)，𝑛 𝐷𝐸=2𝑏 = 0𝑛 𝐷𝐹 = 𝑎 + 

56、9888; = 03 3，取𝑎 = 1，得𝑛 = (1,0，1)，第 14 页，共 18 页= 32 𝑥+ 所 以2 𝑥+ 𝑦 = 11 2𝑦 = ， 𝑦， 1 22 2𝑦 +𝑦1 1 1 21 21 21 1 2 𝑡𝑦 +𝑡𝑦 𝑦1 22 1 1 2 1 1 21 22 𝑡𝑦 𝑦 (𝑦 +𝑦

57、)1 23 cos =𝑚𝑛 2|𝑚|𝑛| 6 2=33，平面 ACE 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为 3【解析】(1)在棱 AC 上取点 G，满足𝐶𝐺 = 2𝐴𝐺，连接 EG、FG，推导出四边形 DEGF 是平行四边形，从 而𝐷𝐹/𝐸𝐺 ，由此能证明𝐷𝐹/ 平面 ACE(2)分别取 DE、BC 的中点 M，N，连接 AM，MN，BM，推导出𝐴w

58、872; 平面 BCED，以 M 为坐标原点，𝑀𝑁,𝑀𝐸,𝑀𝐴的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 ACE 与平面 DEF 所成 锐二面角的余弦值本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题20.【答案】解：(1)由已知可得𝑎 = 2，所以椭圆 C 的方程为 +4𝑦𝑏22= 1，因为椭圆 C 的过点&

59、#119860;(1,3)，21 34 4𝑏2= 1，解得𝑏2= 1，所以椭圆 C 的方程为 + 𝑦24= 1(2)设直线 l的方程为𝑥 = 𝑡𝑦 1，𝐷(𝑥 , 𝑦 )，𝐸(𝑥 , 𝑦 )， 1 1 2 2𝑥 = 𝑡𝑦 1由𝑥 2 2 ，得(𝑡 42+ 4)𝑦2 2𝑡𝑦 3 =

60、 0，因 = 4𝑡2+ 12(𝑡2+ 4) = 16𝑡2+ 48 0，所以𝑦 + 𝑦 =2𝑡 3 𝑡 2 +4 𝑡 2 +4因为 F 为点 E 关于 x 轴的对称点，所以𝐹(𝑥 , 𝑦 )，所以直线 DF 的方程为𝑦 𝑦 = 1 2 (𝑥 𝑥 )，𝑥 𝑥即𝑦 𝑦 =1𝑦 +

61、19910; 𝑡(𝑦 𝑦 )(𝑥 𝑥 )，令𝑦 = 0，则𝑥 = 𝑥+1 1 2 =𝑦 +𝑦(𝑡𝑦 1)(𝑦 +𝑦 )𝑡𝑦 +𝑡𝑦 𝑦𝑦 +𝑦= 1 2 1 2 𝑦 +𝑦= 2𝑡 ( ) 1 = 4， 2ү

62、05;第 15 页，共 18 页1 32 2 = () 2 +， 𝑆 = .2 𝑥 31 2𝑦 +𝑦1 2 𝑎 𝑎1 (𝑥+1)(𝑥𝑎)所以𝐺(4,0) ，所 𝐷𝐸𝐺 的面积𝑆 = |𝐵𝐺| |𝑦 𝑦 | = (𝑦 + 𝑦 )2 4𝑦 𝑦1 2 1

63、 2 1 23 2𝑡2 𝑡 2 +4𝑡122 +4=6𝑡2 +3 𝑡 2 +4令𝑚 = 𝑡2 + 3，则𝑚 3, +)，所以6𝑚 6𝑚 2 +1 𝑚+1𝑚，1 4 3 , +)，因为𝑚 +𝑚33 3，所以𝑆 (0,233所 𝐷𝐸𝐺 的面积 S 的取值范围为(0,2【解析】(1)由已知可得𝑎 =

64、2，进而可得椭圆 C 的方程为 +4𝑏2，进而可得答案𝑦𝑏22= 1，把点𝐴(1, )坐标代入椭圆 C，解得2(2)设直线 l的方程为𝑥 = 𝑡𝑦 1(𝑡 0)，𝐷(𝑥 , 𝑦 )，𝐸(𝑥 , 𝑦 ) ，联立直线 l1 1 2 2与椭圆的方程，结合韦达定理可得𝑦 + 𝑦，𝑦1𝑦2 ，由 F 为点 E 关于 x

65、轴的对称点，得𝐹(𝑥2 , 𝑦2 )，进而写出直线 DF 的方程为𝑦 𝑦1 = 𝑥1 𝑥2 (𝑥 𝑥 )，令𝑦 = 0，得 G 点的坐标，再计 𝐷𝐸𝐺 的面积𝑆 = |𝐵𝐺| |𝑦 𝑦 | 1 1 2，利用基本不等式，即可得出答案本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题21

66、.【答案】解：(1)𝑓(𝑥) = 𝑥 +𝑎𝑥 (𝑎 1)𝑙𝑛𝑥 2，定义域是(0, +)，𝑓(𝑥) = 1 = (𝑥 0)， 𝑥 2 𝑥 𝑥 2若𝑎 0，则当𝑥 (0, +)时，𝑓(𝑥) 0恒成立，故𝑓(𝑥)在(0, +)单调递增，与𝑓(w

67、909;)存在极值点矛盾， 若𝑎 0时，则由𝑓(𝑥) = 0解得：𝑥 = 𝑎 ，故𝑥 (0, 𝑎) 时，𝑓(𝑥) 0， 故𝑓(𝑥)在(0, 𝑎) 单调递减，在(𝑎, +)单调递增，故𝑓(𝑥)存在唯一极小值点𝑥 = 𝑎 ，故𝑓(𝑎) = 𝑎 + 1 (𝑎 1)

68、19897;𝑛𝑎 2 = (𝑎 1)(1 𝑙𝑛𝑎) = 0， 故𝑎 = 1或𝑎 = 𝑒 ；(2)𝑎 1时，𝑓(𝑥) 0在1, 𝑒2上恒成立，第 16 页，共 18 页𝑎+ 𝑎( 2) 0， 2𝑎 = 𝑒2 即 2𝑎 04 𝑒+ ( 2)𝑎 𝑒+ ( 2)w

69、890;2 4 𝑒4 𝑒故𝑓(𝑥) 在1, 𝑒 上单调递增， 𝑓(1) = 𝑎 1 0，𝑓(𝑒2) = 𝑒2+ 2𝑎， 𝑒(𝑖) 当𝑎 0时，𝑓(𝑒2) = 𝑒2+𝑎 1𝑒 2 𝑒 2(𝑖𝑖) 当0 2𝑎 2𝑎 = 2𝑎(1 𝑎) 0， 𝑓(𝑒2) 0，由零点存