拉氏变换习题解答.pdf

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1、拉氏变换习题解答 习题一 求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法来验证结果. . . , kt h t-2 nn .l i ss = = 、 丿、 I tt , i, ! 、, i ff m6 (2)/(t) =e-21; (3)/(t)=t气 (6) f(t) =cosh kt; (7)/(t) = cos2t; (4) f (t) = sin tcost; (10) f(t) =cos2 t i1 一, 如 解(l):2q=点(,2;- , :2;) = s4 (Re, 0) kt玉 (5) 也e一(s+k)tdt) ；（勹s飞-;:IJ飞(6-奇卢 (Res maxk, - k) - l

2、- (6) 0, t;: 4. (3) f (t) = e2 + 5o(t ; Ot 0) 冗 一 2 t (4) J(t) = o(t)cos t - u(t)sin t 解 3e-st ( 3e-s ,1 ( I) -2芯I。“心sdt= I一；立心fJint产dt I ei1_e-i1 l 1 e一(s一i)tre屯+i)II = l - ,-, 飞i2; ,- d1 =I-,-, 心石+:r- -(,.:r (1) 1 1 1 - e- I - e-, 打） I I+e-f/S =1-e压石(s-i-s+i)=l-e压s2+l =言节订 4求下列各图所示周期函数的拉氏变换 (2) 凡）

3、 f(t) b 。 zzz b 2b 3b 4b 。 冗 2冗 (3) .f(t) (4) 八t) _ I I I I I I I I I b 2b 3b 4b ,-, I I I I Sb : 。 a 4a Sa 。 -1 -1 解 , , , , , , _ (1)由图易知八）是周期为b的函数且在一个周期内的表达式为 八）= t, o:; t e-stdt = 1 _ : -bs -te-bf : -(-)l。e-dt -1 - : 伪-主产-1)= 1- : 加妢-bse-bs: 21 - e-bs - bs 罕-b S可 (2)已知.f(t)是周期T=冗的周期函数在一个周期内 f(t)

4、=sint, 由公式 Ot冗 - 3 - t 4a 由公式 -4(1$ I。:(丿户(t)e-sdt= 1_; _4,s I。:le-S(d( + J:J-1广Sid( as 2 e 心 3 es + 心 e l $ 4 le l _ _ 、 -） 2 30LS I $ , s 动 ”, “ c s 。 T l e , i - 气主罕丿主望启二 = l l-e-25 = 1 s(l+ e-s) 1+e-Zas s(l +e-as) tanhas (4)由图易知，八）是周期为2b的周期函数在一个周期内 J切= 1, 0 S:t b - I, b s; t 2b 由公式 屈）广 l- e-2bs

5、O . f(t)e- dt = 1- e -2bs (Io e-sl dt +庄巾-dt) 伈 e s b 2 es + s b e l s 耳 l e i _ _ - - b b 一 s 21 | SI e 。 _ b _ I S SI - e - l ibs le l = 2 1 (l - e-fo ) l bs = - -2bs = - tanh s .1 -e s 2 习题二 I. 求下列函数的拉氏变换式 ( I ) f (t) = t 2 + 3t + 2 (3) f(t)=(t-1)切 -1 s 0, f 0 0, 1-e一I0, f c。特别 e-!r sin 2-rdr = +

6、 t s (3) F(s) = , 求f(t); (s2 - 1)2 。 、 丿 s ( . ,F 求 、 丿s ( F, 求 dt t ,2 n t 2.1 nst . l I t3 s 31e _,o e I = ） 、 丿 tt ( ff 、丿、 丿 24 ( 解rF(s)ds=I丁f(t)e_, dtds =口f(t)e-sdsdt =厂罣尸dt= 1-;os e-= l。!)3J= );+312 =2s2)/32 +: : , , : : , 2 t 4 32 1 0 T 2-r 3r t (3) (1)由图易知J(t)是周期为让的周期函数在一个周期内 (4) - 10 - 由公式

