04-第四章-一元函数微分学的应用

《04-第四章-一元函数微分学的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《04-第四章-一元函数微分学的应用（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、04- 第四章 - 一元函数微分学的 应用D110 拉格朗日（Lagrange ）中值定理如果函数y = f ( x)满足下列两个条件：在闭区间在开区间a, b ( a, b )上连续；内可导,则 至 少 存 在 一 点x( a , b)， 使 得f(x) =f (b) - f ( a) b -a,或f (b ) - f ( a ) = f(x)(b -a ). 柯西（Cauchy ）中值定理如果函数f ( x )与g ( x)满足下列两个条件：在闭区间在开区间a, b ( a, b )上连续；内可导，且 g(x) 0, x (a, b) ,则在( a , b)内至少存在一点 x，使得f (b

2、) - f ( a) f (x)=g (b ) -g ( a) g (x).2.洛必达法则 如果lim f ( x) =0, lim g ( x) =0 x xx x0 0;函数f ( x ) 与 g ( x) 在 x 某个邻域内（点 x 可除外）可0 0导，且 g (x) 0；limx xfg(x)(x)=A( A为有限数, 也可为,+或-),则limx x0f ( x) f (x)= lim =A g ( x ) x x g (x)0.注意上述定理对于x 时的00型未定式同样适用 ,1 0 对于x x 或 x 时的 型未定式也有相应的法则.3. 函数的单调性定理设函数f ( x )在闭区间

3、a, b 上连续，在开区间( a, b )内可导，则有若在( a , b)内f(x) 0，则函数f ( x )在a, b 上单调增加；若在( a , b) 内 f (x) 0，则函数f ( x ) 在 a, b 上单调减少.4 . 函数的极值、极值点与驻点 极值的定义设函数f ( x )在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点x( x x ) 0，都有f ( x) f ( x )0，则称f ( x )0是函数f ( x )的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 x 称为函数0f ( x)的极值点. 驻点使 f (x) =0 的点 x 称为函数f ( x)的驻

4、点. 极值的必要条件设函数f ( x ) 在 x 处可导，且在点0x0处取得极值，那么f(x ) =0 0. 极值第一充分条件设函数f ( x)在点x0连续，在点x0的某一去心邻域内的任一点 x 处可导,当 x 在该邻域内由小增大经过x0时，如果 f (x)由正变负，那么 x 是 f ( x )0的极大值点，f ( x )0是f ( x )的极大值；f(x)由负变正，那么 x 是 f ( x )0的极小值点，f ( x )0是2f ( x )的极小值；f(x)不改变符号，那么 x 不是 f ( x )0的极值点. 极值的第二充分条件设 函 数f ( x )在 点x0处 有 二 阶 导 数 ，

5、且f(x)=0 0，f(x)0，则x是函数 0 0f ( x)的极值点，f ( x )0为函数f ( x )的极值，且有如果 f (x)0 0，则f ( x )在点x0处取得极小值.5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值 . 连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻 点、不可导点或闭区间的端点处取得 .6. 函数图形的凹、凸与拐点曲线凹向定义若在区间( a, b )内曲线y = f ( x )各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在( a, b )内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线y = f ( x )各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在

6、称下凹，或称上凸）.( a, b )内是向下凹的（简曲线凹向判定定理设函数在区间( a , b)内具有二阶导数， 如果在区间( a, b )内f(x)0，则曲线y = f ( x ) 在 ( a, b )内是上凹的.3cos x ln( x -3)， 故原极限为 如果在区间( a , b)内 f(x)ex.证令f ( x) =e x -ex， 易 见f ( x ) 在 ( -,+)内 连 续 ， 且f (1) =0 f(x) =ex-e.当 x 1 时， f(x) =ex-e f (1) =0.当 x 1 时， f(x) =ex-e 0 ，可知 f ( x) 为 1,+)上的严格单调增加函数，

7、即f ( x) f (1) =0.故对任意x 1,有f ( x) 0,即ex-ex 0. exex.6例 3求函数x 4y = -x43的单调性与极值 .解函数的定义域为( -,+).y =x3 -3 x 2 =x 2 ( x -3)，令y=0,驻点x =0, x =3 1 2列表xy( -,0)-00(0,3)-30(3,+)+y极小由上表知，单调减区间为 27极小值y (3) =-4( -,3)，单调增区间为(3, +)，求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中y=3x2-6 x, y=0不能确定 x =0 处是否取极值，x =0yx =3=9 0, 得 y(3) =-274是极小值 .

