小学数学计算教学算理的结构及教学策略讲解

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1、小学数学计算教学算理的构造及教学策略讲解 - 幼小课堂 小学数学计算教学算理的构造分析p 及教学策略 江苏省常州市局前街小学 蒋敏杰 【摘要】：p ：小学阶段运算才能的形成，主要围绕“理解算理”“构造算法”“解决问题”三个层面展开。“理解算理”需要打破简单层次的讲述与操作，借助意义连接，构造贯穿，类比联络，模型构造的过程，帮助学生在算法形成、技能建立中，认识到算理对于运算才能形成的重要性，从而到达循“理”入“法”，以“理”驭“法”，同步提升学生综合才能。 【关键词】：p 算理，构造分析p ，教学策略，建模 计算是学生数学素养中最根本的技能和最根本的素质，其在学生数学学习中占有重要的地位，甚至有

2、人将其与思维并称为“数学的本质”。德国教育学家赫尔巴特说：“所有比拟确定的知识，都必须从计算开场”。在小学阶段，运算才能技能的形成，主要通过“理解算理”“构造算法”“解决问题”三个层面，表达在整数、小数和分数的口算和笔算中。其过程开展表达两个显著特点：一是集中学习与综合应用相交融，“理解算理”“构造算法”的过程经历成为学生初步应用数学的方式，理解、分析p 、解决现实数学问题的根底；二是“理解算理”与“构造算法”的螺旋交互，学生运算技能的形成，一般均经历从算理直观到算法抽象的过程，由解决详细问题的方法内化，实现对计算技能、内容本质的内涵理解，同步形成丰富运算建模的方式及一般方法，为后续数学认知及

3、根本思想方法的形成奠定根底。 新课程推进以来，数学老师对于运算才能提升的认识，经历了简单“算法”、技能“训练”向“算理”“算法”协同开展的教学思维转变，教学研究的侧重点同步聚焦在“算法”与“算理”的交融，力图讲清“算理”，复原形式化“算法”的本质。但详细运算的“算理”是什么？如何“讲清”“算理”？“算理”与“算法”如何螺旋交互，如何综合地表达于详细的计算学习过程一系列的问题也是现实中困扰像我这样的一线老师的问题，考虑不清、定位不准、方式不活，使得有些时候计算教学仍停滞于详细计算的“技能”形成层面，而无法触及或较少涉及基于“算理”解读的“算法”提炼与应用。如何在帮助学生理解“算理”的根底上，提升

4、运算才能，是小学计算教学的根本任务。 一、小学数学计算中“算理”的认识。 “算理”在数学的定义上，是指四那么计算的理论根据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学根底理论知识，其内涵包括数和运算的意义，运算的规律和性质。假如说算法是解决“怎样计算”的问题，是一种经过压缩的、一般化的计算程序，那么算理那么是说明“为什么这样算”的数学原理，其为学生形成可操作化的计算，提供了正确可靠的数学根据与思维过程，是学生运算才能形成与进步的有力支撑。“计算教学既需要让学生在直观中理1 解算理，也要让学生掌握抽象的法那么，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程1。”理清算理、对其进展整体的

5、深层理解，才能真正促进学生对详细算法产生、开展、应用的综合认识。 从数学学习心理的角度来看，学生的数学学习是一个不断探究、不断进步思维才能的过程。对“算理”的理解与表述，除了作用于详细计算“算法”的形成与提升，更是学生数学思维活动的外显形式，是学生提升数学的思维方式的有效平台。从数学知识获得的过程上分析p ，“算理”探究与理解，可帮助老师与学生共同聚焦于抽象的形式化地数学问题解决，并在分析p “为什么”的过程中实现由经历表述到形式化原理认识详细算法抽象。从数学建模的角度来讲，“算理”认知的过程是“材料感知、提出问题探究感悟，理解算理聚类抽象，形成算法互相转化，意义内化2”过程的重要一环，其本质