7、兀）=-: O tr r t 2, (t)儿(t)均满足拉氏变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为C)且 (t)J =只(s)(t) 儿(t)=卢J;:j:只(q)启(s-q)dq 其中/Jc,Re(s)/J+c。 证由于f1队队t)均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为c。，知乘积爪t)J(t)也一 定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为2c。根据拉氏存在定理的证明当/J C。时， (q) eq1 dq 2:rr i P一ioo 而八(t)J;(t)寸厂J;(t)几(t)亡dt= i厂（如二飞(q)eq1dq)儿(t)e-stdt - 11 - L /J+ico l /J+1co

8、 =f F;(q)l厂儿(t)e - s- q) dtdq =I 凡(q忧(s-q)dq 2冗j/J- ioo 2冗jf- ioo 2. 求下列函数的拉氏逆变换（像原函数），井用另一种方法加以验证 I (2) F伈=(s s Xs) (1) F伈=2 2. s +a - a - b (s) s+c 2 2 2 (3) F = s Xs)2 (4) F(s) = s + a +a +b (s2 +a守 l ( 6) F(s) = (s 1 Xs) (5) F(s) =( 2 2 3. s +a - s +a +b l ( 8) F旬s2 +2s - 1 (7) F伈=4 4 s -a s(s -

9、 1)2 1 (10) F旬=( 2 X s 2 ) (9) F(s) = 2 (. 2 ) . s s -l s + 1 s +4 (1)解法1/(t)=aJ)=沪im- e-iat )= si:at (2)解法1f(t) = ;:)2 ,-a+ Res (s:;:)2 ,-b = (c - a)e-ai +气二e)= c-a e-十三te-b+a-c产 (b-a)2 ds s+a s=- IJ (a-b)2 a- b (a-b)2 解法2 八f)=sinatdt) 1 I = t3 - (I - cos at) 2a2旷 解法2八）一f言 (6)解法1 est est est =Res产2

10、Y,o+Res卢2Yai + Re产于ai I d2 e e;-ai, =2歹(s2+ a2) ,.o + 2a如）3 - 2a (-ai)3 1 l = ,2 -(1 - cosat) 2a 2 a 4 八）= 了Xs+ b) ,-a + Res s(s + :Xs + b) ,-b - 13 - (7)解法1 I I 一” I 盂十a(a-b(-b(a-b)产 J伈=(:t =Res:(:=t e,o +Ress:(:=:t e,1 =-1+卢厂十S扣Iest) = _气I+2e +2te s=I (9)解法1 几）=, -ie_;, 2iez;, _2ie-2;, e;, e-;, ez

11、;, e-2;, 1 却可十二十三十固丁句丁丁丁了勹(cost-cos2t) - 14 - 3求下列函数的拉氏逆变换 I (1) F(s) = s) 2 2+4 (2) p伈士 (3) F(s) = 2s+l s(s + 1Xs+2) (4) F(s)= I s+5s2 +4 (5) F价s+I 9s2 +6s+5 (6) F(s) = In s2 - 1 s 2 (7) F们s+2 s2 +4s+sY ( 8) F(s) = I ( s1 +2s+2) (9) F(s) = s2 +4s+4 (s2 +4s+13f 00) F旬 2s2 +s +S s3 +6s2 +l ls +6 ( 11

12、) F(s) = s+3 s3+3s2 +6s +4 (12) F(s) = 2s2 +3s+3 (s +IXs+33 (13 ) F(s)= J+e心 s 2 解 + i)+ I + (s: 0,+ J =(D+J =(e- sint - 1f +9一卢l =:3 (s + tXs + 2) e = 3e-I Je-2, + JOe-3 C 1 I) f伈=t:6s +4 = 十：同l I 2 2 ./3 =矿sin./3t+-e一矿cos./3t= .!.e一(2-2cos石t+./3 sin心） 3 3 3 (12)巾）= J =(t)*f2伈=t1;(,)f2(t-,t, ( l )

