无穷小量与无穷大量阶的比较

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1、3.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义1.定义定义:极限为零的变

2、量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx,01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其

3、中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx)(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(.20 xAxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同

4、一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得,0,0,021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 ,)(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1,.11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0,0,01

5、01MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0,0,0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的

6、变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定定义义 2 2 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数M(不不论论它它多多么么小小),总总存存在在正正数数(或或正正数数X),使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx(或或 xX)的的一一切切x,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Mxf)(,则则称称函函数数)(xf当当0 xx(或或 x)时时为为无无穷穷小小,记记作作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变

7、量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim.20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx xxy1sin1),3,2,1,0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大时时当当无界，无界，),3,2,1,0(21)2(0 kkx取取,kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大.11lim1

8、 xx证证明明例例证证11 xy.0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0,0,00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx.

9、0)(,0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0,0,00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.极限运算法则的证明极限运算法则的证明定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf .0,0.)(,)(其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得)()()(BAx

10、gxf .0.)1(成立成立)()()(BAxgxf ABBA )()(BA.0.)2(成立成立BAxgxf)()(BABA )(BBAB.0 AB,0,0 B又又,0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：)()()(limxAxfAxf (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论有两个重要的推论四四、无穷小的比较、无穷小的比较例如例如,.1sin,sin,022

11、都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 观察各极限观察各极限xxx3lim20,0;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0,1;sin大大致致相相同同与与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不不存存在在不可比不可比.极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设);(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的

12、无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0,0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCCk 例例1 1.tan4,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x.21cos1,1,

13、)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1(注注上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(.2 xfx用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim ,0lim ),(o即即).(o于是有于是有)(o 同同理理也也有有一般地有一般地有)(o 即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 补充补充高阶无穷小的运算规

14、律高阶无穷小的运算规律,min)()()().1(nmkxoxoxoknm 其其中中)()()().2(nmnmxoxoxo )()().3(nmnmxoxox 为有界为有界其中其中)()()()().4(xxoxoxnn 五、等价无穷小替换五、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化

15、计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传递性例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时

16、时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 错错解解,0时时当当 x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解tan55(),xx o x),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinli

17、m0 原原式式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原原式式 )1cossin(cos11lim0 xxxxxx21 解三解三 xxxxxxxxIx1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxxxxx解解1 xu令令ux 1则则得得由由uu 1)1(130)11()11)(11(lim nnuuuuuI1013121lim nuuunuu!1n 关于关于1 1型极限的求法型极限的求法)()(limxgxf )(lim,1)(limxgxf)()(limxgxf)(

18、ln)(limxfxge)(ln)(limxfxge)(1)1)(1lnlim)(ln)(limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和

19、（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.六、小结六、小结3.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.4.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.作业P66:1,2,3,5,6.思考题思考题1若若0)(xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说

20、明.思考题思考题2 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题思考题1解答解答不能保证不能保证.例例xxf1)(,0 x有有01)(xxf )(limxfx.01lim Axx思考题思考题2解答解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.