6、也是学生对计算本质内涵的理解、逐步生成与应用的过程。如此，小学数学计算教学中的算理理解与内化除了一般意义上效劳于构造算法外，还需关注算理本身对于“计算”的本质认识，从而到达循“理”入“法”，以“理”驭“法”。 二、小学计算教学中“算理”认识的整体分析p 小学数学教学中计算主要涉及三个领域，四种运算，即整数、小数、分数的加、减、乘、除运算及四那么混合运算。阅读分析p 小学阶段各年级计算学习的构造体例，“算理”的体验与理解主要表达在以下三个方面： 从“算理”的呈现方式上看，低年级侧重借助实物图、主题图、数学工具小棒、计数器等，借助生活经历与简单数学活动经历，经历操作活动，直观理解算理。比方通过操作

7、小棒的“合并”“分拆”“重组”理解百以内加、减法计算。中年级侧重借助以学生原有的计算经历，借助概念、定律等，通过“优化”“再构”等初步数学认识，理解算理，比方二位数乘一位数竖式的理解。高年级侧重于结合数与形的结合，以数量关系为打破，引导学生进展简单抽象、归纳，比方分数乘法中计算中分数乘分数的算理认识。 从“算理”的引导发现方式上看，低年级整数加、减法计算，主要借助于学生生活经历的再现与应用，引导学生将生活化经历提炼成数学化的表达与应用，帮助学生在建立“位值制”原那么的根底上进展引导发现，其注重基于自我经历的数学化方式。中年段整数乘、除法的学习主要以详细的简单实际问题为载体，引导学生将“位值制”

8、原那么进展整合与再构，其注重基于自我“再创造”根底上的理解。高年段“小数、分数百分数”计算中那么侧重于借助知识的有效迁移与类比，注重“算理”的“形”与“质”的沟联式理解。即从计算过程的12侯正海在理解算理的根底上构建算法J小学数学老师，20227、8 吴亚萍中小学数学教学课型研究M福建：福建教育出版社，2022：252 2 详细形象思维逐步过度到抽象思维。 从“算理”理解与“算法”形成的构造关系上看，低年级“算理”以操作为主，结合数的意义和四那么运算意义的概念学习，同步于详细的“算法”，即将“算理”与“算法”交融于计算技能的形成过程之中。中年级“算理”的认识是半抽象的过程，以“位值制”为根底，

9、结合竖式的抽象产生过程，形成基于“算理”认识上的“算法”构造与应用。高年级“算理”的理解那么围绕数学思想及根本原理的应用，表达个人“算法”建构中的知识迁移、类比与发现，“算理”与“算法”呈现屡次的螺旋交互。 因此就横向计算类型口算、估算、笔算丰富性上分析p ，无论是简单整数加、减法口算还是复杂的整数四那么运算计算，“算理”的理解中，数学概念、性质、定律始终融于详细的运算才能的形成过程中见构造图1。 图二：整数乘法构造图 分配律 三位数乘法 数的组成 二位数乘法 位值制概念 一位数乘法 乘法的意义 图一：整数加、减法构造图 进位与退位 100以内加减法 位值制十进制 二、三位数加减法 不进位、不

10、退位加减法 20以加减法 加减法意义 10以内加减法 加减法互为逆运算 10的分与合 从图中可以看出，整数加、减、乘法中“位值概念”与“运算意义2”是整数加、减、乘法运算“算理”的根底。 12马立平小学数学的掌握和教学M上海：华东师范大学出版社，2022：18，44，76略有修改 侯正海在理解算理的根底上构建算法J小学数学老师，20227、8 3 从纵向计算的拓展性整数、小数、分数上分析p ，“算理”的理解呈现构造化特征。即“算理”的理解不是对孤立的某个运算的理解，而是与其他内容相交融，并呈现循环向上的构造特征，把握构造，将有助于引导学生对“算理”的深化理解与主动剖析。 整数加、减法 位值概念

11、 小数加、减法 类比迁移 图三 小数四那么运算构造图 整数乘、除法 化归思想 位值概念 小数乘、除法 加法意义 整数乘法意义 运算律及运算性质 分数乘法的意义 整数乘法意义 转化 分数除法的意义 逆运算的概念 图四 分数乘、除法运算构造图 单位的概念 分数的概念 从图中可以看出，小数、分数的四那么运算的“算理”一方面来于对数概念的意义引申，借助“形”与“式”的结合，帮助学生直观理解，另一方面数学思想有机融于“算理”的分析p 中，学生的“算理”分析p 借助化归思想、类比思想、推理才能等的浸透，综合表达于详细问题的分析p 解决之中。 三、小学计算教学中“算理”理解的教学策略 1交融“数概念”“运算

