第八节-函数与方程

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1、栏目索引第八节函数与方程栏目索引总纲目录总纲目录教材研读1.函数零点的定义考点突破2.函数零点的判定(零点存在性定理)3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系考点二判断函数零点的个数考点一函数零点所在区间的判断考点三已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值 范围)栏目索引教材研读1.函数零点的定义函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴轴有交点函数y=f(x)有零点零点.教材研读教材研读栏目索引教材研读2.函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理)一

2、般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个两个 一个一个 无无栏目索引教材研读4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,则令

3、a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|0;f(2)=5,f(1)=2,f(2)f(1)0;f(-2)=-,f(-1)=-,f(-2)f(-1)0;f(0)=1,f(-1)=-,f(0)f(-1)0,易知-1,0符合条件,故选D.3592323栏目索引教材研读4.函数f(x)=ex+3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3B答案答案 B函数f(x)=ex+3x在R上是增函数,f(-1)=-30,f(-1)f(0)0,函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内,故选B.1e栏目索引教材研读5.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=

4、bx2-ax的零点是()A.0,2 B.0,C.0,-D.2,-121212答案答案 C由题意知2a+b=0,则b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x=-,所以g(x)的零点为0,-.ab1212C栏目索引教材研读6.函数y=-m有两个零点,则m的取值范围是 .|12x(0,1)答案答案(0,1)解析解析在同一直角坐标系内,画出y1=和y2=m的图象,如图所示,由于原函数有两个零点,故0m1.|12x栏目索引考点突破典例典例1(1)函数f(x)=+ln的零点所在的区间大致为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3)(2)若abc,则函数f(x)=(

5、x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内2x11x考点突破考点突破考点一函数零点所在区间的判断考点一函数零点所在区间的判断栏目索引考点突破答案答案(1)B(2)A解析解析(1)f(x)=+ln=-ln(x-1),其在定义域(1,+)上是减函数.当1x2时,ln(x-1)0,即f(x)0,故函数在(1,2)上没有零点.f(2)=-ln 1=10,f(3)=-ln 2=,因为=22.828,所以e,故ln eln,即1ln 8,所以2l

6、n 8,即f(3)0,根据零点存在性定理可知函数f(x)在(2,3)上存在零点,故选B.(2)易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又ab0,f(b)0,又函数f(x)是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,故选A.2x11x2x2x222323ln232ln83828812栏目索引考点突破方法技巧方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根落在给定区间上进行判断;(2)利用零点存在性定理进行判断;(3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区

7、间内是否有交点来判断.栏目索引考点突破1-1设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)存在的零点一定位于区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)答案答案 A h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标.两函数的大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围是(0,1),故选A.A栏目索引考点突破1-2已知函数f(x)=ln x-的零点为x0,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)212x答案答案 C因为f

8、(x)=ln x-在(0,+)是增函数,f(1)=ln 1-=ln 1-20,f(2)=ln 2-0,所以x0(2,3),故选C.212x112012112C栏目索引考点突破典例典例2(1)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3(2)若a满足x+lg x=4,b满足x+10 x=4,函数f(x)=则关于x的方程f(x)=x的解的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42()2,0,2,0,xab xxx考点二判断函数零点的个数考点二判断函数零点的个数栏目索引考点突破答案答案(1)C(2)C解析解析(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+)

9、.在同一直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x0),y2=ln x(x0)的图象,如图所示:由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)由已知,得lg x=4-x,10 x=4-x.在同一直角坐标系中作出y=10 x,y=lg x以及y=4-x的图象,其中y=10 x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y=4-x栏目索引考点突破的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)=当x0时,由x2+4x+2=x,得x=-1或x=-2;当x0时,x=2,所以方程f(x)=x的解的个数是3.242,0,2,0.xxxx栏目索引考点突破规律总结规律总结函数零点个数的判断方法(1

10、)直接求零点;(2)零点存在性定理;(3)利用图象交点的个数.特别地,若已知f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题,数形结合求解.栏目索引考点突破2-1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案答案 B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|=的根的个数函数y1=|log0.5x|与y2=的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.12x12x12xB栏目索引考点突破2-2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0

11、,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是()A.多于4 B.4 C.3 D.2答案答案 B由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的大致图象,如图.观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.B栏目索引考点突破典例典例3(1)(2017课标全国,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1(2)(2017云南昆明质量检测)已知关于x的方程=a|x|有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(0,1

12、)C.(1,+)D.(0,+)12131212x考点三已知函数的零点考点三已知函数的零点(方程的根方程的根)求参数值求参数值(取值范围取值范围)栏目索引考点突破答案答案(1)C(2)C解析解析(1)由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.令h(t)=,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点,得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a=,故选C.(2)方程=a|x|有三个不同的实数解等价于函数y=与y=a|x|的图象有

13、三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数y=与y=a|x|的图象,如图所示,由图易知,a0.当-2x0时,设函数y=a|x|=-ax的图象与函数f(x)=的图象相切于点(x0,y0),因为f(x)=-,则有21eettt21eettt1021212x12x12x12x21(2)x栏目索引考点突破解得a=1,所以实数a的取值范围是(1,+),故选C.000020,1,21,(2)yaxyxax 栏目索引考点突破规律总结规律总结已知函数的零点或方程根的情况求参数问题的常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构造关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函

14、数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.栏目索引考点突破同类练同类练(1)(2017甘肃兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点,则实数的值是()A.B.C.-D.-(2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .1418783822log(1),0,2,0,xxxx x栏目索引考点突破答案答案(1)C(2)(0,1)解析解析(1)令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,则f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),因为f(x)是

15、R上的单调函数,所以2x2+1=x-只有一个根,即2x2-x+1+=0只有一个根,则=1-8(1+)=0,解得=-.故选C.(2)函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的图象有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).78栏目索引考点突破变式练变式练设函数f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在1,2上有零点,则m的取值范围是 .2213log,log35答案答案 22

16、13log,log35解析解析令F(x)=0,即g(x)-f(x)-m=0.所以m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2=log2.因为1x2,所以32x+15.所以,1-.所以log2log2log2,即log2mlog2.所以m的取值范围是.2121xx2121x25221x2313221x35132121x3513352213log,log35栏目索引考点突破深化练深化练定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为()12log(1),0,1),1|3|,1,),xxxx A.1-2a

17、B.2a-1 C.1-2-a D.2-a-1A答案答案 A因为当x0时,f(x)=即x0,1)时,f(x)=lo(x+1)(-1,0;x1,3时,f(x)=x-2-1,1;x(3,+)时,f(x)=4-x(-,1).画出x0时f(x)的图象,12log(1),0,1),1|3|,1,);xxxx 12g栏目索引考点突破再利用奇函数的对称性,画出x0时f(x)的图象.f(x)的图象如图所示,则直线y=a与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,因为x(-1,0)时,-x(0,1),栏目索引考点突破所以f(-x)=lo(-x+1),又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-lo(-x+1)=lo(1-x)-1=log2(1-x),所以中间的一个根满足log2(1-x)=a,12g12g12g即1-x=2a,解得x=1-2a,所以所有根的和为1-2a.故选A.栏目索引夯基提能作业