小波分析小结

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1、小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形 成经历了三个发展阶段：Fourier变换阶段：Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起 来，分别进行分析。设信号f (t)，其Fourier变换为：F(w) = j 8 f (t)e-sdtgF(w )确定了 f (t)在整个时间域上的频谱特性。但Fourier变换不能对信号从时域和频 域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。例：f (t) = 1,(2 = t = 2)，其Fourier变换对应图如下:短时Fourier变换阶段：短

2、时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，到达时频局部化目的。其表达式为：G (w,T) =f (t), g(t t )ejwt= j f (t)g(t t )e-jwtdtfR式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，e-jw起频限作用，Gf (w,t)大致反映了 f (t)在t时、 频率为w的信号成分含量。由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口 大小和形状固定，所得时频分辨率单一。小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低

3、频成分时 其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其 窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上 的分析。小波的定义:设屮(t) e L2(R)为能量有限的空间信号其Fourier变换为屮),假设满 足容许条件：I屮()|2d 0b，aa a其中a为伸缩因子，b为平移因子。a以Marr小波为例，分别取伸缩平移因子a, b为0.5、1、2、4； -1、0、1, 对应图形如下：ffl维系数咖一 5、1 1的小滅函数0.S6 4 山O.2 n-.20.-Daubichies 小波常见的小波有 Daubechies、Symlets、Morlet、

4、Mexican Hat、Meyer 小波等，其对 应的图形及性质如下：sym小液尺度匡数symSd液Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式除Haar小波外其简写形 式为dbN, N表示阶数，支集区间为0, 2N-1Symlets小波与db小波的差异是sym小波有更好的对称性。Meyer小波尺度函数帕即小波函数Morlet小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数, 其小波函数为：屮(x) = e-x% cos(5x)Mexican Hat小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数 为：屮(x)=兀-1/4 e -x2/2Meyer小波

5、为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限,具有对称性。小波函数的特点：正交性：小波函数与自身内积为 1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为 0。正交小波 的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的，其局部化能力强，小 波变换复杂度低。正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。 消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。消失矩越大，压缩比越大。尺度函数：假设函数9 (t) e L2(R)，其整数平移系列p (

6、t) =g-k)满足：k知(t),9 (t) =3- kkf kk则称9 (t) 为尺度函数。对尺度函数9 (t)进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合：p (t) = 2-j/2p(2-jt-k) =9 (2-jt)j , kk称每一个固定尺度j上的平移系列9 (2-jt)所张成的空间V为尺度j的尺度空 kj间：V = span p (2-jt), k e Zjk正交多分辨分析：Hilbert空间L2(R)中，假设一列闭子空间V 满足如下 j je z性质：嵌套性：V匸V ,(j e z)；jj -1逼近性：c V = 0, u V = L2( R);jez jjez j伸缩性：

7、f (t) eV o f )eV ;jj -1平移不变性： f(t)eV o f(t-k)eV ,jeZ;jj正交性Riesz基：存在9 (t) e V，使得9 (t-k),k e z是V的标准正交基。00滤波器：在二尺度方程中，对系数系列h 和g = (-1)kh ,k e z作Fourier k kezk1-k变换得H)和G()，其中H(w)=工h e-ikw 节2kkezG(w )=1工 g e - ik w2kkez称 H (w) 和G()分别为低通滤波器和高通滤波器。称h 和g 分别为低通滤波器系 k kezk k ez数和高通滤波器系数。小波变换连续小波变换：设屮为一母小波，f (

8、t) G L2(R)，称1t b(管)(a,b) = /，屮 a,bT a | (t)屮(皿为 f 的连续小波变换。离散小波变换离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子b和尺度因子a得到，通常取a =am, b = nb am, m, n g Z.0 0 0m离散小波变换：(W f)(a,b) =f，屮=la l- J f(t)屮(a -mt nb )dt 屮a，b000假设取a = ,b = 1，可以得到二进小波:屮(t) = 2-m/2屮(mt n),m,n g Z 00m , n信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数P (t)和对应的小波屮(t)与信号内积来实d 0d 1d n -1

9、jg1 g k 0 00 一r c 0 j1c 1j10g0g1 g k 0 gk 0000g0g1_c n 1j1g00rh0h1 h k 0 00 一r c 0j1c 100h0h1 h k 0j1 hk 0000h0h1_c n 1j1现，而是利用滤波器组hn和gn来实现，用矩阵形式表述如下:c 0 c 1c -1j其中，设滤波器长度为k。并且两滤波器系数间有如下关系:g = (1)kh , k g zk1kI h I二；kh 二；kh =工 h = 1 ;2k2k+1kGzkGz工 h h 二 25 , Vn e zk-2n kn0kez以db5小波为例，其低通滤波器系数如下这里取二尺

10、度方程为 p(t)二迈工h p(2t k)所得的系数：kkezh9=0.003335725285;变换所得系数c和d分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。j j小波逆变换即信号的重建运算，重构是从尺度最低的近似系数C和细节系数d开始, jj通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号c ，继续这个过程，直 j-1到恢复原始信号。其计算公式为：c 二工 c h(m 2k)+工 d g (m 2k), k e Zj-1,mj ,kj ,kkk离散小波变换与重构实例如下：所采用的信号为添加白噪声的正弦信号，信号共1000个采样，采用db4小波 做3层分解，其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下列图：9noissinfg 号0J1002003004005006007008009001000低频系数0I1111It20406080100120140第M层分解高频系数10厂严1卜”叭存7八2八、-1J20406080100120140-1第2层井解高频系数10II11 1-1(501001502002503M第1层分解高频系数10-1J100200300400500600重枸信号0豆(1002003004005006007003009001000时间俐J 15 0 频率Hz)时间(秒)150 频率He)(c)时间窗2.旺s(a)时间5.12s