注册岩土工程师基础考试基本公式汇总

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1、高等数学公式导数公式：(tgx) = sec2 x (ctgx) = - csc2 x (sec x) = sec x - tgx (esc x) = - esc x - ctgx (ax) = ax ln a (log x) =1-a xln a(arcsin x)=- 1 x2(arccos x) = -=1 - x 2(arctgx)=-1 + x 2(arcctgx) = -1 + x 2基本积分表：J tgxdx = - ln|cos x| + C J ctgxdx = ln|sin x| + CJ sec xdx = In I sec x + tgx| + CJ esc xdx =

2、 In |csc x - ctgx| + C1x=arctg +Caa1x a In+ C2ax + a1a+xIn+ C2aa-xJ dxa 2 + x2J dxx2 - a 2J dxa 2 - x2dxx=arcsin + C a 2 - x 2aJ d = J sec2 xdx = tgx + Ccos2 xJ dx = J csc2 xdx = -ctgx + C sin2 xJ sec x - tgxdx = sec x + CJ esc x - ctgxdx = - esc x + CJ axdx =+ ClnaJ shxdx = chx + CJ chxdx = shx + C

3、J dx = ln(x + t； x2 土 a 2) + C 弋 x 2 土 a 2I = J sin n xdx =J cosn xdx = _-1nn n-200J x. x2 + a 2 dx = x- x2 + a 2 + ln(x + x2 + a 2) + C22J Jx2 - a2 dx = ;x2 - a2 - In x + Jx2 - a2 + C2 2R药二&dx = ZOb + 聖 ARcsln 兰 + C22a三角函数的有理式积分：xu = tg ,22dudx =1 + u2.2u1 - u 2sin x =, cos x =1 + u21 + u2一些初等函数：双曲

4、正弦:shx =宁双曲余弦:chx = ex + e - x2双曲正切:thx =凹= chx ex + e-x两个重要极限：sin xlim = 1xtO xlim(l + -) x = e = 2.718281828459045xSxarshx = ln( x + . x 2 +1)archx = 土 ln(x + 土 x2 -1)arthx = In21 - x三角函数公式：诱导公式：和差角公式：函数 角A、sincostgctga-sinacosa-t ga-ct ga90-acosasinactgatga90 + acosa-sina-ct ga-t ga180-asina-cosa

5、-t ga-ct ga180 + a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270 + a-cosasina-ct ga-t ga360-a-sinacosa-t ga-ct ga360 + asinacosatgactga和差化积公式：sin(a P) = sin a cos P 土 cosa sin P cos(a P) = cosa cos P + sin a sin Ptg (aP) =1 + tga tg卩ctg (ap)=臂 ctg卩壬1ctgP ctgaa +Pa-Psin a + sin P = 2 sin cos 2 2a +P a -P

6、sin a 一 sin P = 2 cos sin 一2 2a+P a -Pcosa + cos P = 2 cos cos 2 2a + P a - P cosa 一 cos P = 2sin sin 2 2倍角公式：sin 2a = 2sina cosacos 2a = 2cos2 a -1 = 1 - 2sin2 a = cos2 a - sin2 actg 2a -12ctgatg 2a =2tga1 - tg 2asin3a = 3 sin a - 4 sin3 a cos3a = 4cos3 a - 3cosa tg 3a = 3tga-tg 3a1-3tg2a半角公式：.a ,

7、.1 - cos asin = -2 2a-1 - cos a1 - cos a sin atg = 21 + cos asina1 + cos a,：1 + cos a=2 2a -1 + cos a 1 + cos a sin a ctg = =21 - cos a sin a 1 - cos aa cos a正弦定理：一=2 Rsin A sin B sin C.兀反三角函数性质：arcsin x = - arccos x高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式：余弦定理： c2 = a2 +b2 - 2abcosC兀arctgx = - arcctgx(uv )(n) = Z C

8、ku (n-k)v (k)n k=0,n (n - 1)“=u (n) v + nu (n-1) v +u (n-2) V + +2!n(n - 1) (n - k + 1)k!u (n - k ) v (k ) + + uv (n )中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a)=广忆)(b - a)柯西中值定理：f(b)f(a)= z字F (b) - F (a) F 代)当F( x) = x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds = v1 + y 2 dx,其中y = tg a平均曲率： K =M 点的曲率：Aa.Aa :从M点到M点，切线斜率的