13、1*1 = J;1-td1:=t ( 2) t *t = r(尸1:11:=tJ;,dr-f/心=t3-t3=广 ( 3 ) t了=I1:(t - r )d1: = f/(t(扩c:tn-k,kr = L (-I y C, 11-k I: T,n+k心=i仁Iy c : I 1111+11+1 k动k=O m+k+ I O.$t 2 tz 2 = ,m+11+) t (-1Y C,= n! ,m+11+) = ,n !n ! t+11+I k=o m+ k + I (m+1Xm+2J . (m+l + n) (m + n + l)! (4) t * e= f O 11沪d-r= eJ。佥d-r

14、=e - -re-r i: 寸尸e-rd-r=e-t-1 1 , I , ( 5 ) sint*cos/= .(sinrcos(t-r炉=2 i sintdr+ 2 isin(2r-t炉 I l 1 = - tsint- cos(2r -t)I = - tsin t 2 4 r=O 2 ( 6 ) sinkt*sinkt = f sinh-sink(t-r炉叶cos(2kr-kt)dr- cosktdr 。 I l = sin kt - - t cos kt 2k 2 一T-(t- T f (7) t*sinht = -rsinh(t)d-r = f 1 e - e e, 广， 。气0 -r

15、2 d-r =了长-r心了L奋di: = f -e-r(z: + 1)(一fer(,-1)( = sinh t - t ( 8 ) sinhat*smhat = f sinh a-rsinha(t - -r)d-r = f I e - e-ar e(尸r)- e-a(r-r) 0 0 2 . 2心 - 17 - =eai。:,IT-e -at l。:e2dT- ea1 l。:e-2ard,+e一l产寸 l 1 = - tcoshat- sinh at 2 2a ( 9) u(t-a)主l(t)=u(,-a)八!-,iT 当ta时， u(T-a) =O 此时，u(t-a)*八）=0 当()at时

16、 u(t-a)*f(t)= i。飞(r-a).f(r -a)dr + u(r - a)J(t-r)dr 附中 因此， u(t-a)飞）= Jj(t, Jr, ( 10) 5(t-a)*J(t)= to(r-a)八t-r)cir 当ta时，o(r-a)=O此时 岛-a)订伈=0 当o:;a:;t时， ta Oat 战t-a)*J(t)=fc。飞(r-a)f(t-r如+(5(,-a)八t-r如+I. 5(r-a)f(t-扣 =0+ (5(r - a)f(t - r)dr +O = J: 如6(,-a)f(t- r)dr = .f(t-r忙=.f(t - a) 因此，5(t-a)才.f(t)= 0,

17、 八t-ai ta 0at 2. 利用卷积定理，证明(s)= s 2 2 , Fi(s)= - , I a s +a 2 as +a 干是从t)=(s)=cosat, 儿(t)=(s)Fis)=J;(t)* . 战）分l。:cosarsina(t晕 = i JJsin at -sin(2ar-at)吓卢isinat-卢cos(2ar-at)C0= it sin at=右边 4. 利用卷积定理证明 一忒-1)=沪。气2dr 并求厂sk 证设F;(s)=上，Fis)=_!_,千是 Fs s - J 1,(,)= 叩= f。气2d1: 5. 证明卷积满足对加法的分配律：f.(t)*儿(t)+八(t)

18、= J. (t) *儿(t)+ J. (t) *八(t) 证八(t)*儿(t)+八(t)= rri (r)儿(t-r)+J ; (t- r)dr 寸；八(r)儿(t-r)dr+J;八(r)八(t-r)dr=八(t)*儿(t)+八(t)*八(t) 6. 证明卷积满足结合律：f.(t)*儿(t)*八(t)= 几(t)*儿(t)* 1; (t) 仁S 证f.(t)*儿(t)*八(t)寸f(s)f儿(t-s-r)八(r)d咕 。 I 。 =f八(r)dr厂J;(s)儿(t- r - s)ds = f. (t) *儿(t)*八(t) 0 0 习题五 1. 求下列微分方程式及方程组的解 (l) y+4y+

