求值域的10种方法.doc

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1、 第 1 页 共 13 页 求 函 数 值 域 的 十 种 方 法 一 直 接 法 （ 观 察 法 ） ： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1求函数 的值域。1yx 【解析】 ， ，函数 的值域为 。01yx,) 【练习】 1求下列函数的值域： ； ；32(1)yxxxf42)( ； ， 。 4 1 2y2,10 【参考答案】 ； ； ； 。1,52,)(,)() 43 二 配 方 法 ：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 的函数的值域问题，均可使用配方法。 2()()Fxafbfxc 例 2求函数 （ ）的值域。 24y1,x 【解析】 。 22()

2、6x ， ， ， ， 。131x 2()9x23()65x35y 函数 （ ）的值域为 。 24y,5 例 3求函数 的值域。)4,0( 2x 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得： 利用二次函数的相关知识得)(4)( 2xfxf )4,0()2()xf ，从而得出： 。,00,2y 说明：在求解值域(最值) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题 为： 。xf 例 4若 ，试求 的最大值。,42y0yxyxlg 第 2 页 共 13 页 【分析与解】本题可看成第一象限内动点 在直线 上滑动时函数 的最(,)Pxy42yx xyxl

3、gl 大值。利用两点 ， 确定一条直线，作出图象易得：(4,0),2 ，y=1 时， 取最 2(0,)lglg(4)lg(1)xyxyxyy而 yxl 大值 。2lg 【练习】 2求下列函数的最大值、最小值与值域： ； ； ；142xy 4,31 2xy 1,042xy ； ， ； 。5,0 2xy 5 x2, 6 23yx 【参考答案】 ； ； ； ； ；3,)2,1,3, 5 73,4 60, 三 反 函 数 法 ：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的 值域。 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函 数类型

4、。 例 5求函数 的值域。1 2xy 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 ，从而便于求出反函数。x 反解得 ，故函数的值域为 。1 2xyy2(,2)(,) 【练习】 1求函数 的值域。 32yx 2求函数 ， 的值域。 abycxd0,dxc 【参考答案】1 ； 。 2(,)(,)3(,)(,)a 第 3 页 共 13 页 四 分 离 变 量 法 ： 适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数 法。 例 6：求函数 的值域。25 xy 解： ， 17()125xxx ， ，函数 的值域为 。 7205yy1|2y 适

5、用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ( 常)xfky为 数)的形式。 例 7：求函数 的值域。12 xy 分析与解：观察分子、分母中均含有 项，可利用分离变量法；则有x2 。 221xxy213()4 不妨令： 从而 。 )0(),)()2 xfxgf ,43)(xf 注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母 .所以 故 。0)(f)(f ()0,g1,3y 另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到 221xtxt 的值域。y 【练习】 1求函数 的值域。1 32x 【参考答案】1 0(, 第 4 页 共 13 页 五 、 换

6、元 法 ：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的 方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当 根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。 例 8：求函数 的值域。21yx 解：令 （ ），则 ， 。t0t 2tx2215()4ytt 当 ，即 时， ，无最小值。函数 的值域为 。 12t38xmax54yx(, 例 9：求函数 的值域。 21()y 解：因 ，即 。 21()0 xx 故可令 ， 。cos,1cosincos1cosy2 1)4sin(2 ， ，4 5,0in()240i()2

7、 故所求函数的值域为 。1,0 例 10.求函数 的值域。 342xy 解：原函数可变形为： 21xy 可令 X= ，则有tan 22sin,cos11xx1sicoi42y 当 时，8 kmax1y 当 时，2 in4 而此时 有意义。tan 第 5 页 共 13 页 故所求函数的值域为 41, 例 11. 求函数 ， 的值域。(sin)(cos)yx ,12x 解： 1sincosix 令 ，则it 21incos()xt2211()()yttt 由 sincosin()4txx 且 ,12 可得： t 当 时， ，当 时，2tmax 32yt324y 故所求函数的值域为 。 ,4 例 1

8、2. 求函数 的值域。25yxx 解：由 ，可得250| 故可令 cos,x545in10si()4y 0544 第 6 页 共 13 页 当 时，4 max410y 当 时， in5 故所求函数的值域为： 4,10 六 、 判 别 式 法 ：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式x(,)0Fxy ，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，常用此0 2112abcya2 方法求解。 例 13：求函数 的值域。 231xy 解：由 变形得 ， 2x2()(1)30yxy 当 时，此方程无解；1y 当 时， ， ，xR 2()4()yy 解得 ，又 ， 13

