6.1.6已知正弦、余弦或正切值求角高一数学下册同步备课系列(沪教版2020必修第二册)

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1、p x =3 2 2 ( ) ( ) 6.1.6已知正弦、余弦或正切值求角（作业）一、单选题1（2020上海高一课时练习）若sin x =1 p , x , ，则 （ ） Aarcsin13Bp-arcsin13Cp 1+arcsin2 3D -arcsin13【答案】B【分析】根据反正弦函数的概念，可得结果.【详解】1p-arcsin 3p , p，且 sin p1 1-arcsin =3 31， x =p-arcsin .故选：B3【点睛】本题考查反正弦函数，属基础题.2（2016长宁区上海市延安中学高一期中）方程sin x =-12的解为（ ）Ax =kp+(-1)kp6， k ZBx

2、=2 kp+(-1)kp6， k ZCx =kp+(-1)k+1p6， k ZDx =2 kp+(-1)k+1p6， k Z【答案】D【分析】由题意可得可得x =2 kp-p6，或x =2kp-5p p = 2k -1 p+6 6， k Z，从而得出结论.【详解】由sin x =-12，可得x =2 kp-p6，或x =2kp-5p p = 2k -1 p+6 6，k Z，即x =2kp+(-1)k+1p6， k Z ，故选：D.【点睛】本小题主要考查解三角方程，属于基础题.3（2019上海市第二中学高一期中）“sin x =12”是“x =2 kpp+ ( k Z ) 6”的（ ）A充分不必

3、要条件 C充要条件【答案】BB必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】首先根据sin x =12可得：x =2 kp 5p p+ ( k Z ) 或 x =2 kp+6 6( k Z )，再判断即可得到答案.【详解】由sin x =12可得：x =2 kp 5p p+ ( k Z ) 或 x =2 kp+6 6( k Z )，即x =2 kp+p6( k Z )能推出sin x =12，但“sin x =sin x =1212推不出”是“x =2 kx =2 kpp+ ( k Z ) 6pp+ ( k Z ) 6”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根

4、据三角函数值求角，属于简单题.4（2020上海高一课时练习）方程1 -cos2x =cos x的解集是（ ） p A x | x =kp , k Z 4 p C x | x =kp- , k Z 4 【答案】D【分析】利用余弦函数的性质即可求解. p B x | x =kp+ , k Z 4 p D x | x =2kp , k Z 4 p 【详解】1 -cos2x =cos x1-cos 2 x =cos2 x ，cos x 0，sin 2 x =cos 2 x sin x =cos x sin x =-cos x ， 或 ，cos x 0 cos x 0 cos x 0 x =p4+2 k

5、p,(kZ)或x =-p4+2 kp,(kZ).综上所述，方程的解集为 x | x =2 kpp4, k Z.故选：D 【点睛】本题考查了解三角方程、同角三角函数的基本关系、已知三角函数值求角，属于基 础题.二、填空题5（2020上海高一课时练习）方程p x x =kp+【答案】, k Z 6sin x +p6-cos x =0的解集为_.【分析】利用三角公式将方程变形为sin x -p6=0，则通过三角函数值即可求出角.【详解】解： sin x + 6 3 1 3 1-cos x = sin x + cos x -cos x = sin x - cos x =02 2 2 2，即sin x

6、-p6=0，得x -p6=kp, k Z ，即 x =kp+p6, k Z，所以方程的解集为 x x =kp+p , k Z .6p 3 故答案为：x | x =k +6, k Z【点睛】本题考查三角方程的求解，关键是要将方程变形为sin (wx+j)=A 题.的形式，是基础6（2020上海高一课时练习）方程 3sin x -2cos x =0 2 【答案】 x x =k +arctan , k Z 的解集为_【分析】将方程转化为tan x =23，利用反三角函数即可表示出 x .【详解】解：由 3sin x -2cos x =0 ，得 tan x =2 2，解得 x =k p+arctan