19、3y = e飞 y(O) = y(O) =l - 19 - (2) y+3y + 3y+ y=l, y(O)=y(O)=y(O) =O (3) y+3y+2y=u(t - l), y (O) = O, y(O)= l . ( 4 ) y- y=4sint + 5cos2t, y(O) = -1, y (O) = - 2 (5) y- 2y+2y=2ecost, y (O)= y (O)=O (6) y+4y + Sy = F(t), y (O) = c1 ,y(O) = c2, (c.,c2为常数） (7) y+ y=e气y(O)= y(O) = y (O) = 0 (8) y+3y+3y+

20、y = 6e一I,y (O) = y(O) = y(O) = o. ( 9 ) y+2y+ y=O, ( IO) y (4) +y Ill =cost , ( I ) X+ X - y = e, 3x+ y- 2y = 2e , y(O) = y (O) = y (O) = O,y(O) = 1. y (0) = y(0) = y (0) = 0, y (0) = C (常数） x(O)=y(O)= l ( ll) y- 2z = F(t), y-z+z = 0, ( 13 ) r2x- x+9x)- (y+ y +3y) = 0, (2x+ x+ 7x) - (y- y +Sy) = 0,

21、y(O) = y (O) = z (O) = z(O) = 0 X (Q) = X (Q) = 1, y (O)= y (O)=O. , 0 0 0 = = zzz + + - I yy,z + 11 I + xyy + I I xxx 夕 -V - 一、 、 丿 4 l ( X (Q) = 1, y (Q) = Z (Q) =入:(O)= y (O) = z(O) = 0 解(I)对方程两边取拉氏变换，井考虑到初始条件，得 l s2Y(s)-s-l + 4sY(s)- 4+3Y(s) = s+l 整理后解出Y(s)得 Y(s) = l s+5 + (s+3)(s+l) (s+l)(s + 3

22、) I I 3 I 7 I - - -一一十一 2 (s+l)2 4 s+3 4 s+I 再取拉氏逆变换得其解为 y (t)=)2 +J +c1 / +i +(c2 +2c1)Y +i =F(t)*e-21 sint + c,e-21 cost+亿+2c,)e-21 sint = F (t) * e-21 sin t + e -21 c, cost+亿+2c,)sint (7)对方程两边取拉氏变换得 心(s)+sY(s)= I s - 2 Y(s) = 1 (s-2)s厅+1) 部分分式 1 A B Cs + D = +-+ (s-2)s厅+1) s - 2 s s2 + 1 用待定系数法得

23、l l 2 1 A=一，B=-,C=-,D=- 10 2 5 5 因此 y(t)-xs + j心s2(s:;xs-i) I 1 = t- I +- e- +- (cost - sin t) 2 2 因此原方程的解为 y(t) = 霓飞盓骂：； x(s)+ Y(s)+(s2 - t)z(s)= 0 由后两个方程得Y(s)=Z(s),X(s)=-s2Y(s)代入第一个方程解得 厂）勹三t,2飞/., 1 s Y(s) = z(s) = _.:. + - I s 3s1 - 2 3s1 +l 取拉氏逆变换得其解为 ! x(t) =coh气CO/ y (t) = z (t) = - -cosh五t+ .:.cost 3 3 2. 求解积分方程：f(t) = at+ i。:f (-r) sin (t - -r) dr. 解将积分方程取拉氏变换井利用卷积定理，设Y(s)= K - AK _!. = Asinm1: 了eT心丁ert sin (1)7:e坛 。 T = rr 1 - T - - - | / e o 尸 t o- - OSI7KT 2 O A+ e Q c _ T 。 l + T + ) )T 姐 0 Q n isn 0a s t c l -Tc (0r r - rTa - - 邱 e - e二 AK_T l _ _ _ _ _ - 26 -