(必考题)高中数学高中数学选修4第一章《不等关系与基本不等式》测试

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1、p x x , y一、选择题1某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买 的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为 、1p2(p p1 2)，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A甲B乙C甲、乙一样D无法确定2已知a , b R +， 2 ab +b2+2 a +b =9 ，则a +b的最小值（ ）A1 B2 C52D33若不等式(|x-a | -b)(2x-x2)0对任意实数 x 恒成立，则a +b =（ ）A-1 B0 C1 D24关于 的不等式x -1 + x -a 3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）AC(-,-42

2、,+) (-,-33,+)BD(-,24,+) (-,-24,+)5已知非零实数 a，b 满足a |b | +1，则下列不等关系不一定成立的是（ ）A a2b2+1B 2a2b +1C a24bDabb +16若a b a bB1 1a -b aC2 2 a 3 b 3D a 2 b 27已知函数f (x)=x+1+x-a ，若 f (x)2恒成立，则 a 的取值范围是（）AC(-,-22,+) (-,-13,+)BD(-,-31,+) (-,04,+)8已知 a 1 ，实数 满足 a x a y ，则下列不等式一定成立的是（ ）Ax +1xy +1yBln (x2+1)ln(y2+1)Csi

3、n x sin yDx3y39下列四个不等式：log 10 +lg x 2( x 1) ； a -b y 1,0 a y-aBax ayC a x log y a a12对于任意实数a , b , c , d ,以下四个命题正确的是A若a b, c d，则a +c b +dB 若a b，则ac2bc2C若 a b , 则1 1b, c d，则ac bd二、填空题13若对任意1 b 0，2 ，当 x ，1 ( a 1)a 时，不等式ax2+bx -1 4 x恒成立，则实数 的取值范围是_.14若不等式 值范围_.x -a +2 x +a -a+1对于任意实数 x 恒成立，则满足条件的实数 a 的

4、取15若| x |1 1, | y | ，则 x +2 y 3 6的最大值是_.16设f ( x) = x -2 + x -3，若不等式f ( x) a +1 -2a -1a对任意实数a 0恒成立，则 取值集合是_.17若f (x)是 R上的减函数，且f (x)的图像经过点A (0,3)和B(3,-1)，则不等式f (x+1)-1y ,若 m -1m=|m-1|,则 m 的取值范围是_.三、解答题21（1）解不等式：| x -1| -| x -2 |12；（2）设集合 P 表示不等式x -1 + x -2a 1对任意 xR 恒成立的 a 的集合，求集合 P；（3）设关于 x 的不等式ax 2

5、+2| x -a | -20 0的解集为 A，试探究是否存在 aN，使得不等式. x2+x -2 0 与|2x -1 x +2的解都属于 A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的 a 的所有值.22已知函数f (x)=2x-1-x-a， a R .(1)当 a =1 时，解不等式f (x)1有解，求 的取值范围.a 3 3 x x 1 21 21 2( ) () 23已知f ( x ) =|x +2 | -| 2 x -1|， M 为不等式f ( x ) 0的解集.（1）求 M ； （2）求证：当x, y M 时， | x +y +xy |0， b 0，a 2 +4b 2 =1ab+3

6、.（1）求证： ab 1；（2）若b a，求证：1 1 1 1 - 3 -a b a b .26已知f (x)=2x+1+2 x -1（1）若f (x)f(1)，求实数 的取值范围；（2）已知1 1+ 3m n（其中 m 0， n 0），求证：m +n 43【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为 ，则两年的购买的总金额为p x +p x 1 2，平均价格为p x +p x p +p 1 2 = 1 22 x 2；y y对于乙方案，设每年购买的总金额为 y ，则总数量为