7、, k Z 3 3， 即方程的解为 x x =kp2 +arctan , k Z .故答案为： 32x | x =k +arctan , k Z3【点睛】本题考查简单的三角方程的求解，是基础题.7（2018上海市向明中学高一月考）“tan x =1 ”是“ x =p4+2 kp，k Z”的_条件；【答案】必要非充分【分析】根据 tan x =1得出x =p4+kp，k Z，分析x =p4+kp，k Z与x =p4+2 kp，k Z的关系即可.【详解】解： tan x =1，则x =p4+kp，k Z.x =p4+kp， k Z包含x =p4+2 kp， k Z.所以x =p4+k p，k Z是

8、x =p4+2 kp，k Z的必要非充分条件.故答案为必要非充分.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查正切函数已知值求角，属于基础题. 8（2019上海华师大二附中高一期中）函数 y = cos x 的定义域为_【答案】2 kp-p2, 2k p+p2， k Z【分析】根据函数 y = cos x ，可得 cos x 0，再结合余弦函数的图象，求得 x 的范围【详解】根据函数 y = cos x ，可得 cos x 0，可得2kp-p2x 2 kp+p2( k Z )，故函数的定义域为 p p p p 2 k p- , 2k p+ ， k Z ，故答案为 2 kp- , 2 k p+ 2

9、2 2 2 ， k Z【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题9（2020上海高一课时练习）方程2sin 2 x +3cos x =0, x -2p,2 p的解集为_. 【答案】 4 2 2 4 - p, - p, p,3 3 3 3p【分析】将原方程转化为 2cos 2 x -3cos x -2 =0 ，解出 cos x ，进而可得方程的解集.【详解】解：由 2sin2x +3cos x =0 ，得2 (1-cos2x )+3cosx =0，整理得 2cos 2 x -3cos x -2 =0 ，解得1cos x =- 或 cos x =2 2因为cos x -1,

10、1， cos x =-12，又x -2p,2p，所以方程的解集为 4 2 2 4 - p, - p, p,3 3 3 3p.【点睛】本题考查三角方程的求解，关键是利用公式转化为二次方程，是基础题.10已知集合A =a2sina-10,B=a2 cosa+1 0 ,A B =_.【答案】2 kp 3pp+ , 2kp+ , k Z 6 4 ；【分析】分别化简集合A，B，然后再求交集. 【详解】因为 2sina-1 0 ，所以 sin1 p 5p，所以 + 2k p a + 2k p 2 6 6，又因为 2 cos a +1 0 ，所以 cosa -22，所以 -3p 3p+ 2k p a + 2

11、k p 4 4，所以AB = p 3p 2 kp+ , 2 kp+ , k Z .故答案为： 6 4 2 kp 3pp+ , 2 kp+ , k Z 6 4 .【点睛】本题主要考查了三角不等式的解法及集合的运算，还考查了数形结合的思想和运算 求解的能力，属于中档题.11函数y = tan x的对称轴是_.【答案】x =kp2， k Z【分析】作出函数y = tan x的图象，观察图象可得出函数y = tan x的对称轴方程.【详解】函数y = tan x的图象是y =tan x 把 x 轴的下部分翻折到 x 轴的上方可得到的，如下图所示：由图象可知，函数y = tan x的对称轴是x =kp

12、kp ， k Z .故答案为： x =2 2，k Z.【点睛】本题考查含绝对值的正切函数对称轴的求解，作出函数图象是关键，考查数形结合 思想的应用，属于基础题.三、解答题12（2020上海高一课时练习）已知集合 1 3 A =- ,3,cos x ,B = ,sin x . 2 2 y 3 （1）当 B A 时，求x的值；（2）当A B = y时，求x和y的值.【答案】（1）px =2 kp- , k Z6；（2）若px =k p+ , k Z 4，则 y =22；若x =2 kp+p6, k Z，则 y =32；若7x =2 kp+ p,k Z6，则 y12.【分析】（1）根据 B 的值；A

