史上相似三角形难题.doc

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1、相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当DEG与ACB相似时，求t的值如图，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一点

2、到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒（1）当t=2.5s时，求CPQ的面积；求CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t的值如图1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N（1）当ADCD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME与CNE相似？如图所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B

3、点时，Q点随之停止运动设运动的时间为x（1）当x为何值时，PQBC？（2）APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）。（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？模块二：构造辅助线双垂直模型在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的

4、表达式在ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长在ABC中，AC=BC，ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E那么D点的坐标为（ ）已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。求C、D两点的坐标。模块三：构造辅

5、助线A型与X型如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：ABAC=CFDF 四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分DAB. 求证：BEDE=BCCD在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当DEAE=1时，EF=a+b2；(2)当DEAE=2时，EF=a+2b3；(3)当DEAE=3时，EF=a+3b4.当DEAE=k时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明已知：如图，在ABC中，M是AC的中点，E、F是B

6、C上两点，且BEEFFC.求BN：NQ：QM证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的23.（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.模块四：相似中的定值问题如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F求证1CE+1BF=3AB.已知：如图，梯形ABCD中，AB/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证：1AB+1CD=1EO.如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFG

7、H的四个顶点分别在ABC上。求证: 1AB+1CD=1EF已知，在ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证：1AC+1BC=1a.模块五：相似中的共线线段成比例问题(1) 如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于R，T. 求证：PQPR=PSPT.(2)如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQPR=PSPT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）； 已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交

8、AC于E，交CF于F求证：BPPEPF如图，已知ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE=EGEH. 已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H. 求证：PEPF=PHPG已知，如图，锐角ABC中，ADBC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且BPC为直角求证：PDADDH 模块六：相似中的积式问题综合已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：ACCF=BCDF.如图，

9、在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：FD=FBFC（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：ANDN=CNMN如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DGBGCG；（2）BGCGGFGH模

10、块七：相似基本模型运用ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证：AEAF=ACAB模

11、块八：相似里的垂直模型在ABC中, A=900,ADBC,DEAB.求证:已知:Rt ABC中, ACB=900,CDAB于D,DEAC于E,DFBC于F. 求证:CD3=ABAEBF正方形ABCD中,AE= AD,AO=BO,OF CE于F. 求证:OF2=CFEF已知: ABC中,AB=AC,D 是BC的中点,DEAC于E,H是DE中点,连结AH,BE.求证:AHBEABC中,AB=AC,BDAC于D. 求证:BC2=2CDACABC中,ACB=900,CDAB于D,E是BC的中点,DE和AC的延长线交于F. 求证:1)FD2=FCFA;2）已知,RtABC中,ABC=900,D是BC上一

12、点,BEAC于E,BFAD于F.求证:AEFADC已知:RtABC中,ACB=900,AD平分CAB交BC于D,CEAB于E,DFAB于F点.求证:AF2=ABAE已知: ABC中,AB=AC,D 是BC的中点,DEAC于E,H是DE中点,连结AH,BE.求证:AHBE模块九：相似综合（一）在ABC中,D,E分别是AB,BC边上的点,连结DE并延长交AC的延长线于F.若BD:DE=AB:AC. 求证:EFC是等腰三角形一直线分别交ABC的BC延长线于D,交AC,AB于E,F,且AEF= AFE.求证:BD:CD=BF:CE（需要写出多种解法）梅涅劳斯定理：直线分别交ABC的BC延长线于D,交A

13、C、AB于E、F, 求证:已知:E是梯形ABCD对角线的交点,AD/BC,BF/CD交CA的延长线于F.求证:EFAD=ECBC设G为ABC的重心，过G作直线与AB、BC分别交于点E和F.求证：模块十：相似综合（二）在ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，BADACE（1）求证：ACBCCD；（2）若E是ABC的重心，求ACAD已知ABC中，ABAC5，BC8，点D在BC边上移动，连接AD，将ADC沿直线AD翻折，点C的对应点为C1（1）当AC1BC时，CD的长是多少？（2）设CDx，AC1D与ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，（3）在点D移动的过程中

14、，是否存在BC1D为直角三角形的情形？若存在，直接写出CD的长；若不存在，请说明理由ABC中，ABAC6，FC:EC=1：3，点D在AB边上（点D与点A、B不重合），过点D作DEAC，交BC边于点E，过点E作EFAC，垂足为F，连接DF（1）设ADx，CFy，求y关于x的函数关系式，（2）若DEF和CEF相似，求AD长（3）是否存在点D，使ADF为等腰三角形？若存在，直接写出AD的长；若不存在，请说明理由如图，等边ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CDBF，以AD为边向左作等边ADE，连接CF、EF，设BDBC=k（1）求证；四边形CDEF是平行四边形；（2）当DEF30时，求k的值

15、；（3）是否存在实数k，使SCDEF12SABC？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由已知ABC中，C90，ACBC2，点P在射线AC上，点Q在CB的延长线上，且APBQ，连接PQ交直线AB于D，过P作PEAB于E（1）求证：DPDQ；（2）设APx，BDy，求y与x之间的函数关系式；（3）当DEPQCP时，求AP的长如图1，在平面直角坐标系中，ABC和DEF都是等边三角形，顶点B、D与原点O重合，边BC在x轴的正半轴上，边AB与DE在一条直线上已知AB6，DE23（1）将DEF绕点O逆时针方向旋转90（如图2），连接CE、CF试判断四边形DECF的形状，并说明理由；（2）将DEF绕点O旋转，连接AF在旋转过程中，当ABF是直角三角形时，求点F的坐标；（3）将DEF沿直线AB上下平移，连接AF、BF在平移过程中，ABF能否成为等腰三角形？如果能，直接写出点D的坐标；如果不能，请说明理由如图，在ABC中，ABAC，D是BC边中点，EDFB，DE与射线BA相交于点E，DF与边AC相交于点F，连接EF（1）求证：BDECFD；（2）若DFEF，求证：DFAB（3）在（2）的条件下，当DEAC时，求BAC的度数；（4）若ABAC5，BC=8.设BEx，DEF的面积为y求y关于x的函数关系式，当AEF是等腰三角形时，直接写出x的值29