7、+ ，p p1 2平均价格为2 yy y+p p1 22 p p= 1 2p +p1 2.因为p +p 2 p p (p +p )2-4p p (p -p )2 1 2 - 1 2 = =2 p +p 2 p +p 2 p +p1 2 1 2 1 20，所以，p +p 2 p p 1 2 1 22 p +p1 2.因此，乙方案的平均价格较低.故选：B.【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法 的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考 虑比商2C解析：C【分析】令z =a +b ，得 a =z -b，代入 2ab +b 2

8、 +2 a +b =9 ，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得 a +b的最小值. 【详解】令z =a +b，得a =z -b，代入 2 ab +b2+2 a +b =9 并化简得b 2 +(1-2z)b-2z+9=0，关于b的一元二次方程有正解，所以首先D=(1-2z)2-4(-2z+9)0，即(2z+7)(2z-5)0，由于 a, b 是正实数，所以2 z -5 0，即z 5 5，也即 a +b的最小值为 . 2 2此时对称轴-1 -2 z 2 z -1 1= =z - 2 0 2 2 2，所以关于b的一元二次方程b2 +(1-2z)b-2z+9=0有正解，符合题意.故选：C【点睛】本小

9、题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 3D解析：D【分析】可采用分类讨论法，分别讨论 2 x -x2与x -a -b的正负，确定a , b之间的关系即可求解.【详解】当 2 x -x20 时，即x 0,2时，| x -a | -b 0恒成立，所以-b +a x b +a恒成立，所以a +b 2 且 a b ；当 2 x -x 2 0 时，即x (-,02,+)时，|x-a|-b 0恒成立所以x a +b 或 x a -b恒成立，所以a +b 2 且 a b ，综上，a +b =2故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的

10、数学思 想，属于中档题4D解析：D【分析】利用绝对值三角不等式确定x -1 + x -a的最小值，再解不等式即可.【详解】解：根据绝对值三角不等式，得 x -1 + x -a (x-1)-(x-a)=a-1，所以不等式x -1 + x -a 3恒成立等价于a -1 3，解得：a 4或a -2，即实数 a 的取值范围是(-,-24,+)，故选：D.【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围 5D解析：D【分析】a |b | +1两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项 A 成立；a |b | +1 b +1，再由指数函数的单调性，可判断选项 B 正确；由

11、 b2+1 2 | b |，结合选项 A，判断选项 C 正确；令a =5,b =3，满足a |b | +1，abb +1不成立.【详解】a |b | +1 a2b2+2 | b | +1b2+1，A 一定成立；a |b | +1b +1 2a2b +1，B 一定成立；又b2+1 2 | b |，故a24 | b |4b，C 一定成立；令a =5,b =3，即可推得 D 不一定成立.故选:D.【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说 明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.6B解析：B【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性

12、，逐项判定，即可求解.2 x yx y【详解】由题意知，a b 0，则a -b 0, ab 0对于 A 中，因为1 1 b -a 1 1- = 0 ，所以 ，所以 A 是正确的； a b ab a b对于 B 中，因为1 1 b- = a -b a，所以 B 不正确；对于 C 中，因为幂函数 f (x)=x3在(-,0) 单调递减函数，所以 对于 D2 2 a 3 b 3，所以 C 正确；中，因为 a 2 -b 2 =( a -b )( a +b ) 0，所以 a2b2，所以 D 正确；故选 B.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作 差比较法，

13、以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于基础题.7B解析：B【分析】利用绝对值三角不等式确定f ( x)的最小值；把f ( x ) 2恒成立的问题，转化为其等价条件去确定 a 的范围。【详解】根据绝对值三角不等式，得x +1 + x - a (x +1) -(x -a ) = a +1 f ( x) = x +1 + x -a的最小值为a +1f(x ) 2恒成立， 等价于 f ( x)的最小值大于等于 2，即a +1 2 a +1 2 或 a +1 -2， a 1或a -3，故选 B。【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数