12、意义”的意义认识，为理解“算理”提供根底保障。 计算技能、运算才能的形成依赖于学生对于“数”“数的意义”的认识。因此苏教版教材在编排中将计算教学与数概念、运算意义的教学融为一体，表达“算理”与“算法”的无缝对接。数概念是按照10以内、20以内、100以内、万以内的方式编排的，计算也是按照10以内数的计算、100以内数的计算、万以内数的计算的方式编排。这样，夯实对“数概念”“运算意义”的明晰认识，有助于使计算教学融于详细的问题解决情况中，实现两者双向通达式的互为补充，使学生对它们有整体性的认识，形成较完好知识系统。比方“9加几”4 的教学，是学生在学习了20以内数后组织的学习活动，教材主题图呈现

13、了如下情境：盒子里放着9个红苹果，盒子外放了4个绿苹果，启发学生考虑“一共有多少个？”学生通过主题图的认识，借助“加法意义”理解，认识到“一共有多少个”，就是将两种苹果合并起来，用加法计算。9+4可以从加法的基数意义理解，从第一个开场依次数完；也可以从加法的序数意义入手，即从9个开场数起，依次数完盒子外的苹果。数一数的方法与加法意义相交融，同步提醒9+4的算理。然后，老师进一步引导学生考虑，“可以有更快捷的方法吗？”这样学生就需要对计算方法进展优化，老师引导学生进一步观察盒子里一共有10格，再放一个正好放满，正好是10个，再加剩下的3个，一共是13个苹果，学生借助对“合并”过程的理解，体验到详

14、细数数过程中“凑十法”的原理与意义，这也是学生后续进展计算中的重要“算理”表达。其后再进展形式化的“分解”，即用算式来表达算理，结合“满十进一”的计数原那么，进一步提升学生对于“凑十法”的理解与应用。如此，“理解算理”与“构造算法”有机结合，20以内进位加法的“算法”建立通过整数概念、加法运算意义的形成 “算理”理解，数的概念与计算原理的交互交融，对于学生形成合理的认知构造、方法构造是非常有益的。 2完善直观操作表象操作抽象分析p 的过程提升，为理解“算理”提供思维支撑。 小学阶段，尤其是低年级小学生的思维特点以详细形象思维为主，有意注意时间短，记忆主要是短时记忆。因此计算教学中“算理”理解应

15、充分考虑学生的年龄特点，引导学生结合详细的情境，观察详细学习对象，调动学生手、脑、口等各种感官参与，借助“小棒”“计数器”等数学工具，通过直观操作活动将抽象的算理形象地显现出来，为算法的构建提供原型支撑。比方“139”教学时，可让学生试着动手“去一去”，使学生在呈现与交流不同“去”的方式中，体会“破十法”和“做减想加”的算理。又如整数除以分数学习中，老师以直观的操1作结果启发学生发现4 和42之间的联络，在学生初步感悟分数除以整数与乘法之间的2联络后，进一步指导学生在图形中分一分，经历平均分的操作活动，利用直观的操作结果发11现4 =43，4 =44，从而在详细操作中初步形成形象化的算理认识。

16、 34直观操作可帮助学生“感悟”算理，但对于“算理”的理解却不能仅停于直观操作，还需向“表象操作”“思维表征”过渡。即算理理解需逐步深化，“直观”的成分应逐步减少，逐步引导学生摆脱对详细形象的依赖，在丰富的数学活动中，经历数学化的过程中，不断进步思维的程度，学会抽象地考虑问题。比方“13-9”的直观操作后，要引导学生变化不同20以内的数减9情况，尝试用计数器、数学语言，抽象算式来表达算理；在“整数除以分数”5 2教学中，老师要引导学生继续考虑：“假如除数是 这样的非分数单位又如何来说清算理呢”？3启发学生联络上面的计算经历，用画图、数学验证、表达等方式再次进展观察与分析p ，进一步明确整数除以