13、时可知集合B中的元素均在集合A中，结合两个集合的元素特征可求x（2）结合两个集合的元素的特征，讨论A B可能出现的情况，逐个求解即可. 1 3 【详解】（1）因为 A =- ,3,cos x ,B = ,sin x ，且 2 2 BA，3 1所以 cos x = ,sin x =- ；解得 2 2x =2 kpp- , k Z 6.（2）因为A B = y1 3 2，所以 可能取值为 - , , ；2 2 2当 y12 1sin x =- 2 时，则有 3cos x 2，解得7x =2 kp+ p,k Z6； 3cos x =2当 y = 时，则有 2 1sin x - 2，解得x =2 kp

14、p+ , k Z 6；2当 y = 时，则有 cos x =sin x 2，即 tan x =1，解得x =kpp+ , k Z 4，经检验知符合题意.综上可得：若x =kpp+ , k Z 42，则 y = ；若 2x =2 kpp+ , k Z 63，则 y = ；若 2, 22 1,2 2 2 x 2 -3 x +3 12 , 22 , 22 , 22 1, 7x =2 kp+ p,k Z6，则 y12.【点睛】本题主要考查集合间的关系，集合交集运算，结合集合元素的性质及子集，交集的 特征可求，侧重考查数学运算的核心素养.13（2020上海市南洋模范中学高一月考）求函数 区间、值域.y

15、=arcsin (x2-3x+3 )的定义域、单调【答案】定义域：1,2；单调增区间是3 ，单调减区间是 3 ；值域是3 parcsin ,4 2.x2 -3 x +3 -1【分析】由 可求出函数的定义域，令 t =x x 2 -3 x +3 12 3 3-3 x +3 = x - + ，则 2 4y =arcsin t 3 3 3 ，然后利用复合函数求单调区间的方法求解即可，由于 t = x - + ,1 ， 2 4 4 3 而 y =arcsin x 在 ,1 上递增，从而可求出函数的值域.4 x2 -3 x +3 -1 【详解】因为 ，所以 xx22-3 x +4 0 -3 x +2 0

16、，即 x 2 -3 x +4 0 ( x -1)(x -2) 0，解得 1 x 2.所以定义域： 1,2 .令 t =x2 3 3-3 x +3 = x - + ， 2 4 3 因为 t 在 1, 上递减，在 2 3 上递增，y =arcsin x 在 -1,1上递增，由复合函数的单调性得y =arcsin (x2-3x+3 )在 3 1, 2 上递减，在3 上递增，故单调增区间是3 3 3 2 3 3 ，单调减区间是 ；因为 t = x - + ,1 ， 2 2 4 4 3 3 py =arcsin x 在 ,1 上递增，所以 y =arcsin t arcsin ,4 4 2，故值域为ar

17、csin3 p,4 2.3 3 所以函数的定义域：1,2 ；单调增区间是 , 2 ，单调减区间是 1, ；值域是2 2 3 parcsin ,4 2.【点睛】此题考查求复合函数的定义域、单调区间、值域，考查反三角函数，属于中档题.p 114（2020上海崇明区高一期末）（1）已知 cos( x - ) = ，4 2x 0, p ，求 x ；（2）已知sin =-35， qp,3p2 ，求ptan(q- )4的值【答案】（1）x =712p；（2）p 1 tan(q- ) =-4 7【分析】（1）利用特殊角的函数值，可求 x 的值.（2）先求 tan q 的值，再根据两角差的正切可求tan(q-

18、p4)的值【详解】（1）x -p4=2 kpp3， k Z ，即 x =2 kp+7p p, k Z 或 x =2 kp- , k Z 12 12.当x 0,p时，x =712p（2）由3 sin q=- , q p,5 3p2，得cosq=-45， tanq=34，p tan(q- ) =4ptan q-tan4p1 +tan qtan4=-17【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差 异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互 化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角6 6

