7.4 二项分布与超几何分布(精讲)

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1、7.4二项分布与超几何分布（精讲）思维导图常见考法1 / 144 = 2 4 3 3 2 3 考法一 二项分布【例 1】（2020全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行 水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排 铁钉.如此继续下去，在最底层的 5 个出口处各放置一个容器接住小球.（1）理论上，小球落入 4 号容器的概

2、率是多少？（2）一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验，设其中落入 4 号容器的小球的个数为 X ，求 X 的分布列.【答案】（1）14；（2）分布列答案见解析.【解析】（1）记“小球落入 4 号容器”为事件 A，若要小球落入 4 号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，理论上，小球落入 4 号容器的概率 P( A) =C341 1 .（2）落入 4 号容器的小球的个数 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 1 P ( X =0) =C 0 1 - = 4 2764，1 1 27P ( X =1) =C1 1 - = ，4 4 642 / 142 1 3 3 3 B 20,3 1 2

3、 k +1 3 3 20k 20 -kC k 3 3 201 1 9P ( X =2) =C 2 1 - = ，4 4 641 1P ( X =3) =C3 =4 64 X 的分布列为，X0 1 2 3P27642764964164【一隅三反】1（2020重庆市第七中学校高二月考）若随机变量 1 X B 4, 2 ，则E (2X +1)=（ ）A2【答案】DB3 C4 D5【解析】因为 1 X B 4, 2 ，所以EX =4 12=2 ，所以 E (2X +1)=2EX +1 =5.故选：D.2（多选）（2020全国高二单元测试）已知随机变量X 1 ，若使P ( X =k )的值最大，则 k

4、等于（ ）A5【答案】BCB6 C7D8【解析】令P (X=k +1) P (X=k )=Ck +1 20 -k -1 1 2 20 -k= 12k +2，得 k 6 ，即当 k P ( X =k )；当k =6时，P ( X =7) =P ( X =6)；当k 6时，P ( X =k +1) s 2 1 2【解析】（1）设事件 A 4,：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为8 / 14由题意可知,P (A)=13 +4 1 7=12 8 96.（2）完成套卷数不少于 4 本的学生共 8 人,其中男学生人数为 4 人,故 X 的取值为 0,1,2,3,4.由

5、题意可得P (X=0 )=C 44C 48=170；P (X=1)=C1C 3 16 84 4 = =C 4 70 358；P (X=2 )=C 2 C 24 4C 4836 18= =70 35；P(X =3)=C 3C1 16 84 4 = =C 4 70 358；P (X=4 )=C 4 14 =C 4 708.所以随机变量 X 的分布列为X0 1 2 3 4P1708351835835170随机变量 X 的均值 s 2 s 2(3).1 2EX =0 1 16 36 16 1 +1 +2 +3 +4 =270 70 70 70 70.考点三 二项分布与超几何分布综合运用【例 3】（20

6、20浙江台州市高二期中）2020 年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过 600 元(含 600 元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有 10 个 形状大小完全相同的小球(其中红球 2 个，白球 1 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球其中奖规则为：若摸到 2 个红球和 1 个白球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球和 1 个黑球则打 5 折；若摸出 1 个白 球 2 个黑球，则打 7 折；其余情况不打折.方案二：从装有 10 个形状大小完全相同的小球(其中红球 3 个， 黑球 7 个)的抽奖盒中，有放回每次摸取 1 球，连摸 3

7、 次，每摸到 1 次红球，立减 200 元.（1）若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满 1000 元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？9 / 14( ) ( )【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件 A ，则P (A)=C 2 C 12 1 =C 3101120，所以两位顾客均享受到免单的概率为P =P (A)P(A)=114400；（2）若选择方案一，设付款金额为 X 元，则 X 可能的取值为

8、 0 、C 2 C 11 C 2 C 172 1P (X=0 )= ， P X =500 = 2 7 =，C 3120 C 31201010500、700、1000.P (X=700 )=C1C 2 7 1 7 = ， P C 3 4010(X =1000)1 7 7 91 =1 - - - =120 120 40 120.故 X 的分布列为，所以XPE (X)=05007000177120401201 7 7 91+500 +700 +1000 =910 120 120 40 120（元）.100091120若选择方案二，设摸到红球的个数为 Y ，付款金额为 Z ，则Z =1000 -200

