无穷小量与无穷大量

《无穷小量与无穷大量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷小量与无穷大量（44页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第三节 无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二.无穷大量 简言之简言之,在某极限过程中在某极限过程中,以以 0 为极限的量称该极限过程中的一为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量个无穷小量.例1 .,0 0,lim )1(220是一个无穷小量时 xxxx .sin ,0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx .1 ,0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx .cos ,2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中,常值函数 y=0 均为无穷小量.由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.)(li

2、m)(0axfxxx,)()(xaxf .)(,(0)(,0 xxxx其中 同一个极限过程中的有同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是无穷小限个无穷小量之和仍是无穷小量量.同一个极限过程中的有限同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小个无穷小量之积仍为无穷小量量.常数与无穷小量之积常数与无穷小量之积仍为无穷小量仍为无穷小量.在某极限过程中在某极限过程中,以极限不以极限不为零的函数除无穷小量为零的函数除无穷小量所得到商仍为无穷小量所得到商仍为无穷小量.在某极限过程中在某极限过程中,无穷小量与无穷小量与有界量之积仍是无穷小量有界量之积仍是无穷小量.例2证0sin1limxxx证明)(,01

3、 lim 无穷小量因为xx)(,),(1|sin|有界量xx .0sin1lim xxx故有界量与无穷小量的乘积我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.：例3.4lim 230 xxx求解 )(,0lim 30无穷小量由于xx )(,4)4(lim20极限不为零xx .04lim 230 xxx故例4,(i)2xy,ln (iii)xy.lim2xx,lnlim0 xx.lnlimxx,tan (iv)xy,tanlim2xx.tanlim2xx,(ii)3xy.lim3xx(无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量,x 0)(无穷小量的倒数为

4、无穷大量无穷小量的倒数为无穷大量,x 0)则例7 .0 ),(,1)(xxxxf且设.01lim )1(xx.1lim )2(0 xx在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明.,0)()(xfxf是一个无穷大量且若 .)(1 为无穷小量则xf ,0)()(xfxf是一个无穷小量且若 .)(1 为无穷大量则xf在某极限过程中在某极限过程中,两个无穷大量之积两个无穷大量之积仍是一个无穷大量仍是一个无穷大量.在某极限过程中在某极限过程中,无穷大量与无穷大量与有界量之和仍为无穷大量有界量之和仍为无穷大量.,0 ,0 ,0 :nnyx ,8 ,6,4 ,2 :nnyx ,)1(,4 ,3 2,1 :

5、nxnn ,)1(,4 ,3 2,1 :1nynn此时时显然 .,nnyxn例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:,)()(1xxxf 1,1|)(|,)1|(2xxgxx时不妨设当 .)(011)()(21xxxxxgxf而 ,)()(32xxxf .)(1)()(232xxxxxgxf例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:,)()(1xxxf 1,1|)(|,)1|(2xxgxx时不妨设当 .)(011)()(21xxxxxgxf而 ,)()(32xxxf .)(1)()(232xxxxxgx

6、f不一定再是无穷大量.在某个极限过程中,两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.设,是同一个极限过程中的两个无穷小量.则称 是 的若,0lim记为.)(o高阶无穷小,此时,lim也可称 是 的低阶无穷小.若0limCC，为常数,记为则称 与 是同阶无穷小,.)(O若0 ,0limkCCk，为常数,则称 为 的 k 阶无穷小,记为.)(Ok.,是同阶无穷小与此时k则称 是 的若,1lim记为.等阶无穷小,不存在,但又不是无穷大,若lim则称 与 是不能比较的无穷小.x 0 时的几个无穷小量的比较：).0()(o ,0lim )1(220 xxxxxxxxxx2si

7、nlim )2(0,32limsinlim00 xxxxxx)O(2sinxxx)0(x例1xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220 xxxxx)0()(sinOcos1 2xxx1sinlim )4(0 xxx)0(sin xxxxxx220sin2sin2lim)0 ,0(ln1 axaxax证明1ln1 lim 0axaxx即要证 ,1 xay令ayyxaln)1ln()1(logaxaxxln1lim 0故)0(ln1 xaxax从而且时则 ,0 ,0 yx)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10yyy有何想法？例2证 ).0()1ln(,xx

8、x得到由该例的证明过程 ,21cos1lim 20 xxx因为所以 1 cos x=O(x2)(x 0).)0(21cos1 2xxx还有例3xxxxxx1sin lim1sinlim 00 x 0 时,xx1sin不可比较的无穷小.不存在,但不是无穷大,与 x 是例4设在某一极限过程中,)(lim 或为若a .limlim 则,设在某极限过程中,则 .传递性无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例例 .21sintanlim 30 xxxx直接计算可得 如果在加减法中用等价无穷小量替代,则会产生错误:.0limsintanlim3030 xxxxxxx

9、x ).sin ;tan ,0(xxxxx时将常用的等阶无穷小列举如下:xx sinxx tan2cos12xxxx)1ln(mxxm11211xx nxxn1)1(xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan.0 ,aNnm其中 当 x 0 时xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例6解xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtans

10、in2lim0 xxx2lim0212例7解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例8解解例13 .)122(lim xxxxx求 ,0 ,1 于是时则令yxyxyyyy11221lim0原式yyyyy)11(2121lim0yyyyyy11lim2121lim00 .011解例14 .)2cos1cos(1lim 40 xxx求 ),0(2cos1 2得由xxx420402)2cos1(lim)2cos1cos(1lim xxxxxx .28)2(lim22)2(lim4404220 xxxxxx解例15 .)sin1(lim cos1120 xx

11、xxe求xxexexxxxxcos1)sin1ln(limexp)sin1(lim 20cos1120 ,)0(2cos1 ,)1ln(2得由xxxxx220sin 2limexpxxexx .sinlim2lim exp22200exxexxx 也可再用等价无穷小替代？?这样做行不行 .sin 0 ,1sinlim 22220 xxexxxexxx时所以由于 )(1lim)sin1(lim cos1120cos1120 xxxxxxxe故 .)1(lim22 202exxx)0(,21cos1 (2xxx请看下面的定理.解例17 .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1lim20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx.)1ln(;2cos1 ,02xxxxx 时3