电动力学课件：2-6-电多极矩法

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1、2.6 2.6 电多极矩电多极矩二、电多极矩一、电势的多极展开三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)主要内容主要内容一、电势的多极展开1.小区域电荷分布小区域电荷分布0()()4x dVxr)(x若已知若已知，原原则上可通过则上可通过求电势。求电势。一般若体电荷分布不均匀或一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。（用计算机可数值求解）。但是在许多实际情况中，电但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件理，解析求解。条件 。rl r

2、RRQx04)(PrxxOl()x222)0(!21)0(!11)0()(xdxdfxdxdffxf(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）(2)三元函数的麦克劳林展开三元函数的麦克劳林展开123123123()(,)1(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)()1!f xf x x xffffxxxxxx的麦克劳林展开的麦克劳林展开2.r12222221231232221213231213231(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)2!222fffxxxxxxfffx xx xx xxxxxxx12312321231231

3、(0)()(0)1!1()(0)2!fxxxfxxxxxxfxxx)0()(21)0()()0(2fxfxf(3)将将r10 x在在点展开点展开1111(),0,fxxxrxxrR 在在 )()(21)()()()(2xfxxfxxfxxf2311(0)(0)(0)2iijiijiijfxfx xfxxx0()()4x dVxr20011111()()2xxxxrRrr21111()()2xxRRR1111()(:)2xx xRRR 00111(,xxrrR 2:()aa bba b其中其中3.小区域电荷分布产生的电势小区域电荷分布产生的电势 VVdRxxRxRxx1:2111)(41)(0V

4、dxxxDV)(33()1,2,3 1,2,3ijijDx xx dVij 00011111():4446QxpDRRR(0)(1)(2)VVdRxxRxRxx1:2111)(41)(0()VQx dV()Vpx x dV 电四极矩张量电四极矩张量电偶极矩矢量电偶极矩矢量二、电多极矩1.展开式的物理意义展开式的物理意义RQ0)0(4 等效于坐标原点点电等效于坐标原点点电荷产生的电势。荷产生的电势。因此因此小小电荷体系电荷体系在电荷分布区在电荷分布区外外产生的电势在零级近产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。于原点处产生的电势。30300)1(4)(411

5、41RRpRRpRp 等效电偶极矩等效电偶极矩 产生的电势。最简单的体系产生的电势。最简单的体系为两个点电荷产生的电势。为两个点电荷产生的电势。pijjiijRxxDRD161411:6141200)2(2:ijijijDDxx 等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标原点附近（单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点）四个点电荷产生的电势电荷产生的电势)2(2.电四极矩张量电四极矩张量VdxxxDV)(3VdxlRxxD)()3(2重新定义：重新定义：RVdxxx1:)(361410)2(*证明证明：RVdxlRxxVdxRlRRVdx

6、xx1:)()3(6141)(1:1:)(361412020)2(它它不改变不改变 ，只有只有5个独立分量个独立分量0332211DDD 有有9个分量个分量VdxxxDjiij)(3电四极矩有电四极矩有6个分量个分量,5个独立个独立jiijDD)(ji)0(012RR电四极矩最简单体系举例：电四极矩最简单体系举例：四个点电荷在一直线上按四个点电荷在一直线上按（+，-，-，+）排列，可看作）排列，可看作一对正负电偶极子。一对正负电偶极子。balpeabQPz)(上peabQPz)(下体系总体系总电荷、总电偶极矩为零电荷、总电偶极矩为零依定义依定义 其它分量均为零其它分量均为零033DzORr+r

7、-Pxl+-+a-ab-b331 12233442222223()3()33333()6()6()()6zVzDzzx dVzzQzz dzz z Qz z Qz z Qz z QbaabQQ baQ babapl2200111116:()464zzple eplRRz Rl 它与直接计算结果完全一致（它与直接计算结果完全一致（）：11414403030rrprrprrp0111()()4zpppezrr cos2cos2lRrlRr2cos11Rlrrrrrr22111Rzz RRzRR )cos(cos2RzR22011()4plRzRzzR222Rxyzx+-yz120D011D022D

8、02112 DD03113 DD03223 DD四个点电荷四个点电荷在在 x 轴轴四个点电荷四个点电荷在在 y 轴轴x-y 平面平面x-z 平面平面y-z 平面平面电四极矩其它例子电四极矩其它例子例题：例题：带电荷为带电荷为Q的椭圆，的椭圆，半长轴为半长轴为b,半短轴为半短轴为a，求它的电四极矩和求它的电四极矩和远处的电势。远处的电势。xyz0axy0yz0ab上图椭球方程为：上图椭球方程为：122222bzayx椭球电荷密度为：椭球电荷密度为：baQ2043根据电四极矩公式：根据电四极矩公式：VjiijVdrxx)(3D近似电四极矩项的远处电势为：近似电四极矩项的远处电势为：)cos3101

9、(432220RbaRQ由于电偶极矩为零。由于电偶极矩为零。分别可得：分别可得：0132312DDDQba)(51222211 DDQba)(522233D三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）01()()211221()2eeeeeeWdVdVdVdV 1设外场电势为设外场电势为 ，场中场中 电荷分布为电荷分布为 ，体系体系 具有的总能量为具有的总能量为：e)(xdVdVee 可证明：可证明：zyxe01122eeWdVdV W因此因此：+dVWe称为体系的相互作用能称为体系的相互作用能，或带电或带电体系在外场中的能量。体系在外场中的能量。2带电体系为小区域带电体系为小区域时相互作用能的

10、展开时相互作用能的展开将将 对对电荷电荷 所在小区域所在小区域展开为麦克劳林级数展开为麦克劳林级数)(xe2331,1(0)(0)1()(0)2!eeeeiijii jiijxxx xxx x 312(0)(1)(2)(0)()(0)()(0)13()61(0)()(0)(:)(0)6eeiVViieijVijijeeeWxdVx x dVxx xx dVx xQpDWWW 3相互作用能的相互作用能的意义：意义：)0()0(eQW体系电荷集中在原点时，在外场体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；中的能量；)0()0()1(eeEppW体系等效电偶极子在体系等效电偶极子在外场中的能量；外场中的能

11、量；)0(:61)0(:61)2(eeEDDW体系等效电四极子在体系等效电四极子在外场中的能量。若外场中的能量。若外外场为均匀场场为均匀场0eE4.带电体系在外场带电体系在外场 中受中受到的到的力和力矩力和力矩eE设设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力中受到的力 （假定（假定Q不变）不变）以下仅讨论以下仅讨论 和和WF)0(W)1(W()eeQEp E力力：(0)(1)FWW()eeQp E )()0(xEQFe相当于带电体系集中在一点上相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中点电荷在外场中受到的作用力受到的作用力(1)()eFp E0)1(F若为均匀场若为均匀场电偶极子只在非均匀场中受力。电偶极子只在非均匀场中受力。(1)()()()()eeeeFpEpEEpEp ()epE假定在外场作用下假定在外场作用下 不变，设不变，设 为为 与与 之之间的夹角，则间的夹角，则Epp)1(WLsin)cos(eepEpE 可见即使均匀场可见即使均匀场 ，但但0)1(F0)1(L力矩：力矩：(1)eLpE