17、分数的算理，同步形成算法。 从直观操作到表象操作再到抽象分析p ，在算理剖析的过程中，一方面要以操作的过程与经历推理算理的直观理解；另一方面，也要重视由算法向详细操作的“反思”，这样双向互通式的“形象”与“抽象”的结合，可以帮助学生真正理解算理，构建算法。 3激活已有知识、经历，横向意义联接，为理解“算理”提供动力泉。 小学生数学知识、技能的习得与数学经历积累是循序渐进、螺旋上升的，学生运算才能形成也是如此，先前计算的技能与经历是后继计算才能形成的根底。因此在新的计算学习上，尤其是“算理”的认识活动中，应注重激活学生已有的知识、经历，并将新计算的“算理”理解与解晰建立在与原有相关知识发生、开展

18、与联络的根底之上，使得新旧知识得以在多角度、多侧面共通，并在灵敏应用这些知识过程中，理解新产生的“算理”，使得“算理”在学生认知构造中“扎根”。比方口算是在“位值制概念”与运算意义的根底上直接形成的“算理”认识与应用，笔算的“算理”那么是由口算演化形成的“标准”过程，复杂笔算又是在简单笔算根底上延伸与开展的。而分数加减法算理来于整数运算的类推，分数乘、除法的算理那么来于分数乘、除法意义。因此，从整体构造的知识网络上分析p ，老师需要明确每种计算在整体计算学习中的节点地位，从整体开展的角度，在不同“算理”的认识节点激活相应的知识、经历，通过横向意义的联络，使“算理”理解成为一个整体综合地内循环过

19、程。 对已有知识、经历的“再构”，生成“算理”的理解。 “算理”的感悟、理解是学生构造算法的根底，而算理背后的原理认识那么是通过详细的认识活动逐步明晰的，因此对于“算理”的理解，老师一方面要对学生的知识、才能作全面的理解，另一方面也要对教材内容作细致的分析p ，巧设新旧知识的矛盾冲突，引导学生走进问题情境，让学生在参与中找出新旧知识的连接点，感悟、理解中“再构”认识算理，并最终形成计算的新方法。 以典型的“123”教学为例，老师借助主题图的观察，引导学生主动探究，在多种引导方式中，学生形成对二位数乘一位数“算理”的逐层理解。第一层次：乘法的意义结合操作活动，激活学生原有认知：“123的本质就是

20、求3个12的和是多少”。第二层次：“合并”的引入学生借助“位值概念”，进展数的有机“分拆”，使学生理解计算123时，可以先算3个10是30，3个2是6，再把30与6合起来就是36。通过上述两个层次的原有知识、经历的激活与开展，学生对于123的“算理”形成初步自我认识的体验。在此根底6 上，老师及时对已有分项计算过程与竖式进展意义联接，使学生理解竖式中“位值”的表示方式，即3乘十位上的1结果是30，从而使学生明确“3为什么在十位的意义”，产生“0可不可以不写”的考虑，为进一步竖式的优化奠定认识根底。 由“算法”应用的展开，反向深化理解“算理”。 当学生经历自我学习发现体验，直观理解“算理”，初步

21、抽象算法，形成认识后，并非就能形成较完好地“算理”理解，一般情况下，此时学生的“算理”理解仍处理形象化的直观认识阶段。这时，老师就需要借助一定的数学问题，帮助学生在应用中加深认识，通过“算法”应用的理论反思，对“算理”进展综合化提炼，在算法应用中深化理解算理。比方异分母分数加减法教学中，老师通过画图、折纸等方式引导学生从“统一计数单位分数单位”的角度得出异分母分数加法的算理后，可顺应学生思维开展的线索，指导学生在解决实际问题的过程中主动探究与归纳，将算理迁移应用到异分母减法计算中，一方面用减法验证加法，另一方面通欣赏、改错、估计、拓展等丰富的练习，帮助学生反向深化理解算理。因此初步理解算理后，

