2020-2021学年安徽省芜湖市高一(下)期末数学试卷

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1、2020-2021 学年安徽省芜湖市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）.1复数 zA i的虚部是（ ）BC i D2抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 M 为“向上的点数为 1 或 4”，事件 N 为“向上的点 数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）AM 与 N 互斥但不对立 CP（MN）BM 与 N 对立DP（M+N）3如图是某企业 500 名员工身高的频率分布直方图，那么该企业身高在150，170区间内 的员工人数为（ ）A20 B200 C250 D3004圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）ABCD6已知两个单位向量 ， 满足

2、|2 |，则 ， 的夹角为（ ）A45B60C120D1357设 ， 为两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，给出下列命题： 若 m，n，m，n，则 ；若 m，mn，则 n ；若 n，mn则 m；若 m，n，则 mn在以上命题中，正确的个数是（ ）1 1 1 11 1 1 1 11 1 11 1 1A1 B2 C3 D482021 年是中国共产党建党 100 周年，为了更好地宣传建党 100 年的历史功绩，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌大合唱比赛活动，现有高一某班准备从唱支山歌给党听、映山红、歌唱祖国、没有共产党就没有新中国十送红军五首红歌中选取两首作为比赛歌曲，假设选择

3、任一首红歌是等可能的，则明支山歌给 党听和映山红中至少有一首被该班级选中的概率是（ ）ABCD9在正方体 ABCDA B C D 中，点 P，Q 分别为线段 AB，DD 的中点，则异面直线 B P 与 CQ 所成角的大小为（ ）ABCD10平行四边形 ABCD 中，2+ ，则（ ）A BC+ D+11如图，直三棱柱 ABCA B C 中，ABC90，AC2，AA a（a 为定值），四棱锥 CA B BA 体积最大值为 ，则三棱柱 ABCA B C 的外接球的表面积是（ ）A4B8C16D412在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，C2A，abbc，则（ ）ABCD二、填空题（

4、本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）在每小题中.请将答案直接填在题后 的横线上.13 已知向量 （ 1 ， 2 ）， （ 2 ， 3 ），且（ ）（ + ），则实数 的值 是 14某校高一年级共有学生 400 名，为了解该校高一学生的健康情况，现采用按性别分层抽样的方法抽取样本，样本容量为 60，若样本中男生比女生少 6 人，则该校高一女生人数 约为 15已知i 是虚数单位，若复数 z（a23a4）+（a4）i是纯虚数，则实数 a 的值为 16在ABC 中，若 AB3，BC5，AC7，则ABC 的面积等于 17在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 2 的正三角形，SA平面 A

5、BC，且 SA2，则 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 三、解答题（本大题 5 个小题，共 44 分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.）18已知 i是虚数单位，复数 z 和它的共轭复数 满足 3z+2 5+i（1）求复数 z；（2）若复数 z 是关于 x 的方程 x2+px+q0 的一个根，求实数 p，q 的值 19已知 A（2，0），B（0，4），C（cos，sin），O 为坐标原点（1）若（2）若| +，求 tan 的值；| ，且 是第二象限角，设在上的投影向量为 ，求 的坐标，20在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2acosAbcosC+cc

6、osB（1）求A 的大小；（2）若 a2，求ABC 面积的最大值21如图，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD120，侧面 MCD 是等 边三角形，E 为 MB 的中点，过 C，D，E 的平面交 MA 于点 F（1）求证：ABEF；（2）若 O 为 CD 中点，求证：AB平面 AOM；（3）求二面角 MEFC 的大小22某家庭计划购买 1 台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个 40 元在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100 元商家收集整理了 100 台这

7、款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户 参考记 x 表示 1 台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数，y 表示 1 台净水器在购买滤芯上所需的费用 （单位 ：元）.（1）求这 100 台净水器在十年使用期内更换滤芯个数的上四分位数；（2）若购买净水器的同时购买了 9 个滤芯，求 y 与 x 的函数解析式；（3）假设这 100 台净水器在购买的同时每台都购买 9 个滤芯或每台都购买 10 个滤芯，分别计算这 100 台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台净水器的同时应购买 9 个还是 10 个滤芯？参考答案一、选择题（本大题 12 个小题，每

8、小题 3 分，共 36 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C.D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填涂在答题卷 相应的题号后.1复数 zA i解：复数 z的虚部是（ ）BC iD的虚部是 故选：B2抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 M 为“向上的点数为 1 或 4”，事件 N 为“向上的点 数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）AM 与 N 互斥但不对立 CP（MN）BM 与 N 对立DP（M+N）解：对于 A，事件 M 与事件 N 能同时发生，故 A 错误，对于 B，事件 M 与事件 N 能同时发生，故 B 错误，对于 C，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数 n

9、6，MN 包含的基本事件个数为 m1，P（MN） ，故 C 错误，对于 D，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数 n6，M+N 包含的基本事件个数为 m4，P（M+N） ，故 D 正确故选：D3如图是某企业 500 名员工身高的频率分布直方图，那么该企业身高在150，170区间内 的员工人数为（ ）A20 B200 C250 D300 解：由某企业 500 名员工身高的频率分布直方图得：该企业身高在150，170区间内的频率为（0.01+0.03）100.4，该企业身高在150，170区间内的员工人数为 5000.4200故选：B4圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角