14、a 的取值范围。 8D解析：D【分析】根据指数函数的单调性，得到 ，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【详解】根据指数函数的单调性，由 a 1 且 axa y ，可得 ，对于 A 中，由x +1 1 x -y 1 -y - =( x -y ) - =( x -y )(1- )x y xy xy，此时不能确定符号，所以不正确；对于 B 中，当x =1,y =-2时， x 2 +1 y 2 +1，此时ln (x2+1)ln(y2+1)，所以不正确；对于 C 中，例如：当x =2p p, y =3 2时，此时sin x 0 2 4，所以x3y3，所以是正确的故选 D【点睛】本题主要考查了指

15、数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊 值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9C解析：C【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】log 10 +lg x = x1lg x+lg x 2( x 1)，当x =10时等号成立，正确a -b y-a，由幂函数 y =xa当a y 1,0 a ay 0，故 B 错误；由指数函数 y =ax当0 a 1函数在(0,+)上单调递减，可知 C 正确；由对函数y =logax当0 a b, c d， 由不等式的可加性可得a +c b +d故 A 正确，选项 若a b，则ac 2 bc 2，由不等式的性质可

16、得； c2=0 时 ac2bc2不正确，选项 若a b，则1 1 1 1 b, c d，则ac bd错误，需满足a ,b,c,d均为正数才可以故选：A点睛：本题考查不等式的性质，属基础题二、填空题13【分析】将不等式转化为恒成立结合函数单调性转化求解【详解】对任意 当时不等式恒成立即恒成立当时单调递增只需对恒成立且解得故答案为：【点 睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围关键在于熟练掌握不等式性质和解析：(1，3【分析】将不等式转化为ax -1x+b 4恒成立，结合函数单调性转化求解.【详解】 a ( ) 对任意b 0，2，当1 x ，1 ( a 1) a 时，不等式ax 2 +bx -1 4

17、 x恒成立，1ax -+b 4即恒成立，x1 b 0，2 ，当 x ，1 ( a 1)a 时，y =ax -1x+b单调递增，ax -1x+b 1-a+b,a -1 +b，1ax - +b 4 ( a 1) x只需a -1+b 4, 1 -a +b 4 对 b 0，2恒成立，a -1+2 4且 a 1 ，解得1 a 3.故答案为：(1，3【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结 合恒成立求解参数.14【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式 求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于 任意实数 x

18、恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒解析：(-,-22 , +5 .【分析】首先若满足不等式恒成立，即 根据不等式-a +1 (x-a+2 x +a )min，x -a +2 x +a = x -a + x +等式求 的取值范围. 【详解】a a+ x +2 2，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不x -a +2x +a = x -a + x +a a a a 3 a + x + x -a - x + + x + = a + x +2 2 2 2 2 23a2，当x =-a2时，等号成立， (x-a +2 x +a) =min3a2，- ,-2 a 若满足不等式x -a

19、 +2 x +a -a+1对于任意实数 x 恒成立，即-a +1 3 3 3 a ，即 a 1 -a 或2 2 2a a -1，解得：a 25或a -2.故答案为：( 2 , +5 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式 求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式a -b a b a +b.15【分析】由绝对值三角不等式可计算出的最大值【详解】由绝对值三角不 等式可得当且仅当时等号成立因此的最大值为故答案为【点睛】本题考查利用 绝对值三角不等式求最值一般在含多个绝对值时可采用利用绝对值三角不等2解析：3【分析】由绝对值三角不等式

20、可计算出 【详解】x +2 y的最大值.由绝对值三角不等式可得x +2 y x + 2 y = x +2 y 1 1 2+2 =3 6 3，当且仅当 xy 0 时，等号成立，因此，x +2 y的最大值为2 2 ，故答案为 3 3【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，一般在含多个绝对值时，可采用利用绝对值三角 不等式求解，在求解时要注意对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题16【解析】【分析】将不等式转化为分别在的情况下讨论得到的最大值从而 可得；分别在的情况去绝对值得到不等式解不等式求得结果【详解】对任意实 数恒成立等价于：当时当时当时当时综上可知：即当时解得：当时解析：(-,14,