22、不应立即进展抽象的算法演练，可以让学生继续通过操作、看图，直观地进展计算，在计算应用中加深对算理的理解，再逐步脱离形象，形成抽象的算法，在稳固应用中形成问题详细化下的“算理”理解，同步实现“算理”与“算法”的深层沟通。 4注重“算理”迁移、类比与拓展，为“算法”解构提供“再创造”平台。 北京师范大学周玉仁教授对小学生的数学学习过程曾这样阐述：小学生数学学习是一个经历激活、利用、调整、积累、提升的过程，是“对生活中的数学现象的解读”，是“建立在经历根底之上的一个主动建构的过程”。从主动建构的过程看，计算教学同样需要经历过程体验，感受知识之间的内在联络，尤其注重“算理”中蕴含的数学思想方法的主动迁

23、移、类比，进而实现个性化的再创造。 同化顺应，促进“算理”理解上的“算法”构造理解。 同概念形成的一般规律一致，“算法”的认识过程也涉及形成与同化两个方面。形成阶段学生经历对详细数学现象的观察，对特定特殊问题进展分析p ，从而形成对操作标准的形象感知；同化阶段学生经历丰富素材的比拟过程，老师聚焦不同现象中的相似性，帮助学生对“算理”进展主体性构造分析p ，实现详细特殊原理向一般化的转化。因此教学中，老师要选择具有典型特征的现象，启发学生从多种角度式、图等进展分析p ，借助丰富个案的沟通，帮助学生对“算理”体验与理解。比方小数乘法教学中，0.8元/千克3千克就是通过买卖问题中“货币单位”的转换获

24、得最初地直观认识，进而结合“位值制”原那么，启发学生借助已有经历进展分析p ，并在多个例证中的应用中使学生对于整数乘小数的“算理”与整数乘法“算理”相通，明晰“转化”原理，形成意义建构。 7 形式识别，促进学生在“算理”关联迁移中形成“算法”。 “看到一事物能联想到那儿，有时是很奇怪的没有规律可循的，但就理解了问题的本质”1从学生运算才能的形成过程上看，主动把握详细计算的“算理”内涵，识别其主要特征，展开意义联接，进展主动迁移、类比推理，能为学生有效地形成“新算法”，进展构造建模提供帮助。详细表达在老师要帮助学生分析p 不同形式算法中算理的内在联络，实现“算理、算法”的整体认识。比方五年级小数

25、乘法计算中，实现小数与整数乘法的联络是学生理解算法，解构算法的重要环节。教学中老师可借助详细情境，引导学生尝试解决相关的问题，在问题解决中进展类比、“算法”迁移，顺应内在联络，实现整体运算才能的拓展延伸。 其一，类比类型。小数乘法与整数乘法位值制一致，运算一致，即为十进制计数法。同时演化涉及加、减、除。向前与加减法联络，向后为小数除法沟联作准备。 其二，类比算理。小数乘法与整数乘法相对应，在详细的情境解瘊中表达“转化”思想，即可将小数计算转化为整数计算。 其三，类比运算律。小数乘法与整数乘都表达一般运算律，在运算中可结合数据特点进展简算。 其四，类比应用。小数乘法与整数乘法的实际问题构造一致，

26、都可以通过相关数量关系进展关系分析p 。 以上四合为一，即将小数与整数乘法运算相交融，实现两者的运算结合。同时，学生在认识中进一步强化了构造关联，由易到难、由简到繁，渐进地由一个小数乘法知识点，联络到后继计算问题的构造化，为实现“运算才能”的综合提升提供经历。 逐层分析p 从模型视角实现“算理”再创造 “算”是“思”的外衣，“算理”教学就要是引导学生拨开外衣，探寻本质。“算理”的应用不能仅停留于“会算”的阶段，按照算法规那么进展逻辑推理而获得正确结果仅仅是计算的一个方面，更重要的，在计算才能中包含着对算法的构造、设计、选择2。因此从形象的计算，到抽象的算理解构需要突出算理的合理性，通过逐步的渐

