5n阶行列式的性质及计算课件

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1、1第四、五节 行列式的性质及计算 一、一、行列式的性质行列式的性质 二、行二、行列式的计算列式的计算 2 2009,Henan Polytechnic University2一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa22113 2009,Henan Polytechnic University3证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet,212222111211nnnnnnT

2、bbbbbbbbbD,1,2,ijjibai jn即按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 .12121 nppptnaaaD4 2009,Henan Polytechnic University4故故.TDD 证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也

3、同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,ijaDdet ji,5 2009,Henan Polytechnic University5于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpipjpptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序数数为为排排列列njippppt11,jinppppt设排列的逆序数为则有则有即当即当 时时,jik,;kpkpab 当当 时时,jik,ipjpjpipabab 6 2009,Henan Polytechnic University6例如例如推论推论 如果

4、行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 3615675673612668537 2009,Henan Polytechnic University7 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniina

5、aaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面8 2009,Henan Polytechnic University8性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0 9 2009,Henan Polytechnic University9性质性质5 5若行列

6、式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如10 2009,Henan Polytechnic University10性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变

7、列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如11 2009,Henan Polytechnic University11.,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相

8、等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk n阶行列式的性质12 2009,Henan Polytechnic University12.,)(,)()8.,)()7.,)()6.)()5行列式的值不变行列式的值不变对应的元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行

9、列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行13 2009,Henan Polytechnic University13记号(1),ijrri j表示交换第两行；(2),ijcci j表示交换第两列；(3),iri表示用数 乘以第 行的每个元素；(4),ici表示用数 乘以第 列的每个元素；(5),ijrrji表示将行列式第 行乘以 后再加到第 行上去；(6),ijccji表示将行列式第 列乘以 后再加到第 列上去；例如:c3c1表示把第1列乘以-1加到第3列上去.例如:r23r4表示把第4行乘以3加到第2行上去.14 2009,Henan Pol

10、ytechnic University14例例2101044614753124025973313211 D二、行列式的计算计算行列式常用方法：利用行列式运算性质计算行列式常用方法：利用行列式运算性质,把把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值值15 2009,Henan Polytechnic University152101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr16 2009,Henan Polytechnic University162101044614

11、753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 17 2009,Henan Polytechnic University1742rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 18 2009,Henan Polytechnic University182220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 19 2009,Henan Polytechnic

12、 University196000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 20 2009,Henan Polytechnic University20例例计算计算3112513420111533D21 2009,Henan Polytechnic University21例例计算计算5333353333533335D 22 2009,Henan Polytechnic University22例例 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabb

13、abnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n,3,223 2009,Henan Polytechnic University23 abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna24 2009,Henan Polytechnic University24更一般的有更一般的有121212nnnxmxxxxmxDxxxm 25 2009,Henan Polytechnic University25111112001030100nDn例例 计算行列式计算行列式26 2009,Henan Polytechnic

14、 University260121111110001000100010001nnnaaaDaa 12(0)na aa 另外还有另外还有（形如形如 ，称为箭形（或爪形）行列式），称为箭形（或爪形）行列式）更一般的有更一般的有27 2009,Henan Polytechnic University27.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 解解 从第从第 4 4 行开始，后行减前行：行开始，后行减前行：cbabaacbabaacbabaadcbarrrrrrD 363023200122334例计算行列式计算行列式28 2009,Henan

15、 Polytechnic University28baabaacbabaadcbarrrr 30020002334abaacbabaadcbarr000200034 .4a 29 2009,Henan Polytechnic University29例例nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明30 2009,Henan Polytechnic University30证明证明;0111111kkkkkpppppD 设设为为化为下三角形行

16、列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji.0111112nnnknqqpqqD 设设为为31 2009,Henan Polytechnic University31,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111 故故.21DD 32 2009,Henan Polytechnic University32.1242034

17、601001010001200321 D计算计算解解 2314122001311102023111 1234101012321 D .1226 例33 2009,Henan Polytechnic University33计算行列式的方法比较灵活，同一行列计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法常用的几种方法注：注：34 2009,Henan Polytechnic University34 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结行列式的行列式的6个性质个性质