第1节-向量及其线性运算分解

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1、高等数学 戴本忠521第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节 平面及其方程平面及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程高等数学 戴本忠522数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间

2、解析几何与向量代数 高等数学 戴本忠523本章的主要内容本章的主要内容1空间直角坐标系 2向量代数 向量代数的基本概念：向量、空间一点的矢径、向量的模、单位向量、向量的方向余弦 向量的基本运算：向量的加减法、向量的数乘（实数与向量相乘）、向量的数量积（点乘、内积）、向量的向量积（叉乘、外积）向量的基本性质 3空间平面 平面方程：点法式、一般式、截距式。两平面间的关系、点到平面的距离 高等数学 戴本忠524本章的主要内容本章的主要内容4空间直线 直线方程：标准式、参数式、一般式、两点式。两直线间的关系、直线与平面的关系 5空间曲面 一般方程、柱面方程、旋转曲面方程、常见的二次曲面 6空间曲线 一

3、般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线 高等数学 戴本忠525难点1.向量积与混合积 2.分析建立轨迹方程应满足的条件3.利用向量积、平面束等知识解题 4.熟悉截痕法用于画出方程所表示的图形 高等数学 戴本忠526四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第七七章 高等数学 戴本忠527教学目的了解向量的概念，掌握向量的加减法运算及向量与数的乘法运算及性质；了解向量在轴上的投影，向量的分量及向

4、量的坐标，向量的模及方向余弦的坐标表示式；了解空间直角坐标系的概念，掌握空间的点与三元有序数组之间的一一对应关系。高等数学 戴本忠528基本要求完成向量的加法及向量与数的乘法运算的有关练习，给定两非零向量能用几何方法迅速作出他们的差；了解坐标面上的点，坐标轴上的点，关于坐标面对称的点，关于坐标轴对称的点，关于原点对称的点的特征。会用向量的坐标进行向量的加、减法运算。会用向量的坐标计算向量的数乘、模，方向余弦，给定一个非零向量会求与其同方向的单位向量等。高等数学 戴本忠529注意事项熟悉概念：向量，向径，自由向量，向量相等，向向量，向径，自由向量，向量相等，向量的模，单位向量，零向量，两向量平行

5、量的模，单位向量，零向量，两向量平行。掌握向量的加法及向量与数的乘法运算；了解一非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。空间直角坐标系建立三维空间的最基本的几何元建立三维空间的最基本的几何元素素点与有序数组之间的联系点与有序数组之间的联系，从而可以用代用代数方法来研究几何问题数方法来研究几何问题。对于向量的运算（加、减、数乘、模，方向余弦及将要学习的内积，向量积）就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。高等数学 戴本忠5210一、向量概念 既有大小,又有方向的量叫做向量.v向量 有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示

6、.v向量的表示法 高等数学 戴本忠5211一、向量概念 既有大小,又有方向的量叫做向量.v向量 向量可用粗体字母、或加箭头的书写体字母表示.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB.例如,a、r、v、F或a、r、v、F.向量用一条有方向的线段(称为有向线段有向线段)表示.v向量的表示法 与起点无关的向量,称为自由向量自由向量,简称向量.自由向量 高等数学 戴本忠5212 如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合。向量的相等 高等数学 戴本忠5213向量的模 向量的大小叫做向量的模.向量 a、a、AB的模分别记为|a|、

7、|a、|AB.单位向量 模等于1的向量叫做单位向量.零向量 零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.模等于 0 的向量叫做零向量,记作 0 或0.如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.向量的相等 高等数学 戴本忠5214向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a/b.a/b/c 零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线向量共线.共线向量与共面向量 高等数学 戴本忠5215向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相

8、同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a/b.零向量认为是与任何向量都平行.共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.设有k(k3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面.高等数学 戴本忠5216二、向量的线性运算 设有两个向量a与b,平移向量,使b的起点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.1.向量的加法 c=a+b三角形法则平行四边形法则 高等数学 戴本忠5217向量的加法的运算规律 (1)交换

9、律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).高等数学 戴本忠5218向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a).负向量三角不等式|a+b|a|+|b|,|a-b|a|+|b|,等号在b与a同向或反向时成立.与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.高等数学 戴本忠5219 当=0时,|a|=0,即a为零向量.向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,它的模|a|=|a|,它的方向当0时与a相同,当2.向量与数的乘法 当=-1时,有(-1)a=-a.当=1时,有1a=a;高等数学 戴本忠5220 (1)结合律(a)=(a)=()a;(2)分配律(+

10、)a=a+a;(a+b)=a+b.向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化 于是a=|a|ea.当=0时,|a|=0,即a为零向量.向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,它的模|a|=|a|,它的方向当0时与a相同,当0时与a相反.2.向量与数的乘法 当=-1时,有(-1)a=-a.当=1时,有1a=a;设a0,则向量 是与a同方向的单位向量,记为ea.|aa高等数学 戴本忠5221 例1 形对角线的交点.例 1 在平行四边形 ABCD 中,设a=AB,b=AD.试用 a 和 b 表示向量MA、MB、MC、MD,其中 M 是平行四边-=+MAAMAC22ba)(21ba+-=MA)(21b