9、Y，由已知可得 3 Y B 3, 10 ，故3 9E Y =3 =10 10，所以E (Z)=E(1000-200Y)=1000-200E (Y)=820（元）.因为E (X)E(Z)，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【一隅三反】1（2020辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2 个球，若摸出 的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在 1 次游戏中，摸出 3 个白球的概率；获奖的概率；10 / 143 2 4 102 2 10

10、103 4 （2）求在 4 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望1 7 14【答案】（1）， ；（2）分布列见解析， . 5 10 5E ( X ).【解析】（1）设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件A (i =0,1,2,3), iC 2 C 1 1P ( A ) = 3 2 = .C 2 C 2 55 3设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则B =A A 2 3，又C 2 C 2 P( A ) = 3 2 +C 2 C 25 3C1C 1 C 1 3 2 2C 2 C 25 31= ,2且 A ，A 互斥， 2 3所以P ( B ) P ( A ) P ( A )2 31 1

11、 72 5 10.（2）由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，由（1）P ( B ) =710，P ( B ) =1 -P ( B ) =310，P ( X =0) =P(B)4=3 81=10 10000，P ( X =1) =C 1 P ( B )4P ( B )37=4 103 3=1892500，P ( X =2) =C 2 P(B) 2P(B) =6 4 7 3 2=13235000P ( X =3) =C 3 P(B)43P ( B ) =4 7 3 1029 =10 10 2500P ( X =4) =P(B) 4=所以 X 的分布列是7 2401=10 1000

12、0X 0 1 2 3 4P81 189 1323 1029 2401 10000 2500 5000 2500 1000011 / 14 0 3 12 3 3 2 1= = 3 0 = ，3 3 27显然 7 X B 4， 10 ，所以 X 的数学期望 E(X)=4 7 14=10 52（2020广东云浮市）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成

13、面试题数的分布列，并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望 2、乙的数学期望 2； (2)甲通过面试的概率较大 【解析】（1）设 X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：X H (6,3,4)，P( X =1) =C1 C2 1 C 2 C1 3 C 3 C0 1 4 2 = ， P ( X =2) = 4 2 = ， P ( X =3) = 4 2 = C 3 5 C 3 5 C 3 56 6 6，X 的分布列为： X1 2 3P153515EX =1 1 3 1 +2 +3 =2

14、5 5 5 2 Y B 3, 3 ，2 1 1 2 1 6 2 P (Y =0) =C 0 = ， P (Y =1) =C1 = = ，3 3 27 3 3 27 9P(Y =2) =C232 1 12 4 3 3 27 9， P (Y =3) =C 332 1 8 Y 的分布列为： Y0 12 3P1272949827EY =0 1 2 4 8 +1 +2 +3 =227 9 9 2712 / 14( )1 x x102 = 1010（2）DX =1 3 1 2 (1 -2) 2 +(2 -2) 2 +(3 -2) 2 =5 5 5 5，2 1 2DY =np (1 -p) =3 =3 3

15、3， DX DY ，甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大3（2021哈尔滨市）一批产品共 10 件，其中 3 件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取 2 件产 品检验：方法一：一次性随机抽取 2 件；方法二：先随机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件.记方法一抽取的不合格产品数为 x.记方法二抽取的不合格产品数为x .1 2（1）求两种抽取方式下 x， x的概率分布列；1 2（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由.【答案】（1） x， x的分布列见解析；（2）平均数相等，理由见解析.1 2【解析】（1）方法一中随机变量 x可取的值为 0，1，2，且 x服从超

16、几何分布，1 1于是P (x=0)= 1C 0 C2 3 7C 2107 C1 C1 = ； P x =1 = 3 7 =15 C 210715；P(x=21)=C 2 C0 1 3 7 =C 2 1510；因此 x的频率分布可表示为下表： 1x10 1 2P715715115方法二中随机变量 可取的值为 0，1，2，且 服从二项分布，2 2于是 P (x2=0 )=C023 07 4910 100；P(x=1)=C12 23 7 21 =10 10 50；P(x2=2)=C 2 23 27 0；13 / 14x x因此 的频率分布可表示为下表： 2x2P0 1 249 21 9100 50 100（2）由（1）知，方法一中 的数学期望为1E (x1)7=0 +1 157 1 3+2 =15 15 5，方法二中 x的数学期望为 2E (x2)=2 3 3=10 5，所以两种方式抽到的不合格品平均数相等.14 / 14