2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习配方法

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1、初中数学竞赛精品原则教程及练习（47）配办法一、内容提纲1. 配方：这里指是在代数式恒等变形中，把二次三项式a22ab+b2写成完全平方式（ab）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才干写成完全平方式.惯用有如下三种：由a2+b2配上2ab， 由2 ab配上a2+b2， 由a22ab配上b2.2. 运用配办法解题，初中阶段重要有： 用完全平方式来因式分解例如：把x4+4 因式分解.原式x4+44x24x2=(x2+2)24x2这是由a2+b2配上2ab. 二次根式化简惯用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简.咱们把52写成 2232（）2.这是由2 ab配上a2+b2. 求

2、代数式最大或最小值，办法之一是运用实数平方是非负数，零就是最小值.即a20， 当a=0时，a2值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a2 最值.a2+2a2= a2+2a+13=(a+1)23当a=1时， a2+2a2有最小值3.这是由a22ab配上b2 有一类方程解是运用几种非负数和等于零，则每一种非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 解x，y. 解：方程x2+y2+2x-4y+140.配方可化为（x+1）2+(y2)2=0. 要使等式成立，必要且只需.解得此外在解二次方程中应用根鉴别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方知识和技巧.二、例题例1. 因

3、式分解：a2b2a2+4abb2+1.解：a2b2a2+4abb2+1a2b2+2ab+1+(a2+2abb2)（折项，分组）（ab+1）2(ab)2（配方）（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本题关鍵是用折项，分组，树立配方思想.例2. 化简下列二次根式：； ；.解：化简核心是把被开方数配方2.=2.例3. 求下列代数式最大或最小值：x2+5x+1； 2x26x+1 . 解：x2+5x+1x2+2x+1（x+）2.（x+）20，其中0是最小值.即当x=时，x2+5x+1有最小值.2x26x+1 2（x2+3x-）=2(x2+2x+) 2（x+）2+2（x+）20，其中

4、0是最大值，当x=时，2x26x+1有最大值.例4. 解下列方程：x4x2+2xy+y2+1=0 ； x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：（x42x21）（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组） (x21)2+(x+y)2=0.（配方）依照“几种非负数和等于零，则每一种非负数都应等于零”.得 或 x2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y22y+1=0.(x+y+3)2+(y1)20.（配方）例5. 已知：a,b,c,d 都是整数且m=a2+b2，n=c2+d2,则mn也可以表达为两个整数平方和，试写出其形式.解

5、：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd (分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程x2+y2-4x+10y+16=0整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项)（x4）2+(y+5)225（配方）25折成两个整数平方和，只能是0和25；9和16.由得同理，共有12个解三、练习471. 因式分解：x4+x2y2+y4 ； x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x4+x2-2ax-a2+1.2. 化简下列二次根式：（x）；(1x

6、2)；（146）（3）；（）2.3求下列代数式最大或最小值：2x2+10x+1 ； x2+x-1.4.已知：a2+b24a2b+5 . 求：值.5.已知：a2+b2+c2=111， ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c值.6.已知：实数a，b，c 满足等式a+b+c=0， abc=8 . 试判断代数式值正负.7.已知：x= . 求：. 8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c.9. 解方程：x2-4xy+5y2-6y+9 ； x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； 5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程整数解：（2x-y2）2(x

7、+y+2)2=5； x2-6xy+y2+10y+25=0.练习47参照答案：1.（xy3）2 2. 8，0.5x，32，2，3，72x（x3）3.当x=时，有最小值x=1时，有最大值4.a=2,b=1 代数式值是325.136.负数。由（a+b+c）2=0得出ab+ac+bc04. 值为5。先化简已知为4，代入分母值为2，可知x28x+13=0分子可化为（x2+2x+1）(x28x+13)+10 105. 配方（ab）2+(bc)2=06. 7. （x-3）2+(y+5)2=9袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿

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10、肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆

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