10、是（ ）ABCD解：设圆锥的底面半径为 r，侧面侧面展开图扇形的半径为 R，扇形的圆心角为 ， 因为圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则 ，解得 R2r，则扇形的弧长 l2rR2r，所以 ，即这个圆锥侧面展开图的圆心角是 故选：C6已知两个单位向量 ， 满足|2 |，则 ， 的夹角为（ ）A45B60C120D135解：根据题意，设 ， 的夹角为 ，两个单位向量 ， 满足|2 |，则|2 |22+424 54cos7，解可得：cos ，又由 0，则 120，故选：C7设 ， 为两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，给出下列命题： 若 m，n，m，n，则 ；1 1 1 11 1 1 1

11、若 m，mn，则 n ；若 n，mn则 m；若 m，n，则 mn在以上命题中，正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4解：若 m，n，m，n，则 或 与 相交，只有添加条件 m 与 n 相交， 才有 ，故错误；若 m，mn，则 n 或 n 或 n 与 相交，相交也不一定垂直，故错误； 若 n，mn则 m 或 m，故错误；若 m，则 m 或 m，又 n，所以 mn，故正确正确命题的个数是 1 个故选：A82021 年是中国共产党建党 100 周年，为了更好地宣传建党 100 年的历史功绩，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌大合唱比赛活动，现有高一某班准备从唱支山歌给党听、映山红、歌唱祖

12、国、没有共产党就没有新中国十送红军五首红歌中选取两首作为比赛歌曲，假设选择任一首红歌是等可能的，则明支山歌给 党听和映山红中至少有一首被该班级选中的概率是（ ）ABCD解：记明支山歌给党听和映山红分别为 A、B；其余 3 首歌记为 c、d、e，则在这 5 首歌中任选 2 首的基本事件为（A，B），（A，c），（Ad），（A，e），（B， c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共 10 个，其中明支山歌给党听和映山红中至少有一首被该班级选中包含了7 个 基本事件，故所求概率为 P故选：D9在正方体 ABCDA B C D 中，点 P，Q 分别为线段 AB，DD 的中点

13、，则异面直线 B P 与 CQ 所成角的大小为（ ）ABCD解：取 AA 中点 E，AE 中点 F，连结 BE，PF，FC ，1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1设正方体 ABCDA B C D 中棱长为 4，点 P，Q 分别为线段 AB，DD 的中点，PFBFCQ，FPB 是异面直线 B P 与 CQ 所成角（或所成角的补角），%PF ，PB 2，FC 5，PF2+B P2FB 2，异面直线 B P 与 CQ 所成角为故选：A10平行四边形 ABCD 中，2+ ，则（ ）A BC+ D+解：如图，因为 2则 + ，所以 ， （ ） （ ） ，故选：B1

14、1如图，直三棱柱 ABCA B C 中，ABC90，AC2，AA a（a 为定值），四棱锥 CA B BA 体积最大值为 ，则三棱柱 ABCA B C 的外接球的表面积是（ ）1 11 1 11 1 1A4B8C16D4解：设 ABx，BCy，由ABC90，AC2，得 x2+y24，四棱锥 CA B BA 体积 V ，当且仅当 xy时取等号，此时 ，得 a2则三棱柱 ABCA B C 的外接球的半径 R ，三棱柱 ABCA B C 的外接球的表面积是 42216故选：C12在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，C2A，abbc，则 （）ABCD解：由于 abbc，所以 2ba

15、+c，利用正弦定理：2sinBsinA+sinC， 由于 C2A，所以 2sin（3A）sinA+sin2A，故 sin2A2cos2A+4cos2A，所以 1+2cosA2cos2A+4cos2A，整理得：1+2cosA8cos2A1， 解得 cosA 所以，故故选：B，二、填空题（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）在每小题中.请将答案直接填在题后 的横线上.13已知向量 （1，2）， （2，3），且（ ）（ + ），则实数 的值是 解：向量 （1，2）， （2，3），且（ ）（ + ），（ ）（ + ）则实数 ，故答案为： +（1） 5+（1）（2+6）130，14某校高一

16、年级共有学生 400 名，为了解该校高一学生的健康情况，现采用按性别分层抽样的方法抽取样本，样本容量为 60，若样本中男生比女生少 6 人，则该校高一女生人数约为220 解：样本容量为 60，且样本中男生比女生少 6 人， 样本中女生所占比例为 ，故该校高一女生人数约为 400 故答案为：220220，15已知 i 是虚数单位，若复数 z（a23a4）+（a4）i 1 是纯虚数，则实数 a 的值为 解：复数 z（a23a4）+（a4）i是纯虚数，a23a40 且 a40，解得，a1，故答案为：116在ABC 中，若 AB3，BC5，AC7，则ABC 的面积等于 解：ABc3，BCa5，ACb7