9、倾角变化量； As： M M 弧长。K = limAaly1dsv(1 + y 2)3直线： K = 0;半径为a的圆:定积分的近似计算：矩形法：f f (x) = -_ (y + y + + y ) n0 1n-1 梯形法：f f (x) u -_丄(y + y ) + y + + y n 2 0n1n -1抛物线法：f f (x) u - ( y + y ) + 2(y + y + + y ) + 4(y + y + + y )3n0n24n-213n-1 定积分应用相关公式： 功：W = F - s水压力：F = p - A引力：F = k,k为引力系数r2函数的平均值：=丄均方根:-a

10、a多元函数微分法及应用全微分：dz 上 dx + 空 dy5x5y,5 u 5 u 5 u ,du = dx + dy + dz5x5y5z全微分的近似计算：A z u dz多元复合函数的求导法= f (x, y)Ax + f (x, y)Ay xyz = f u (t), v (t)dzdt5u 5t5v 5tz = fu(x, y), v(x, y)5z5x5 z 5 u + 5 z 5 v5u 5x5v 5x当 u = u (x, y), v = v(x, y)时,5 u 5 u ,du = dx + dy5x5ydv5 v r5 v ,= dx + dy5x隐函数的求导公式：隐函数 F

11、（x,y）=0，dy =dxdx 2右（-务）+右（-务） dx隐函数 F(x,y,z)=0，5z5z5 F5 FF (x, y,u, v) = 0J = 5 (F，G)=5 u5 vF=uFvG (x, y,u, v) = 05 (u, v)5 G5 GGG5 u5 vuv5x5v5 (F, G)1隐函数方程组：zz5u5x5(x,v)5x5(u, x)5v5(y,v)5u5(u,y)多元函数的极值及其求法：设/ (x,y ) = f(x,y ) = 0,令：f(x,y ) = A,f(x,y ) = B,f(x,y ) = Cx 00 y 00xx 00xy 00yy 00a0时J A 0

12、,(x , y )为极小值贝蚪AC - B2 0)的引力:F = f JJ p (x, y)ydQy3D (x2 + y2 + a2)2yDF = F , F , F ，其中：xyz=fa JJ p (x, y)xdQ3 D (x2 + y2 + a2)2常数项级数：1 q n =口 等差数列：1 + 2 + 3 + + n = (n + 1) n2 + 1是发散的n等比数列：1 + q + q 2 + qn-1调和级数：+1 + 3+级数审敛法：1、正项级数的审敛法设：p = lim n：u ，nn u 根植审敛法(柯西判 别法)p 1时，级数发散p = 1时，不确定2、比值审敛法：设：p

13、= lim n+1Un Tn，则级数收敛 级数发散p 1时，p = 1时，不确定3、定义法：s = u + u + u ;lim s存在，则收敛；否则发散。 n 1 2 n nn u交错级数u u + u u +(或u +u -u +,u 0)的审敛法莱布尼兹定理:1234123f u uunn+1如果交错级数满足imu ；0，那么级数收敛且其和s u,其余项r”的绝对值|r |ns绝对收敛与条件收敛：u + u H- u +，其中u为任意实数；12nn(2) u + u | + u |+ u |+.123n如果(2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数 如果(2)发散，而(1)收敛

14、，则称 (1)为条件收敛级数。调和级数：工1发散，而工匕1上收敛； nn级数:工丄收敛； n2p级数:工丄恥1时发散 npp1时收敛幂级数：1 + X + X 2 + x 3 + + Xn + |x| 1时，发散对于级数 a + a x + a x2 + 十a xn +，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存:nx| R时收敛在R，使：|x卜R时发散，其中R称为收敛半径。X = R时不定求收敛半径的方法:设limn fgan十1an=p，其中a，a是(3)的系数，贝9 ； pnn + 1i丰0时,R =PR = +g=0时，=+x 时，R = 00 1f (n) (X )函数

15、展开成幂级数：函数展开成泰勒级数:f (x) = f (x )(x x ) + f x)(x x )2 十匚(x x )n 余项：R = V n(n +1)!002!0n!0(x x )n+1,f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR = 00nnfgx = 0时即为麦克劳林公式：f (x) = f (0) + 广(0)x + f (0) x2 )(0) xn -02!n!一些函数展开成幂级数：m(m 1)m(m 1)-(m n +1)(1 + x) m = 1 + mx +x2 十xn -(1 x 1)2!n!x3 x5x 2n1sm x = x +十(1) n1-(g x 0)y

