第五章定积分的概念

《第五章定积分的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章定积分的概念（45页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、欢迎同学们归来欢迎同学们归来上期考试情况总结上期考试情况总结本期课程安排本期课程安排作业问题作业问题答疑时间答疑时间主要内容主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分的性质的性质牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 定积分的定积分的计算法计算法定积分的概念定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发

2、，引出积分学的第基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题二类基本问题定积分，它是微分（求局部量定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和）的逆运算（微分的无限求和求总量），然求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。域中有着极其广泛的应用。重点重点定积分的概念和性质，微积分基本公定积分的概念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法式，定积分的换元法和分部积分法难点难点定义及换元法和分部法的运用定义及换元法和分部法的运用基本要求基本要求正确理解定积分的概念及其实际背景正确理解定积分的

3、概念及其实际背景记住定积分的性质并能正确地运用记住定积分的性质并能正确地运用掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，并会用并会用N-L公式公式计算定积分，计算定积分，能正确熟练地运用换元法和分部积分法能正确熟练地运用换元法和分部积分法正确理解两类广义积分概念，正确理解两类广义积分概念，并会用定义并会用定义 计算一些较简单的广义积分。计算一些较简单的广义积分。计计 算定积分算定积分实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）求面积问题由来已久，对于由直线所围成的求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形平面图形

4、的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积如何求面积将其置于直角将其置于直角坐标系下考察坐标系下考察oxyabABmn问题归结为问题归结为AmBbaA与与AnBbaA的面积之差的面积之差曲边梯形曲边梯形一、问题的提出一、问题的提出曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.abxyo)(xfy?A用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyo（四个小矩形）（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积

5、观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示曲边梯形如图所示abxyo,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间i，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 ix1x1 ix1 nx为为高高的的小小矩矩形形面面积积

6、为为为为底底，以以)(,1iiifxx iiixfA )(曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(1 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为iniixfA )(lim10 实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段

7、时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iininiitvss )(11 （3）取极限）取极限,max21nttt 路程的精确值路程的精确值iniitvs )(lim10 （1）分割）分割问题问题 以上两个例子，一个是以上两个例子，一个是几何几何

8、问题，求的问题，求的是以曲线是以曲线 y=f(x)为曲边，以为曲边，以 a,b 为底边的为底边的曲边梯形的面积。一个是曲边梯形的面积。一个是物理物理问题，求的是问题，求的是速度函数为速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时的变速直线运动的物体在时间区间间区间 a,b 所走过的路程所走过的路程归纳归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）量（总面积或总路程）解决方法：解决方法：通过通过局部取近似局部取近似（求微分求微分），），求和取极限求和取极限（微分的无限求和微分的无限求和）的方法，把总量归结为）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限求一种

9、特定和式的极限 类似的例子还可以举出很多（几何、物类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）理的，在下一章定积分应用中即可见到）这些问题虽然研究的对象不同，但解决这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba

10、分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i（iix ），作作乘乘积积iixf)(),2,1(i并并作作和和iinixfS )(1，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总总趋趋于于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf 二、定积分的定义二、定积分的定义在在 区区 间间,ba上上 的的 定定 积积 分分，记为记为 ba

11、Idxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分区区间间,ba积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当 函函 数数)(xf在在 区区 间间,ba上上 的的 定定 积积 分分 存存 在在 时时，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.定理定理1 1 当当函函数数)(xf

12、在在区区间间,ba上上连连续续时时，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区间区间,ba上可积上可积.三、存在定理三、存在定理,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值4321)(AAAAdxxfba 1A2A3A4A 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部

13、分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(几何意义：几何意义：.102dxx 解解将将 1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 利用定义计算定积分利用定

14、义计算定积分 10dxex解解xexf)(在在 0,1上连续，故上连续，故f(x)在在0,1上可积上可积为方便计，将为方便计，将 0,1n 等分，左侧取点等分，左侧取点nxniii1,1 niief1)(1)(12101nnnniniieeeenxf 等比数列等比数列nnneen111)(11 11)1(1 nene nn0,1 11lim1lim00 xxxxeex11lim11lim01 xxnnexen niiixf10)(lim 11)1(lim1 nnene1 e例例 3 3.设设函函数数)(xf在在区区间间1,0上上连连续续，且且取取正正值值.nnnnfnfnf 21lim试试证证

15、.10)(ln dxxfe证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limln极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得 nnnnfnfnfe21lnlim nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1,0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分分点点为为nixi，（ni,2,1）因因为为)(xf在在区区间间1,0上上连连续续，且且0)(xf所所以以)(lnxf在在 1,0上上有有意意义义且且可可积积,nnifnin1lnlim1 10)(lndxxfnnnnfnfnf

16、21lim.10)(ln dxxfe故故观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系13观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系23观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系33观察下列演示过程，

17、注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系43观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系53观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系63观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系73观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩

18、形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系83观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系93观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系103观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系113观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积

19、的关系123观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系133观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系143定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限 分、粗、和、精分、粗、和、精定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 五、小结五、小结将和式极限：将和

20、式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1ix i.sin10 xdx思考题思考题练练 习习 题题一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数)(xf 在在 ba,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_.2 2、定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关.3 3、定积分的几何意义是定积分的几何意义是_.4 4、区间区间 ba,长度的定积分表示是长度的定

21、积分表示是_.二、二、利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积.三、三、利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba .四、四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：1 1、41102 dxx;2 2、2022cos2cosxdxxdx;五、五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 P的的水深水深 h函数，且有函数，且有)(8.92米米千千米米hp ，若闸门高，若闸门高米米3 H，宽，宽米米2 L，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力P（见教材图（见教材图 5-35-3）.练习题答案练习题答案一、一、1 1、niiixf10)(lim ；2 2、被积函数、被积函数,积分区间积分区间,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy ,轴轴x,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、badx.二、二、abab )(3133.三、三、)(2122ab .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).