21、+)【解析】【分析】将不等式转化为f(x)a +1 -2 a -1 ，分别在 a -1、 -1a 0 、 0 a max12、a 12a +1 -2 a -1的情况下讨论得到 的最大值，从而可得af (x)3；分别在 x 2 、( ) a ) a 2 x 3 、 x 3 的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】f (x)a +1 -2a -1a对任意实数a 0恒成立等价于：a +1 -2a -1 f x max当a -1时，a +1 -2 a -1 -a -1-(1-2a) 2= =-1+ a -a a2a-2,0)a +1 -2 a -1 -3, -1 a当-1a 0时，a +

22、1 -2a -1 a +1-(1-2a=a -a)=-3当 0 a 12时，a +1 -2a -1 a +1-(1-2a=a a)=3当a 12时，a +1 -2 a -1 a +1-(2a-1) 2= =-1+ a a a2a(0,4a +1 -2a -1a(-1,3a +1 -2 a -1 综上可知： =3max f (x)3，即f (x)=x-2+x -3 3当x 2时，f (x)=2-x+3-x=5-2x 3，解得：x 1当2 x 3时，f (x)=x-2+3-x=13，无解当 x 3时，f (x)=x-2+x-3=2x -5 3，解得： x 4x的取值集合为：(-,14,+)本题正确

23、结果；(-,14,+)【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而 将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果. 17【解析】即解集是点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转 化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的 取值应在外层函数的定义域内(-1,2)解析：【解析】f (x+1)-12-1 f ( x +1) 3 0 x +1 3, -1 x f ( h ( x )的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g ( x ) 与 h( x)的取

24、值应在外层函数的定义域内18【分析】令求得 st 利用不等式的性质可求的取值范围【详解】令则又 + 得故答案为【点睛】本题考查简单线性规划问题可以作图利用线 性规划知识解决也可以用待定系数法利用不等式的性质解决是中档题解析：1,7【分析】令3 x -y =s ( x +y ) +t ( x -y ),求得 s,t利用不等式的性质可求3 x -y =s ( x +y ) +t ( x -y )的取值范围. 【详解】令3 x -y =s ( x +y ) +t ( x -y )=( s +t ) x +( s -t ) y s +t =3则 , s -t =-1s =1 ,t =2又-1x +y

25、11 x -y 3, 2 2( x -y ) 6 +得1 3 x - 1,7故答案为y 7.【点睛】本题考查简单线性规划问题,可以作图利用线性规划知识解决,也可以用待定系数法,利用不 等式的性质解决,是中档题.19【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲解析：【解析】试题分析：由已知得，D=(-2)2-4( a +1 +a ) 0 ，即 a +1 +a 1，所以2 a +1 a +1 + a 1, -1 a 0，故答案为-1,0.考点：不等式选讲.20【分析】根据定义 xy 可知 x 与 y 哪个大就取哪个然后根据m=|m-1| 建立 关于 m 的不等式解之即可【详解】依题意有

26、|m-1|m-mm-1m mm 的取 值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了比 ( ) , +4 解析：12, +.【分析】根据定义 xy=x,x y, y,x y ,可知，x 与 y 哪个大就取哪个，然后根据m -1m=|m 1| 建立关于m 的不等式，解之即可【详解】依题意,有|m 1|mmm 1mm1 的取值范围是 , + m2 12.故答案为12, +【点睛】本题主要考查了比较大小以及绝对值不等式的解法，解题的关键是理解新定义，属于基础 题三、解答题21（1）7 , +4 ；（2）P =(-,0)(1,+)；（3）存在，a =0或 a =1 或a =2.【分析】（1）分x 2，1 x