16、 = c ex + c eqx12两个相等实根(P2 4q = 0)y = (c + c x)ex12一对共轭复根(P2 -4q 0) r =a + iP， r =a iP1 2a=-p，卩=屈-P22 2y = ecx (c cos px + c sin px)12二阶常系数非齐次线性微分方程y + py + qy = f (x), p, q为常数f (x) = e心P (x)型，九为常数；mf (x) = e心P (x) cos wx + P (x) sin ex型ln二、空间解析几何(一) 空间直角坐标系(三个坐标轴的选取符合右手系)空间两点距离公式 IpQ = (x 2 - xi)2

17、+ (y 2 - yi)2 + (z 2 - Z)2(二)空间平面、直线方程1、空间平面方程a、点法式 A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0) = 0b、一般式 Ax + By + Cz + D = 0c、截距式丄+ b +三=1 a b cAx + By + Cz + D d、点到平面的距离d =000 A 2 + B 2 + C 22、空间直线方程a、 一般式A x + B y + C z + D = 01111A x+B y+C z+D =02222b、 点向式（对称式）分母为 0，相应的分子也理解为 0）x = x + It0c、参数式 i y = y0 + mtz = z

18、 + kt03、空间线、面间的关系a、两平面间的夹角：两平面的法向量%，吒的夹角0 （通常取锐角）- ABC两平面位置关系：兀i /兀2 O / n2 O 又1 =茴=C1222兀丄兀。n 丄 n 。A A + B B + C C = 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2平面“ i与兀2斜交，b、两直线间的夹角：两直线的方向向量的夹角0 （取锐角）- l m n两直线位置关系：L /L o a /a o尹=1 =卜1212 l m n2 2 2L 丄 L o a- 丄 a- o l l + m m + n n = 01 2 1 2 12 1 2 1 2 b、 平面与直线间的夹角线面夹角：当

19、直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线之间的夹角申（取锐角）称为直线与平面的夹角兀当直线与平面垂直时，申=（申=线面位置关系：L /兀 o -丄-o 1A + mB + nC = 0- - l m nL 丄兀 o a / n o = 一 = ABCf (x)=作 + 艺(a cos + b sin nX)，周期 =2l2n l nn=11 If (x)cos 吗xll-11 If (x )sin 竺 dx1 1-l(n = 0,1,2 )(n = 1,2,3 )物理学热学1、PV 二 M RT ； P = nkT ；2 -n;= -kT ; ? = -kT : E 二 M-RT22p

20、22、麦氏分布： ，表示单位速度间隔的分子数占总分子数的百分比。Ndv最概然速率v=叫匣；平均速率V = 1.6輕；方均根速率厉=1.7西、平均碰撞次数Z = ；2兀d2vn ;平均自由程九=4、等温过程PV = C ；等压过程V = C ;等容过程P = C ；绝热过程比等温线陡。总功A = IPdV ;等温过程A = J PdV = RTInTPV1V1，AE=-RATP2热一律的应用：功是过程曲线下面的面积，Q = AE + A等容A = 0，Q =AE =禮iRAT ;等压AE = rATVP 2P 2， QP=f 丄 +1 RATP等温 AE = 0 ，Qt=MRT ln；绝热过程Q

21、=0A、顺时针：正循环，热机效率耳=净=1-qr吸-T卡诺循环耳 二、波动1、简谐振动表达式y = Acos6t +申0）， = 2兀/T = ”km(x)ft干一+pk u丿0丿波动方程y = Acos(=Acos t +y = Acos(x-x )t +0+*k u丿0丿2、波的能量：动能和势能的大小相等，方向、相位相同；波能量不守恒； 平均能量密度= 2 PA223、驻波：振幅相同，方向相反的两列波的叠加。相邻波腹（波节）距离为半波长。uv4、多普勒效应：v =ovu + vs，其中v 为观察者接收的频率，v为波源频率，v0为观察者速度， v 为波源速度。观察者向着声源运动时， v 前取

22、正号，远离取负号；波源向着观察s0者运动时， v 前取负号，远离取正号。 s三、光学 k2 兀（2k +1），相位差 A = 5 2 -D双缝干涉：相邻明（或暗）条纹中心间距Ax = 厂d1、干涉：光程差5 =役-nir =薄膜干涉：劈尖5 = 2ne +，半波损失，从光疏到光密的反射光；Ae = 1622 n2、衍射：单缝衍射a sin =(2k +1)-明纹2- 2k - = k暗纹20 中央明纹3、光学仪器分辨率：-D最小分辨角6o = L22孑，分辨率R = 1 22 X射线，衍射，布拉格2d sin * = k4、光栅常数明纹d sin * = k5、偏振：马吕斯定律1 = Io cos2an布儒斯特方程：i = i = arctan 2，反射光全是线偏振光，折射光为部分偏振光on1