《可测函数的定义及性质(精)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可测函数的定义及性质(精)课件（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第四章 可测函数主讲：胡努春iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?,afERa注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )，若 可测，则称f(x)是E上的可测函数iniEE1)()(1xcxfiEniiiiiExEExEx10)(可测,afERa可测函数注：Dirichlet函数是简单函数0 1|)()(|,0,000 xfxfxx时，有当即对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，0()(
2、,)f xxa b在处连续)()(lim00 xfxfxx若),(),(00)(,0,0 xfxOOf使得即),(),(00)(,0,0 xfxOxfOx时，有当即()()(),0bax f(x)在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续),(),(00)(,0,0 xfxOEOf使得若Ex 0设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在 处连续为可测集故EGEaf),()(,0,)(),(),(aOEOfaxfxfxxx使得对(,)xxfaOEE即证明：任取xEfa,则f(x)a,由连续性假设知，()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a(,)xfaxx EGO令(,)(,)()()xxfafaxx
3、fax Ex EGEOEOEE另外则G为开集，当然为可测集，且(,)()xfafaxx EEOEGE所以反之aI a x1 x2)(|),)(|),(axfxIIEaxfxIIEafaaaaE当当由f单调增知下面的集合为可测集)(|infaxfxIa令证明：不妨设f单调增，对任意aR可测,)2(afERa可测,)3(afERa可测,)4(afERa(5),(|()|)a f ba bR ab Ef x 可测 充分性要求证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及11111()fafaafanfnnfanfaafbfafbnfanEEEEEEEEEE ),)1(可测即afERa定义：设
4、f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测)(1111nnafnafnafEEE),(),(),1111nnnnaaa (a-1/n a)(1111nnafnafnafEEE),(),),(1111nnnnaaa(a a+1/n11 1afnnafafafEEEEE可测函数关于子集、并集的性质nnEE1l反之，若 ,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。11,EEE l即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m(Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almost eve
5、rywhere）证明：令E 1=Efg，E 2=Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测，即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测。即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。可测，：只要证证明,gafagfEERa,()(),()()()fa gfrg a rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则
6、从而使即a-g(x)r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。gfE()frg a rfa gr QEEE 反之也成立()fa gfrg a rr QEEE 从而()fa gfrg a rr QEEE 从而可测证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质,()(),()()()fagfrga rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x)r f(x)作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x)=(f(x)+g(x)2-(f(x)-g(x)2/4即可200
7、fafaEaEEafaE证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意aR11afnaafnannEEEE)(infsup)(inflim)(supinf)(suplim)(inf)()(sup)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。1afnanEE)(inf)(xfxnxSxS,)1(的下界，即是数集xSxS使得即的最大下界，是数集,0)2(Sinf下确界：1111fannfafannEEE比 较：(a-1/n a从而f(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f(x)是可测函数.nnnoxxfxfxxfxxf
8、xf11)()(lim)()(lim)(证明：由于gn(x)注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.limlimnnnnEfflimlimnnnnEff证明：发散点全体为 收敛点全体为limlimnnnnff在利用和是可测函数即可再可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限12|)()(|nnmMxfxMmMmMmn0次等分nn 21220,1,2,212()nnkknnkfknnfnxExnxE)(lim)(xxfnn|)(|)(|21xx)(xnl若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到证明：要证f(g(x)是可测函数，只要证对任意a，Ef
9、ga=x|f(g(x)a可测即可,g 可测f 连续x|f(g(x)a=(f g)-1(a,+)=g-1(f-1(a,+)f-1(a,+)=),(iiiba),(),(11iiiiiibagbag（利用Cantor函数构造，参见：实变函数，周民强，p114)证明：要证f(g(x)是可测函数，只要证对任意a，m(Ef ga)=x|f(g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续，故Ffa为R中的开集，),(iiiafbaF又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令iifg aag biEE 为可测集再由g可测，可知11()()()()()iiniEiniEixcxfxf cxE若为简单函数，则仍为上简单函数。注：)(lim)(xxgnn)(xn另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数 的极限)(lim)(lim()(xfxfxgfnnnn因为f(x)连续，故所以f(g(x)是简单函数列的极限，故为可测函数
可测函数的定义及性质(精)课件
