最新2022届初中数学中考复习专题二次函数压轴题

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1、最新2022届初中数学中考复习专题【二次函数压轴题】 - 中考初中 2022年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 【例1】如图1，抛物线经过点A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点 1求抛物线的解析式2点M是线段BC上的点不与B，C重合，过M作MNy轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长 3在2的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由【考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合】 图1 【稳固1】如图2，抛物线y?ax?23x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点坐2标

2、为4，0 1求抛物线的解析式；2试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； 3假设点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想】 第 1 页 共 9 页 图2 平行四边形类 【例2】如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A3，0、B0，3，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t 1分别求出直线AB和这条抛物线的解析式 2假设点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积 3是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行

3、四边形？假设存在，请直接写出点P的横坐标；假设不存在，请说明理由 图3 等腰三角形类 【例3】如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置 1求点B的坐标； 2求经过点A、O、B的抛物线的解析式； 3在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由【考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论】 第 2 页 共 9 页 【稳固3】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A0，2，点C1，0，如下图：抛物线y=ax2+ax2经过点B 1求点B的坐标

4、；2求抛物线的解析式； 3在抛物线上是否还存在点P点B除外，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由 规律探究类 【例4】如图，点A1、A2、A3、A4、An在x轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过点A1、A2、2A3、A4、An分别作x轴的垂线，交抛物线y=x+x于点B1、B2、B3、B4、Bn，交过点B1的直线y=2x于点C2、C3、C4、Cn。假设B1C2B2、B2C3B3、B3C4B4、BnCn?1Bn?1的面积分别为S1、S2、S3、Sn。 求S2S1与S3S2的值； 猜测SnSn?1与n的数量关系，并说明理由； 22假

5、设将抛物线“y=x+x”改为“y=x+bx+c”, 直线“y=2x”改为 “y=(b+1)x+c”，其它条件不变，请猜测SnSn-1与n的数量关系直接写出答案。 B4 y B3 C4 C B2 C2 B1 AAAA O x 1 第 3 页 共 9 页 综合类 【例5】如图，抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B5，0，另一个交点为A，且与y轴交于点C0，51求直线BC与抛物线的解析式； 2假设点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MNy轴交直线BC于点N,求MN的最大值； 3在2的条件下，MN获得最大值时，假设点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CB

6、PQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标 【考点：二次函数综合题专题：压轴题】 【稳固6】如图，抛物线y=ax2+bx+ca0的图象过点C0，1，顶点为Q2，3，点D在x轴正半轴上，且OD=OC1求直线CD的解析式；2求抛物线的解析式； 3将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO； 4在3的条件下，假设点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点挪动过程中，PCF的周长是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由 第 4 页 共 9 页 2022年中考数学冲刺复习

7、资料:二次函数压轴题【参考答案】 【例题1】考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合 分析p ：1了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 2先利用待定系数法求出直线BC的解析式，点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长 3设MN交x轴于D，那么BNC的面积可表示为：SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MN?OB，MN的表达式在2中已求得，OB的长易知，由此列出关于SBNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC是否具有最大值 解答：1设抛物线的解析式为：y=ax+1x3，那么：a0

8、+103=3，a=1； 抛物线的解析式：y=x+1x3=x2+2x+3 2设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么有：，解得；故直线BC的解析式：y=x+3 点M的横坐标为m，MNy，那么Mm，m+3、Nm，m2+2m+3； 故MN=m2+2m+3m+3=m2+3m0m3 3如图2；SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MN?OB， SBNC=m2+3m?3=m2+0m3； 当m=时，BNC的面积最大，最大值为图2 【稳固1】【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想】 分析p ：1该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可 (2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标

9、，然后通过证明ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标 (3)MBC的面积可由SMBC=BCh表示，假设要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的间隔 最大，假设设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M 解答：1将B4，0代入抛物线的解析式中，得：抛物线的解析式为：y=x2x2 2由1的函数解析式可求得：A1，0、C0，2；OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90， ABC为直角三角形，AB为ABC外接圆的直径； 所

10、以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：，0 3已求得：B4，0、C0，2，可得直线BC的解析式为：y=x2； 设直线lBC，那么该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；442b=0，即b=4；直线l：y=x4 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M2，3 过M点作MNx轴于N， SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=22+3+2324=4 【例2】考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二图5 图4 次函数解析式；三角形的面积；平行四

11、边形的断定. 第 5 页 共 9 页 专题：压轴题；存在型 分析p ：1分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A3，0B0，3分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； 2设点P的坐标是t，t3，那么Mt，t22t3，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=t3t22t3=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到; 当t=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可； 3由PMOB，根据平行四边形的断定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，P