11、a+=-=MAMC于是 因为=+-MDBD2ba所以 )(21ab-=MD 解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以 -=+MAAMAC22ba-=+MAAMAC22ba,)(21ba+=-=MAMC)(21ba+=-=MAMC.)(21ba+-=MA;=+-MDBD2ba,)(21ab-=MD;)(21ab-=MD;)(21ba-=-=MDMB)(21ba-=-=MDMB)(21ba-=-=MDMB.高等数学 戴本忠5222例例2 2 化简化简 -+-+-53215abbba解解 -+-+-53215abbbaba +-+-=551251)31(.252ba-=高等数学 戴本忠5223*例例

12、3 3 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。一个三角形。证证.FED ABC （如如图图所所示示）、的的三三条条边边的的中中点点依依次次为为设设 ABCDEF=DC =AEBC21AB+=BFCA21BC+=+BFEACD +BCBAAC)CACBBA(21+,0=.ABC 三三角角形形的的三三条条中中线线可可构构成成一一个个.证毕证毕BA21CA+高等数学 戴本忠5224 设向量a0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数,使 b=a.v定理1(向量平行的充要条件)给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴Ox.对于

13、轴上任一点 P,必有唯一的实数 x,使OP=xi,并且 并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系:点P实数x.实数x称为轴上点P的坐标.v数轴与点的坐标 高等数学 戴本忠5225说明：三、空间直角坐标系 v空间直角坐标系 y轴 z轴原点 x轴 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz坐标系.(2)数轴的的正向通常符合右手规则.(1)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;高等数学 戴本忠5226 在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴

14、可以确定一个平面,这种平面称为坐标面坐标面.坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面,yOz面和zOx面.高等数学 戴本忠5227 在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面,yOz面和zOx面.卦限 坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.高等数学 戴本忠5228xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有三个坐标面、三个坐标面、八个卦限八个卦限高等数学 戴本忠5229各卦限中点的坐标的特点各卦限中点的坐标的特点0,0,00,0,00,0,00,0,00,0

15、,00,0,00,0,00,0,0),(),(zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx点点的的坐坐标标卦卦限限点点的的坐坐标标卦卦限限xyzOMPQRM),(zyx一一对应一一对应高等数学 戴本忠5230v向量的坐标分解式 +=+=OROQOPNMPNOPOMr 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有 任给向量 r,对应有点 M,使r=OM.设 i xOP=,j yOQ=,kzOR=,则 kjirzyxOM+=.+=+=OROQOPNMPNOPOMr,高等数学 戴本忠5231v向量的坐标分解式 kjirzyxOM+=.上式称为向量r的坐标分解式.xi、yj、zk称为向量

16、r沿三个坐标轴方向的分向量.点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 任给向量r,存在点M及xi、yj、zk,使 有序数x、y、z称为向量r的坐标,记作r=(x,y,z);有序数x、y、z也称为点M的坐标,记为M(x,y,z).),(zyxzyxOMM+=kjir.高等数学 戴本忠5232v向量的坐标分解式 kjirzyxOM+=.上式称为向量r的坐标分解式.xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.任给向量r,存在点M及xi、yj、zk,使 有序数x、y、z称为向量r的坐标,记作r=(x,y,z);有序数x、y、z也称为点M的坐标,记为M(x,y,z).向量 称为点M关

17、于原点O的向 径.=OMr高等数学 戴本忠5233 坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.例如:点M在yOz面上,则x=0;点M在zOx面上的点,y=0;点M在xOy面上的点,z=0.点M在x轴上,则y=z=0;点M在y轴上,有z=x=0;点M在z轴上的点,有x=y=0.点M为原点,则x=y=z=0.v坐标轴上及坐标面上点的特征高等数学 戴本忠5234提示：a=axi+ay j+azk,b=bxi+by j+bzk,a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,a =(ax)i+(ay)j+(az)k.设

18、a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),四、利用坐标作向量的线性运算 高等数学 戴本忠5235例 2 求解以向量为未知元的线性方程组=-=-byxayx2335,例4其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).解 如同解二元一次线性方程组,可得 x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐标表示式代入,即得 x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a=(ax,ay

19、,az).ab=(axbx,ayby,azbz),高等数学 戴本忠5236v利用坐标判断两个向量的平行 设a=(ax,ay,az)0,b=(bx,by,bz),因为 b/a b=a,即 b/a(bx,by,bz)=(ax,ay,az),所以 b/a zzyyxxababab=.设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),高等数学 戴本忠5237从而 )(11+=OBOAOM 因此 )(-=-OMOBOAOM,-=OAOMAM,解 例5 已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数-1,在直线 AB