27、2，x 1，从而可求出 a 的取值范围；（3）先解不等式.x2+x -2 0 与|2x -1 2 时， 1 12，符合题意；若1 x 2时，x -1 +x -2 1 7 7 ，解得 x ，故2 4 4x 2；若x 12，无解；综上， x -1 - x -2 12的解是7 ； a a ( ) （2）根据三角不等式得， 得 a 1 或 a 1，解 集合P =(-,0)(1,+)；（3）由 x2+x -2 0 可得-2 x 1，由2x -1 x +2 可得 -13x 3，故(-2,3) A，若 a =0，2 x 20，解得-10 x 0 ，所以只要 f (-2)0 f (3)0即可4a +2 a +

28、2 -20 0即 9a+23-a -20 0因为 a N ，可得 a =1 或 a =2 ；综上， a =0 或 a =1 或 a =2 .【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数f (x)=ax2+2 x -a -20，可得 f (-2)0 f (3)0，从而可求出 a 的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题22（1）f (x)1的解集为x-1x (3x )min且a ( -x)max，根据函数的单调性求出 的范围即可.详解：（1）当 a =1 时， 1 -x, x 2 1f x = 2x -1 -x -1 =3x -2, 1 ，当x

29、 12时，-x -1，-1x 12；当1 1x 1 时， 3x -2 1 x 1 ， 2 2x 1时，x 1，无解；综上，不等式f (x)1的解集为x| -1 x 1有解 x -a -2x有解 2 x x -a -2x有解 3x a -3， -x 1 ， -3 a 1.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的过程中，第一问应用零点分段 法，将其转化为多个不等式组求得结果；第二问将不等式有解问题向最值靠拢，即可求得 结果.23（1）1 M =( - ,3)3（2）见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论 x 的范围，解关于 x 的不等式，求出 M 的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明

30、即可试题 x -3, x 212当x 0 得 x 3 ，舍去；当-2 x 1 1 1 1 时，由 3x +1 0 得 x - ，即 - 1 1时，由 -x +3 0 得 x 3 ，即 x 3 2 2；综上， 1 M = - ,3 3 .（2）证明：x, y M ， x 3 ， y 3 ， x +y +xy x +y + xy x + y + xy = x + y + x y 3 +3 +3 3 =1524（1）M =-1,1；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果； （2）利用分析法证明不等式【详解】（1） 1-2x , x - ,41 1

31、1 1 1f x = x - + x + = , - x ,4 4 2 4 4 12 x , x 4 2 2 3 3 2 2 2 2 f(x)2 1 1 1 - x x - 4 4 4 或 或 1-2x 2 2 21x 42x 21 1 1 1-1 x - 或 - x 0,1ab+3 =a2+4b24 ab(当且仅当 a =4b ，即 a =2b = 2 时取得“=”).所以1 +3ab 4( ab )2，即4(ab ) 2 -3ab -1 0，所以ab 1(当且仅当 a =2, b =22时取得“=”) （2）1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - -3 - =

32、- + + -3 - = - + + -3a b a b a b a ab b a b a b a ab b()，因为b a 0，所以1 1- 0a b.又1 1 1 3 1 1 1 3+ + ，当且仅当 a =b 时取得“=”，又 b a 0 ，故 + + a 2 ab b 2 ab a 2 ab b 2 ab，x又由（1）知 ab 1 ，又 b a 0 1 1 1+ + -3 0，a 2 ab b 2，故1 1 1 1 3 1 ，故 + + 3ab a 2 ab b 2 ab，即故()式成立，即原不等式成立.【点睛】本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转

33、化思 想，属于中档题26（1）-,-32(1,+)（2）证明见解析【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式f(x) f(1)的解集；（2）利用基本不等式，求得mn 2 4 ，由此证得 m +n 2 mn 3 3.【详解】（1）f (x)f(1)，即2x+1+2x -1 5.当x 12时，2 (x+1)+(2x-1)5，得x 1；当-1x 12时，2 (x+1)-(2x-1)5，得3 5，不成立；当x 5，得x 0 ， n 0 时， 3 当且仅当 m =n 时，等号成立，1 1 1+ 2 ，m n mn所以 21mn23 ，得 mn ，3所以m +n 2 mn 43.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.