2023年考研数学二真题

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1、2023年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目规定． (1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则( )． (A) k=1，c=4 (B) k=1，c=-4 (C) k=3，c=4 (D) k=3，c=-4 (2) 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=( )． (A) -2f'(0) (B) -f'(0) (C) f'(0) (D) 0 (3) 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为( )． (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D

2、) 3 (4) 微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )． (A) a(eλx+e-λx) (B) ax(eλx+e-λx) (C) x(aeλx+be-λx) (D) x2(aeλx+be-λx) (5) 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．则函数Z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充足条件是( )． (A) f"(0)＜0，g"(0)＞0 (B) f"(0)＜0，g"(0)＜0 (C) f"(0)＞0，g"(0)＞0 (D) f"(0)＞0，g"(0)＜0 (6) 设

3、．则I，J，K的大小关系是( )． (A) I＜J＜K (B) I＜K＜J (C) J＜I＜K (D) K＜J＜I (7) 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B．再互换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )． (A) P1P2 (B) (C) P2P1 (D) (8) 设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的随着矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为( )． (A) α1，α3 (B) α1，α2 (C) α1，α2，α3 (D) α2，α3，α4 二、填空题 (9) =______． (1

4、0) 微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______． (11) 曲线的弧长s=______． (12) 设函数则=______． (13) 设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分=______． (14) 二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为______． 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算环节． (15) 已知函数．设，试求α的取值范围． (16) 设函数y=y(x)由参数方程拟定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点． (17) 设函数Z=f(xy，yg(x))，其中函数

5、f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求 (18) 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若．求y(x)的表达式． (19) ①证明：对任意的正整数n，都有成立． ② 设(n=1，2，…)，证明数列{an)收敛． (20) 一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成． (Ⅰ) 求容器的容积； (Ⅱ) 若将容器内盛满的水从容器顶部所有抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m．重力加速度为gm/s2，水的密度为

6、103kg/m3)． (21) 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，． 其中D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分 (22) 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T，不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表达 (Ⅰ) 求a的值； (Ⅱ) 将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表达． (23) 设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且 (Ⅰ) 求A的特性值与特性向量； (Ⅱ) 求矩阵A． 2023年全国硕士研究生入学统一考试

7、 数学二试题解析 一、选择题 (1)[考点] 无穷量的比较 [答案解析] 由于，所以f(x)=4x3+o(x3)～4x3，于是c=4，k=3，故选(C)． (2)[考点] 导数的定义 [答案解析] ，故选(B)． (3)[考点] 拟定f'(x)的零点个数 [答案解析] 求出f'(x)： 由判别式122-4×3×11=12＞0，3x2-12x+11有两个零点(不是x=1，x=2，x=3)，因此f(x)有两个驻点．故选(C)． (4)[考点] 微分方程的求解 [答案解析] 原方程相应的齐次方程的特性方程y2-λ2=0，解得y1=λ y2=-λ，则 y"-λ2y=e

8、λx的特解y1=xeλxC1 y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λxC2 故原方程的特解 y=x(C1eλx+C2e-λx) 故选(C)． (5)[考点] 运用导数求函数的极值 [答案解析] z=f(x)g(y) 在(0，0)点，A=f"(0)g(0)B=f'(0)g'(0)=0 C=f(0)g"(0) AC-B2＞0且A＞0f"(0)＜0，g"(0)＞0故选(A)． (6)[考点] 定积分的计算 [答案解析] sinx＜eosx＜1＜cotx 则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx 故 即 I＜K＜J 故选(B)． (7)[考点] 矩阵的初等变

9、换 [答案解析] 显然P2AP1=E，，由于，所以，故选(D)． (8)[考点] 线性方程组的基础解系 [答案解析] 由于Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量， 又A*A=|A|E=0且r(A)=3，所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系， 由于(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系，所以α1+α3=0， 故α1，α2，α4或α2，α3，α4线性无关，显然α2，α3，α4为A*x=0的一个基础解系，故选(D)． (9) [考点] 极限的计算 [答案解析] (10) e-xs

10、inx [考点] 一阶微分方程求解 [答案解析] (C+sinx)，由于y(0)=0，则C=0，故y=e-xsinx． (11) [考点] 曲线积分的计算 [答案解析] (12) [考点] 反常积分计算 [答案解析] (13) [考点] 二重积分的计算 [答案解析] (14) 2 [考点] 二次型 [答案解析] 特性值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f惯性指数为2． 三、解答题 (15) [考点] 极限的逆问题 [答案解析] 当a=0时，由于，所以结论不对的； 当a＜0时，由于，所以结论也不对的； 当a＞0时， 所以a＜3，

11、于是1＜a＜3． (16)[考点] 运用导数求函数的凹凸区间及拐点 [答案解析] 当t=1时，由于，所以当t=-1即x=-1时，函数取极大值y=1． 当t=1时，由于，所以当t=1即时，函数取极小值． 令得t=0， 当t＜0时，，当t＞0时 当t＜0时即时，函数为凸函数， 当t＞0即时，函数为凹函数． (17)[考点] 二元函数求偏导 [答案解析] 由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g'(1)=0． (18)[考点] 运用导数求曲线的切线 [答案解析] ，两边对x得 ，即(1+y'2)y'=y"， 于是有 令y'=P，则，于是有，变量分离得

12、 ，两边积分得 由P(0)=1 得，代入得 解出由y(0)=0． 面积分得： (19)[考点] 数列与积分中值定理综合题 [答案解析] 证明：①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理 其中 ② 其中 易知an+1-an＜0，则an+1＜an即{an}单调递减 又 所以{an}单调递减有界，故{an}收敛． (20)[考点] 积分的应用 [答案解析] (Ⅰ) (Ⅱ) (21)[考点] 二重积分的计算 [答案解析] 于是 (22)[考点] 向量的线性相关性 [答案解析] (Ⅰ) 由于，所以r(α1，α2，α3)=3 又由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表达，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5． (Ⅱ) 于是 (23)[考点] 矩阵的特性值、特性向量 [答案解析] (Ⅰ) 易知特性值-1相应的特性向量为特性值1相应的特性向量为，由r(A)=2知A的另一个特性值为0．由于实对称矩阵不同特性值得特特向量正交，从而特性值0相应的特性向量为故矩阵A的特性值为1，-1，0；特性值向量依次为k1(1，0，1)T，k2(1，0，-1)T，k3(0，1，0)T，其中k1，k2，k3均是不为O的任意常数． (Ⅱ) 由 得