12、M最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，t22t3t3=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值 解答： 解：1把A3，0B0，3代入y=x2+mx+n，得 解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB的解析式是y=kx+b， 把A3，0B0，3代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x3； 2设点P的坐标是t，t3，那么Mt，t22t3，因为p在第四象限， 所以PM=t3t22t3=t2+3t， 当t=时，二次函数的最大值，即PM最长值为= =， 那么SABM=SBPM+SAPM=3存在，理由如下：PM

13、OB， 当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， 当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3 当P在第一象限：PM=OB=3，t22t3t3=3，解得t1=坐标是； 舍去，t2=，t2=图7 舍去，所以P点的横当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=以P点的横坐标是或 ，所以P点的横坐标是所【例题3】分析p ：1首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长即OA长确定B点的坐标 2O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式 3根据2的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P

14、点的坐标，而O、B坐标，可先表示出OPB三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点 解答： 解：1如图，过B点作BCx轴，垂足为C，那么BCO=90， AOB=120，BOC=60， 又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OB?sin60=4=2，点B的坐标为2，2； 2抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 第 6 页 共 9 页 将A4，0，B22代入，得，解得， 此抛物线的解析式为y=x2+x 3存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为2，y， 假设OB

15、=OP，那么22+|y|2=42，解得y=2， 当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为2，2 假设OB=PB，那么42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为2，2， 假设OP=BP，那么22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为2，2， 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为2，2， 【例题5】【考点：二次函数综合题专题：压轴题】 分析p ：1设直线BC的解析式为y=mx+n，将B5，0，C0，5两点的坐标代入，运

16、用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B5，0，C0，5两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 2MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值； 3先求出ABN的面积S2=5，那么S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，那么四边形CBPQ为平行四边形证明EBD为等腰直角三角形，那么BE=BD=6，求出E的坐标为1，0，运用

17、待定系数法求出直线PQ的解析式为y=x1，然后解方程组，即可求出点P的坐标 解答：1设直线BC的解析式为y=mx+n，将B5，0，C0，5两点的坐标代入， 得，解得，所以直线BC的解析式为y=x+5； 将B5，0，C0，5两点的坐标代入y=x2+bx+c， 得，解得，所以抛物线的解析式为y=x26x+5； 2设Mx，x26x+51x5，那么Nx，x+5， MN=x+5x26x+5=x2+5x=x2+大值； ，当x=时，MN有最3MN获得最大值时，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即N2.5，2.5 解方程x26x+5=0，得x=1或5A1，0，B5，0，AB=51=4，ABN的面积S2=

18、42.5=5， 平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，那么BCBD BC=5，BC?BD=30，BD=3 过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，那么四边形CBPQ为平行四边形BCBD，OBC=45，EBD=45，EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6， 第 7 页 共 9 页 B5，0，E1，0， 设直线PQ的解析式为y=x+t，将E1，0代入，得1+t=0，解得t=1 直线PQ的解析式为y=x1解方程组，得， 点P的坐标为P12，3与点D重合或P23，4 【稳固6】如图，抛物线y=ax2+bx+ca0

19、的图象过点C0，1，顶点为Q2，3，点D在x轴正半轴上，且OD=OC1求直线CD的解析式；2求抛物线的解析式； 3将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO； 4在3的条件下，假设点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点挪动过程中，PCF的周长是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由 分析p ： 1利用待定系数法求出直线解析式； 2利用待定系数法求出抛物线的解析式； 3关键是证明CEQ与CDO均为等腰直角三角形； 4如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F

20、，交QE于点P，那么PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小 如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即PCF周长的最小值 解答：解：1C0，1，OD=OC，D点坐标为1，0设直线CD的解析式为y=kx+bk0， 将C0，1，D1，0代入得：，解得：b=1，k=1，直线CD的解析式为：y=x+1 2设抛物线的解析式为y=ax22+3，将C0，1代入得：1=a22+3，解得a=y=x22+3=x2+2x+1 3证明：由题意可知，ECD=45， OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直

21、角三角形，ODC=45， ECD=ODC，CEx轴，那么点C、E关于对称轴直线x=2对称，点E的坐标为4，1 如答图所示，设对称轴直线x=2与CE交于点M，那么M2，1，ME=CM=QM=2，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO 4存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，那么PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度 证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，

22、在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC； 而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长 如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形， QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为4，5； C，C关于x轴对称，点C的坐标为0，1过点C作CNy轴于点N，那么NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC= 第 8 页 共 9 页 综上所述，在P点和F点挪动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为 第 9 页 共 9 页 第 18 页 共 18 页