9、y113 函数 的值域为 2x|y 七 、 函 数 的 单 调 性 法 ：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数 的值域。 例 14：求函数 的值域。12yx 解：当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，12x 函数 在定义域 上是增函数。12yx (,2 ， 函数 的值域为 。12yx 1(,2 第 7 页 共 13 页 例 15. 求函数 的值域。1yx 解：原函数可化为： 1x 2 令 ，显然 在 上为无上界的增函数,121xyx2y, 所以 在 上也为无上界的增函数, 所以当 x=1 时， 有最小值 ，原函数有最大值21y 2 显然 ，故原函数的值域为0

10、y,0( 适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减） 例 16：求函数 的值域。 )4log221x 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得： 由复合函数的单调性（同增异减） 2()4()0txxt2()4()0,4t tx所 以 （ 知： 。,y 八 、 利 用 有 界 性 ：一般用于三角函数型，即利用 等。1,cos,1sinxx 例 17：求函数 的值域。 cosin3xy 解：由原函数式可得： ，可化为：sy21si()yxy 即 23n1 xR si(), 即 2311y 解得： 4 y 第 8 页 共 1

11、3 页 故函数的值域为 2,4 注：该题还可以使用数形结合法。 ，利用直线的斜率解题。 cos0in3ixy 例 18：求函数 的值域。 12xy 解：由 解得 ，12 xxy ， ，0 x 0y1y 函数 的值域为 。 12x(,) 九 、 图 像 法 （ 数 形 结 合 法 ） ：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的 距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例 19：求函数 的值域。|3|5|yx 解： ， 2|8x(3)5x 的图像如图所示，|3|5|yx 由图像知：函数 的值域为|yx8,) 例 20. 求函数 的值域。 22

12、()()x 解：原函数可化简得： |2|8|yx 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2 ）， 间的距离之和。()B 由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， |8|10yxA 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |2|xB 8 5-3 o y x 第 9 页 共 13 页 故所求函数的值域为： 10, 例 21. 求函数 的值域。226345yxx 解：原函数可变形为： 2222(3)(0)()(01)yx 上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和，,Px3,(,)AB 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， ， 22min|3(1)43y 故所求函数的值

13、域为 43, 例 22. 求函数 的值域。2261345yxx 解：将函数变形为： 22()(0)()(01)x 上式可看成定点 A（3，2 ）到点 P（x，0）的距离与定点 到点 的距离之差。,B)0,x(P 即： |yPB 由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三 ABP 角形两边之差小于第三边，有 22|(3)(1)6BA 即： 26y （2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 |2PBA 综上所述，可知函数的值域为： (26, 第 10 页 共 13 页 例 23、：求函数 的值域.x ycos2in3 分析与

14、解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将12x yk 原函数视为定点(2，3) 到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题)sin,(cox)sin,(cox 就转化为求点（2 ，3 ）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相 切时取得，从而解得： 326,y 点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。 例 24求函数 的值域。xy1 分析与解答：令 ， ，则 ， ， ，uv0,vu22vuyvu 原问题转化为 ：当直线 与圆 在直角坐标系 的第一象限有公共点时，求直线y2o 的截距的

15、取值范围。 由图 1 知：当 经过点 时， ；vu),0(min 当直线与圆相切时， 。22maxOCDy 所以：值域为 2 2 2O V UA B C D E 第 11 页 共 13 页 十 ： 不 等 式 法 ：利用基本不等式 ，求函数的32,ababca(,)bcR 最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、 添项和两边平方等技巧。 例 25. 求函数 的值域。 2211(sin)(cos)4yxx 解：原函数变形为： 222222(sinco)sincos1e3tatnco5yxxx 当且仅当 tt 即当 时 ，等号成立4 xk()z

16、故原函数的值域为： 5, 例 26. 求函数 的值域。2sinyx 解： 4sico2nx42222316sic8(sin)(ini/7yxx 当且仅当 ，即当 时，等号成立。22sinsixx 2sin3x 由 可得： 2647y839y 故原函数的值域为： , 十 一 、 多 种 方 法 综 合 运 用 ： 第 12 页 共 13 页 例 27. 求函数 的值域。 23xy 解：令 ，则(0)tt21t （1）当 时， ，当且仅当 t=1，即 时取等号，所以t 21ytt1x102y （2）当 t=0 时， y=0。 综上所述，函数的值域为： 0,2 注：先换元，后用不等式法 例 28. 求函数 的值域。 2341xxy 解： 2432411xx22 令 ，则 tan2x21cosxsi12211coinsiiny27si416 当 时， inmaxy 当 时，si1in2 此时 都存在，故函数的值域为 tan217,6 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。sin 第 13 页 共 13 页 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰 当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特 殊方法。