20、 上求一点 M,使=MBAM.)1,1,1(212121+=xxxxxx,这就是点M的坐标.由于 ,-=OMOBMB,称称M为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.=1 时时，M为为中中点点。高等数学 戴本忠5238五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量 r=(x,y,z),作r=OM,则+=OROQOPOMr,按勾股定理勾股定理可得 222|OROQOPOM+=r,由 i xOP=,j yOQ=,kzOR=,有|OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,于是得向量模的坐标表示式222|zyx+=r.高等数学 戴本忠52391.向量的模与两点间的距离

21、公式 设向量r=(x,y,z),作,则 222|zyx+=r.设有点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2),则-=OAOBAB=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),于是点A与点B间的距离为 212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=.高等数学 戴本忠5240 例6 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r=(x,y,z),作,则 222|zyx+=r.设有点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2),则2122

22、12212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=.所以|M2M3|=|M1M3|,即M1M2M3为等腰三角形.|M1M3|2 =6,=(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2|M2M3|2 =14,=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2|M1M2|2 解 因为 高等数学 戴本忠5241解之得914=z.于是,所求的点为 例7 在z轴上求与点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r=(x,y,z),作,则 222|zyx+=r.设有点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2),则

23、212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=.即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2设所求的点为M(0,0,z),解 依题意有|MA|2=|MB|2,=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.914=z.于是,所求的点为)914 ,0 ,0(M.高等数学 戴本忠5242解解设设P点坐标为点坐标为),0,0,(x因因为为P在在x轴轴上上，=1PP 22232+x,112+=x=2PP 22211+-+x,22+=x=1PP,22PP112+x222+=x,1=x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(-高等数学 戴本忠524314)2(13|222=-+=A

24、B,例9 已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与 方向相同的单位向量e.AB 解 因为)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB 解 )2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB,所以 )2 ,1 ,3(141|-=ABABe.高等数学 戴本忠52442.方向角与方向余弦 两个向量的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过不超过 的夹角的夹角称为向量a与b的夹角,记作(a,b)或(b,a).如果向量a与b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在0与

25、之间任意取值.类似地,可以规定向量与一轴的夹角向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角空间两轴的夹角.高等数学 戴本忠5245向量的方向角和方向余弦 非零向量r与三条坐标轴正向坐标轴正向的夹角、称为向量方向角.cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦.|cosrx=,|cosry=,|cosrz=.设r=(x,y,z),则rerr=|1)cos,cos,(cos.显然 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r.cos2+cos2+cos2=1.因此 ,0 ,0 .0 高等数学 戴本忠524632=,3=,43 =.21cos-=,21cos=,22cos-=;解 rerr=|1

26、)cos,cos,(cos.例 3 设已知两点)2,2 ,2(A)和 B(1,3,0),计算向量 例10 AB的模、方向余弦和方向角.解 )2,1 ,1()20 ,23 ,21(-=-=AB;2)2(1)1(|222=-+-=AB;高等数学 戴本忠52473.向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴.任给向量 r,作r=OM,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M,则向量 MO称为向量 r在 u 轴上的分向量.设e=MO,则数称为向量 r在 u 轴上的投影,记作 Prjur或(r)u.高等数学 戴本忠52483.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影uAA B，、投投影影分分别别为为轴轴上上

27、的的在在、若若BAuBA ，分分向向量量方方向向上上的的轴轴的的在在为为称称uABBA 方方向向上上的的单单位位向向量量，为为记记ue.uu)AB(ABjPr或或，则则、为为在在轴轴上上的的投投影影坐坐标标分分别别、若若baBAPrAB .ujb a=-)(a)(bB，记记做做投投影影轴轴上上的的的的在在为为称称uAB，若若eBA=,),(zyxaaaBA=若则则,PrxxaABj=,PryyaABj=.PrzzaABj=高等数学 戴本忠5249 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax,ay,az就是a在三条坐标轴上的投影,即 ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.3.向量在轴

28、上的投影 高等数学 戴本忠5250投影的性质（投影的性质（1 1）轴轴的的夹夹角角，则则与与为为记记ua.cos|)(=aau投影的性质（投影的性质（2 2）.)()()(21uuu21aaaa+=+uABA B B u AA BB CC u1a2a性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u(即Prju(a+b)=Prjua+Prjub);高等数学 戴本忠5251性质3 (a)u=(a)u(即Prju(a)=Prjua);高等数学 戴本忠5252六、小结六、小结1 1、向量的概念、向量的概念（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）2 2、向量的线性运算、向量的线性运算3 3、空间点的坐标、向量的坐标、空间点的坐标、向量的坐标4 4、利用直角坐标作向量的线性运算、利用直角坐标作向量的线性运算5 5、向量的模、方向角、方向余弦、投影、向量的模、方向角、方向余弦、投影高等数学 戴本忠5253作业作业 P12 3,5,13,14,15,18,19