27、进式的“解剖”与“深挖”，从而实现对于“算理”个性化理解后的“再创造”。 以异分母分数加减法为例，教材为学生“算理”理解提供了较丰富的理论素材，学生通过主题图引领下的直观操作，在“数”与“形”协同中，获得统一分数单位后才能进展计算的初步直观感悟。随后以详细分数意义、通分意义等切入“原理”，引导学生主动“创造”“化异为同”的策略。值得进一步考虑的是，此时的“化异为同”，即统一计数单位分数单位12刘绍学谈谈联想数学通报J，1997，6封2 曹才翰 章建跃数学教育心理学【M】北京：北京师范大学也版社，2022：30 8 不仅有呈现形式的异中求同，也有表达方式的异中求同。异分母分数加减法不仅是要让学生

28、知道“算理”后会算，还需要引导学生拓展“算理“，形成基于数据分析p 之上的多元计算途径选择，帮助学生翻开思路，激发对计算本身的探究乐趣。这样，“直观操作式的探究”需要向不同问题情境的逐层变化推理转变，逐步建立整体的“算理”认识。在本课的推进中，我设计了三个不同层次的活动。其一是直观操作与“算理”抽象同步，借助经历迁移，帮助学生对异分母加减法“算理”进展多元解构，启发学生从多个角度解决问题的意识与思想；其二在练习中，抓住 433191985 四组计算问题的数544320501215据特点，在自主解决中帮助学生感悟基于数据特点下计算方法的优选、甄别过程，实现运算技能与数理逻辑思维的提升；其三在拓展

29、中发散学生思维，通过特定探究性问题，帮助学生进一步翻开思路，实现内容向课外研究延伸。三个层次逐层推进，聚焦于学生在计算中基于“算理”理解上的思维开展与建构，使学生在不同问题情境中展开探究，进而逐步实现规那么建构。 对“算理”的“解剖”与“深挖”同样也离不开对问题构造的的数学模型逐层抽象。通常情况下，老师需要通过多种策略的转换促进学生的深度考虑。比方五年级转化策略中典型1111的 + + + 的计算，老师假如只是针对题目“教”“数形结合”，让学生看简单画图24816后直接解决问题，此时的直观化“算理”理解仅仅成为学生解题的一个特殊的外在方法。这时老师需要考虑的是，如何将静态的方法转化为学生动态的

30、“算理”思维过程。假如老师能1帮助学生观察数据的特点后一个数是前一个的 、提供可供操作的图形正方形看作“1”、21111组织议一议 、 、 、 的表示方式、启发考虑“是否可以换个角度来考虑”一系列24816的分析p 与操作的协同过程，必将引领学生对为什么需要“数形结合”，怎样实现形与数的联络等等解决问题方式的考虑，最终形成认识上的飞跃，同步实现数学活动经历不断丰富与递增。11111111假如老师能更进一步启发操作：“假如是 + + + 或 + + + 又可以怎样操作分析p 361224481632呢？从中可以发现哪些规律？”带着问题引领的操作分析p 将带着学生走入更为理性与规律变化的数学世界，

31、获得不一样的数学思维经历。 因此，“算理”与“算法”两者在探究形成中，老师需要借助一定问题将两者严密地结合起来，充分运用分析p 、综合、比拟、抽象、概括等思维过程，还须合理、敏捷、灵敏地进展9 考虑，有利于促进学生形成详细“算理”理解、深化、拓展、再创造。 小学阶段运算才能的形成，即是知识、技能的习得过程，更是思维开展的动态过程。详细教学中假如老师能重视学生在多种方式的发现、探究、归纳，在理解算理根底上构建算法，将为学生的后续数学学习，尤其是数学化的思维方式形成提供根底性的核心引领。 【参考文献】：p ： 1 马立平小学数学的掌握和教学M上海：华东师范大学出版社，2022：18，44，76 2 吴亚萍中小学数学教学课型研究M福建：福建教育出版社，2022：252 3 曹才翰 章建跃数学教育心理学M北京：北京师范大学也版社，2022：30 4 侯正海在理解算理的根底上构建算法J小学数学老师，20227、8 5 刘绍学谈谈联想数学通报J，1997，6封2 姓 名：蒋敏杰 工作单位：常州市局前街小学 职 称：中小学高级老师 梯 队：常州市特级老师后备人才 职 务：教诲处主任 教科室主任 教 龄：_年 ：常州市局前街174号 邮政编码: 213003 联络 : 13407588111 邮箱：jmj781223163. 10 第 22 页 共 22 页