19、 + p = 去表示未知的角.15（2020上海高一课时练习）已知函数f ( x) =A sin(wx +j)( A 0, w 0,0 jp)在一个周期内的图像如图所示，求直线 y = 3 与函数 f ( x )图像的交点坐标 5 p 【答案】 4kp+ p, 3 和4kp+ , 3 ,k Z 【分析】由图像，根据函数的最大值，得到 A =2 由函数的周期为 4p ，算出w =1 p，当 x =2 2时， f ( x )有最大值2，可求出j=p41，则 f ( x ) =2sin x +2p41，再解方程 2sin x +2p4= 3，可得出答案.【详解】根据题意，由图可知A =2, T =2

20、p 7p p= + =4p，可得 w = w 2 212由-p 3p2 22 2p，所以当 x = 时， f ( x) 2有最大值2.即fp 1 p =2sin +j =22 2 2 1 p p，则 +j=2kp+ , k Z2 2 2所以j=2 kp+p4, k Z，因为0 jp当 k =0时，j=p4.1所以 f ( x) =2sin x +2p42 4 当 f ( x ) =1 p3 ，即 2sin x += 31 p 3 ，也即 sin x + =2 4 21 p p 1 p 2p 所以 x + =2 kp+ ，或 x + =2 k p+2 4 3 2 4 3, k Z ，即 x =4

21、kp+p6，或 x =4kp+5p6, k Z所以直线 y = 3 与函数 f ( x)图像的交点坐标为 4 kp+p6, 3 5p 和 4k p+ , 3 , k Z 6 【点睛】本题给出函数y =A sin (x+)的部分图象，要我们确定其解析式并求函数图象与y = 3 的交点坐标，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于基础 题16（2020上海高一课时练习）解下列三角方程：（1） 2sin2x -5cos x +1 =0 ；（2）3sinx2+cos x +1 =0；（3） sin 2 x -sin x cos x -2cos 2 x =0 【答案】（1） x | x

22、 =2 k pp3, k Z ；（2） x | x =4k p-p3或x =4 kp-5p3, k Z；（3）x | x =k p-p4或x =kp+arctan 2, k Z 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系将方程转化为二次方程求解； （2）利用倍角公式将方程转化为二次方程求解；（3）方程两边同除以 cos2x ，转化为关于 tan x 的二次方程求解.【详解】解 （1）原方程可化为2 (1-cos2x )-5cosx +1 =0，整理，得 2cos 2 x +5cos x -3 =0 ，解方程，得cos x =12或 cos x =-3， a cos x -1,1， cos x =1

23、2， x =2 kpp , k Z 3, p 所以原方程的解集为 x | x =2 kp , k Z ； 3 （2）原方程可化为x x 3sin +1 -2sin 22 2+1 =0，整理，得2sin2x x x 1 x -3sin -2 =0 ，解方程，得 sin =- 或 sin =22 2 2 2 2，x x 1 sin -1,1 ， sin =-2 2 2得x p x 5p =2 kp- 或 =2 k p-2 6 2 6， k Z，x =4 kp-p3或x =4 kp-5p3， k Z，所以原方程的解集为 x | x =4kp-p3或x =4 kp-5p3, k Z；（3） cos x

24、 =0 方程无解， cos x 0，将方程两边同除以 cos 2 x ，得 tan2x -tan x -2 =0 ，解方程，得 tan x =-1或 tan x =2，得x =k p-p4或x =kp+arctan 2, k Z，所以原方程的解集为x | x =k p-p4或x =kp+arctan 2, k Z .【点睛】本题考查三角方程的求解，关键是要转化为二次方程，是基础题.17（2020上海高一课时练习）我们学习了二倍角的余弦公式，但有些粗心的同学总把公式错写成 cos2a =2sin2 a-1 ，这错误写法并不是在所有情况下都不成立，求出上述等式成立时， 应满足的条件.【答案】 a