17、，由余弦定理得：cosBABC 的面积 S acsinB 故答案为： ，可得sinB ，17在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 2 的正三角形，SA平面 ABC，且 SA2，则 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 解：取 BC 中点 D，连接 AD、SD，过 A 作 AOSD，交 SD 于点 O，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 2 的正三角形，SA平面 ABC，且 SA2， ADBC，SDBC，SAAD，AD ，SD ，ADSDD，AD、SD 平面 SAD，BC平面 SAD， ，AO ，AO平面 SBC，ABO 是 AB 与平面 SBC 所成角，AB 与平面 SBC 所成角

18、的正弦值为：sinABO 故答案为： 三、解答题（本大题 5 个小题，共 44 分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.）18已知 i是虚数单位，复数 z 和它的共轭复数 满足 3z+2 5+i（1）求复数 z；（2）若复数 z 是关于 x 的方程 x2+px+q0 的一个根，求实数 p，q 的值 解：（1）设 zx+yi，则 xyi，其中 x，y 是实数，3z+2 3（x+yi）+2（xyi）5x+yi5+i， ，即 x1，y1，z1+i（2）z 是关于 x 的方程 x2+px+q0 的一个根， 也是关于 x 的方程 x2+px+q0 的一个根， z+ 1+i+1ip，p2，q2，

19、19已知 A（2，0），B（0，4），C（cos，sin），O 为坐标原点（1）若（2）若| +，求 tan 的值；| ，且 是第二象限角，设在上的投影向量为 ，求 的坐标，解：（1）因为，且（cos ，sin ），（2，4），所以 4cos+2sin0，则 tan2；（2）因为|+（2+cos ，sin），| ，所以（2+cos ）+sin3，即 5+4cos3，即 cos ， 因为 是第二象限角，所以 sin，则 （cos，sin）（0，4）4sin2，所以 （0，4）（0，）20在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2acosAbcosC+ccosB （1）求A 的

20、大小；（2）若 a2，求ABC 面积的最大值解：（1）因为 2acosAbcosC+ccosB，所以由正弦定理可得 2sinAcosAsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA， 因为 sinA0，所以 cosA ，因为 A（0，），AB可得 A （2）因为 A，a2，由余弦定理可得 cosA ，所以 b2+c2bc+a2bc+42bc，所以 bc4，当且仅当 bc2 时取等号，所以 bcsinA 21如图，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD120，侧面 MCD 是等 边三角形，E 为 MB 的中点，过 C，D，E 的平面交 MA 于点 F（1）求证：AB

21、EF；（2）若 O 为 CD 中点，求证：AB平面 AOM；（3）求二面角 MEFC 的大小【解答】（1）证明：四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是菱形，所以 ABCD， 且 AB平面 CDEF，CD平面 CDEF 中，所以 AB平面 CDEF；又 AB平面 MAB，平面 MAB平面 CDEFEF，所以 ABEF；（2）证明：因为四边形 ABCD 是棱长为 2 的菱形，且BAD120，ACD60，O 为 CD 的中点，所以 AOCD，又因为 MOCD，MOAOO，MO、AO平面 AOM，所以 CD平面 AOM；又因为 ABCD，所以 AB平面 AOM（3）解：由（2）知 AMCD，由（1

22、）知 ABEF，且 E 为 MB 的中点，所以 F 是 MA 的中点；又因为 DMDA，所以 DFMA，且 DFCDD，所以 MA平面 CDEF；又因为 MA 平面 MEF，所以平面 MEF平面 CDEF，即二面角 MEFC 的大小为 22某家庭计划购买 1 台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个 40 元在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100 元商家收集整理了 100 台这款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户 参考记 x 表示 1 台净水器在十年

23、使用期内需更换的滤芯数，y 表示 1 台净水器在购买滤芯上所需的费用 （单位 ：元）.（1）求这 100 台净水器在十年使用期内更换滤芯个数的上四分位数；（2）若购买净水器的同时购买了 9 个滤芯，求 y 与 x 的函数解析式；（3）假设这 100 台净水器在购买的同时每台都购买 9 个滤芯或每台都购买 10 个滤芯，分别计算这 100 台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台净水器的同时应购买 9 个还是 10 个滤芯？解：（1）1000.7575，6+16+24+1470，6+16+24+14+2090，将这 100 个数从小到大排列，第 75 个数和 76 个

24、数都是 10，这 100 台净水器在十年使用期内更换滤芯个数的上四分位数是 9（2）由题意可得，当 x9 时，y360，当 x9 时，y360+100（x9）100x540，y 与 x 的函数解析式为 y （3）若每台净水器在购买同时都购买 9 个滤芯，则这 100 台净水器中有 70 台在购买滤芯上的费用为 940360，20 台的费用为 360+100460，10 台的费用为 360+2100 560， 这100台 机 器 再 购 买 滤 芯 上 所 需 费 用 的 平 均 数 为，若每台净水器在购买同时都购买 10 个滤芯，则这 100 台净水器中有 90 台在购买滤芯上 的费用为 1040400，10 台的费用为 400+100500，这 100 台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为比较两个平均数可知，购买 1 台净水器同时应购买 9 个滤芯，