8、小结用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数f ( x)；利用导数判定f ( x )的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例 3 知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对f(x)=0、f(x)及f(x)同时不存在的点不能使用 .3. 求函数的凹向及拐点的方法7例 4 求函数y =ln(1 +x2)的凹向及拐点 .解函数的定义域( -,+)，y2 x= ,1 +x 2y=2(1 +x 2 ) -2 x 2x 2(1 -x 2 )=(1 +x 2 ) 2 (1 +x 2 ) 2，令y=0,得y =1，

9、列表-x( -,-1)1(-1,1)1(1,+)yy-0拐点+0拐点-由此可知，上凹区间 ( -1,1) ,下凹区间( -,-1) (1,+)，曲线的拐点是( 1, ln 2).小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使 y 不存在的点取得 . 4. 求函数的最大值与最小值的方法例 5 求函数2y =(2 x -5) x 3在区间-1,2上的最大值与最小值 .解函数在-1,2上连续， 由于 y =10( x -1)，13x 3令y=0， 则x =1，y在x =0处不存在 .故8x - - + + ymax=max f ( -1), f (2), f (0),

10、f (1)2=max -7, -23,0,-3 =0,ymin2=min-7, -23,0, -3 =-7.小结函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出f ( x )在( a , b)内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大 者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值 .5 . 求曲线渐近线的的方法 .例 6 求下列曲线的渐近线（1）y =ln xx（2）y =x 2 -2 x +2 x -1.解 （1）所给函数的定义域为1(0, +).由于ln xlim = lim =0 x + x

11、 x +1，可知y =0为 所给曲线y =ln xx的水平渐近线 .由于ln xlim =- x 0 + x，可知x =0为曲线y =ln xx的铅直渐近线 .（2） 所给函数的定义域( -,1),(1 , +).由于lim f ( x ) =limx 1 x 1x2-2 x +2 x -1=-，lim f ( x ) =limx 1 x 1x 2 -2 x +2 x -1=+，可知x =1为所给曲线的铅直渐近线（在x =1的两侧9f ( x )的趋向不同） .又limx f ( x ) x 2 -2 x +2 =limx x x( x -1)=1 =a，limf(x ) -ax =limx

12、x x2 -2 x +2 x ( x -1)-x +2-x =lim =-1=b x x -1所以，y =x -1是曲线的一条斜渐近线 .6 . 函数图形的描绘例 7作出函数y =x 2( x +1)2的图形.解函数的定义域( -,-1)( -1,+)，y=2 x(x+1)2-x22(x+1)(x+1)4=2 x (x+1)3，y =2( x +1) 3 -2 x 3(x +1) 2 2 -4 x=( x +1) 6 ( x +1) 4，令y=0, y=0， 解得x =0, x = 1 212.列表x( -,-1)-1( -1,0)01(0, )2121( ,+) 2yy+-+0+0+-f (

13、x)极小拐点101 11 2 a a由上表可知：极小值f (0) =1，拐点 ( , ) .2 9（3）渐近线x 2lim y =lim =1 x x ( x +1) 2，y所以y =1是水平渐近线，lim y =limx -1 x -1x 2(1 +x )2=+，所以x =-1是铅直渐近线 .-1O x（4）作图如图所示.7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法例 8一条边长为 a 的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块 的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解设截取的小方块的边长为ax (0 x )2，则方盒子的容积为v( x) =x( a -2 x

14、) 2 =a 2 x -4 ax 2 +4 x 3v(x) =a2-8 ax +12 x2令v(x) =0， 得驻点a a x = , x =6 2（不合题意，舍去）由于在a(0, )2内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值 .因此， 当 x = 时 v( x )6取得最大值.故当正方形薄片四角各截去一个边长是 的小方块611后，折成一个无盖方盒子的容积最大 .小结求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数f ( x )，若根据实际问题本身可以断定可导函数f ( x)一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部一的极值点，则该极值点一定是最值点 .f ( x )有惟三

15、、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题 .2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论 .尽 管定理中并没有指明 的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要 .建议在学习过程中借 助几何图形，知道几个中值定理的几何解释 .3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例 1 中的几点 注意，并且和教科书第二章求极限的方法结合起来使用 .4. 函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等， 这就要求读者按教材中指出的步骤完成 .12