25、=k pp4(k Z )( ) ( ) - ,14 m cos x【分析】把 cos 2a =1 -2sin2a代入 cos2a =2sin2a-1 ，可得 sina =22，即求 a 的值.【详解】cos 2a =1 -2sin 2 a ， cos2 a =2sin 2 a-1 ，1 21 -2sin 2 a =2sin 2 a-1, sin 2 a = , sin a = .2 2当 sin2a = 时，2a=2 kp+p p或 a = 2 k +1 p- , k Z 4 4.当 sin2a =- 时，2a =2 kp-p p或 a = 2k +1 p+ , k Z 4 4.综上， a =

26、kpp4(k Z ).【点睛】本题考查倍角公式和根据三角函数值求角，属于基础题.18（2020上海高一课时练习）已知关于x的方程 sin 2 x +cos x +m =0 （1）当 m =1时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围【答案】x | x =2 kp+p,k Z ；（2） 5 【分析】（1）由 sin 2 x +cos 2 x =1 ，则 sin 2 x +cos x +m =0 可化为：cos 2 x -cos x -1 -m =0 ，将 m =1代入解一元二次方程可得解；（2）分离 与 ，用值域法可得解，即 1 +m =cos2x -cos x ，再用配方法求 c

27、os2x -cos x的值域即可得解【详解】解：（1） sin 2 x +cos x +m =0 ，所以 cos 2 x -cos x -1 -m =0 ，当 m =1时，方程为： cos2x -cos x -2 =0 ，所以 cos x =-1或 cos x =2，又cos x -1,1，所以 cos x =-1，所以x =2kp+p,k Z，故方程的解集为x| x =2kp+p,k Z；（2）由（1）得， cos 2 x -cos x -1 -m =0 有解，即 cos 2 x -cos x =1 +m 有解，2 2 x x 2 x 又 1 +m =cos2 1 1x -cos x = c

28、os x - - ，又 2 4cos x -1,1， 1 1 1 所以 cos x - - - ,2 ，即 2 4 4 1 5 1 +m - , 2 ，即 m - ,1 4 4 .【点睛】本题考查了三角函数的运算，二次函数的值域及方程有解问题，属中档题.19（2020华东师范大学第三附属中学高一期末）已知关于 的方程 sin x 0, 2p)；时，解此方程；（1）当 m =1（2）试确定 m 的取值范围，使此方程有解；5m - ,1【答案】（1） x =p ；（2）42x +cos x +m =0 ，【分析】（1）当 m =1时，将 sin2x +cos x +m =0 变形为 1 -cos2

29、x +cos x +1 =0 ，解出cos x的值，再求出x 0, 2p)的解；（2）关于 的方程 sin2x +cos x +m =0 ，x 0, 2p)有解，即x 0, 2p)，m =cos2x -cos x -1 有解，求出 y =cos x -cos x -1, x 0, 2p)的值域即可.【详解】（1）当 m =1时，将 sin2x +cos x +1 =0 即 1 -cos2x +cos x +1 =0 ，-cos2x +cos x +2 =0 ，解得： cos x =-1或 cos x =2（舍去），x 0, 2p)x =p所以；（2）关于 的方程 sin2x +cos x +m

30、 =0 ，x 0, 2p)有解，即x 0, 2p)， m =cos 2 x -cos x -1 有解，考虑 y =cos2x -cos x -1, x 0, 2p)的值域，令t =cos x , t -1,1，1y =t 2 -t -1 =(t - ) 2 -254, t -1,1所以其值域为-54,1.x即 m =cos2x -cos x -1 ，x 0, 2p)有解，则5 m - ,14使关于 的方程 sin2x +cos x +m =0 ，x 0, 2p)有解所以5 m - ,14【点睛】此题考查与三角函数有关的复合函数的值域问题，解方程的根的问题，合理使用换 元法准确进行换元有利于解题，其中换元法注意换元的取值范围.