微积分答案上册刘迎东版第二章答案合集.pdf

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1、第二章 极限与连续 21 数列的极限 习题2。1 1根据数列极限的定义证明： （1） 21lim 0 n n 证明： 0, 要使 2 21 10n n ，只需 21 1n n ，即 1n ，所以取 1 1N ， 则n N 时，恒有 21 0n ，所以 21lim 0 n n 。 （2） 3 1 3lim2 1 2 n n n 证明： 0, 要使 3 1 3 1 12 1 2 4 2 4 2nn n n ，只需 1 14 2n n ，即 1n ， 所以取 1 1N ，则n N 时，恒有 3 1 32 1 2nn ，所以 3 1 3lim2 1 2 n n n 。 （3） 2 2 lim 1 n

2、n a n 证 明 ： 0, 要 使 2 2 2 2 2 2 2 1n a n a n an n n n a n ， 只 需 2 2 2 2 a a nn n a n ，即 2a n ，所以取 2 1aN ，则 n N 时，恒有 2 2 1n an ，所以 2 2 lim 1 n n a n 。 (4)lim0.999 9 1 n n 个 证明： 0, 不妨设 1 ，要使 n n 10.999 9 1 10 个 ，只需 110n ，即 1lgn ， 所以取 1lg 1N ，则n N 时，恒有 n 0.999 9 1 个 ，所以lim0.999 9 1 n n 个 。 (5) 2 2 3lim

3、3 1n n n n 证明： 0, 要使 2 2 2 3 33 1 1 n n n n n ，由于 3n 时， 3n n ，所以只需 3n 时， 2 3 11nn n ，即 1,n 所以取 1max 3, 1N ，则 n N 时，恒有 2 2 3 3 1 n n n ，所以 2 2 3lim 3 1n n n n 。 （6） 1 1 1lim 11 2 2 3 1 n n n 证 明 ： 0, 要 使 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 2 3 1 2 2 3 1n n n n n ，只需 1,n 所 以取 1 1N ，则 n N 时，恒有 1 1 1 11 2 2 3 1n

4、 n ，所以 1 1 1lim 1 1 2 2 3 1n n n 。 （7） 2 221 1 1lim 0 1 2n n n n 证明： 0, 要使 2 2 2 22 21 1 1 1 1 10 1 2 1 2n nn n n n ，只需 1n 时 ， 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 11 2n n n n n n n n n nn n 即 11n ，所以取 1 2N ，则n N 时，恒有 2 221 1 1 0 1 2n n n ， 所以 2 221 1 1lim 0 1 2n n n n 。 （8） 2 2 21 1 1 1lim 1 1 12 3

5、 2 n n 证 明 ： 0, 要 使 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 2 3 2 3 1 2 1 11 32 43 54 6 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 2 2 22 1 n n n n n n n n n n n nn n 只需 1n ，所以取 1 1N ，则n N 时，恒有 2 2 21 1 1 11 1 12 3 2n ， 所以 2 2 21 1 1 1lim 1 1 12 3 2 n n 。 （9） 1lim 0. 0 n n 证明： 0, 要使 1 10n n ，只需 1n 即 1 1n ，所以取 1 1 1N ， 则n N 时，恒有 1

6、 0n ，所以 1lim 0. 0 n n 。 （10） lim 0 1 ;n n nq q 证明：情形 1：若 0q ，则问题为lim0 0 n 。 0, 任取 N ，则n N 时，恒有 0 0 0 ，所以lim0 0 n 。 情形 2：若 0 1q ，则 1 0qa q ， 11q a 。 0, 当 1n 时，要使 22 20 1 11 1 2 nn n n n nnq n q n n n aa na a a ， 只 需 2 2 1n a ，所以取 2 2 2N a ，则n N 时，恒有 0nnq ，所以lim 0;nn nq 。 （11） 1lim 0!n n n 证明：方法1： 0,

7、不妨设 1 ，要使 1 10! !n nn n ，只需 1! nn ，即 1 1! n n ， 而 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1! 1 2 3 1 1 ! n n n n 所以只需 1 1 1 11 !n ，即 1 1 1 1 !n ，取 1 1 1 11 ! N ，则 n N 时，恒有 1 0!n n ，所以 1lim 0 !nn n 。 方法2：设k是正整数，1 k n ，则 1 1n k k k ，即 1k n k n ，所以有 1 ,2 1 ,3 2 , 1 2 , 1n n n n n n n n n n ，相乘得 2! nn n ，即 !n n n 。

8、0, 要使 1 10! !n nn n ，只需 1 1!n n n ，即 21n ，取 21 1N ，则 n N 时，恒有 1 0!n n ，所以 1lim 0!n n n 。 2.若lim n n u a ，证明lim n n u a 。并举例说明：数列 nx 有极限，但数列 nx 可以无 极限。 证明 ： 0 ，由 lim n n u a 知 N ，当 n N 时， nu a ，而 此时 n nu a u a ，所以lim nn u a 。 设 11 nnx ，则 nx 无极限，但 nx 有极限。 3.设数列 nx 有界，且lim 0n n y ，证明lim 0.n n n x y 证明：

9、 0M ，使得对任何n都有 nx M 。 0, 由lim 0n n y 知存在正整数N，当 n N 时， 0n ny y M ，此时 0n n n nx y x y M M ，所以lim 0.n n n x y 4.对于数列 nx ，若 2 1 2,k kx a k x a k ，证明 nx a n 。 证明： 0 ，由 2 1 ,kx a k 存在正整数 1K ，当 1k K 时， 2 1kx a ；由 2 ,kx a k 存 在 正 整 数 2K ， 当 2k K 时 ， 2kx a ； 取 1 2max 2 1,2N K K ，则n N 时，恒有 nx a ，所以 nx a n 。 5.

10、若存在正整数N ，对任意的 0, 当n N 时，有 ,nx a 问数列 nx 有什么性质？ 答：当n N 时， nx a 。否则对于小于 nx a 的 ， nx a 就不会成立。 6.已知lim n n a a ，证明 1 21lim n n a a a an 。 证明： 0, 由lim n n a a 知存在正整数 1N ，当 1n N 时， 2na a 。 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 N N n n N N N n N a a a a a a a a a aa a a a n n a a a a a a a a a a a a n n a a

11、 a a a a n 又易知存在正整数 1N N ，当n N 时， 11 2 2 Na a a a a a n ，所以 n N 时， 11 21 21 2 2 2Nn a a a a a a a a a an n ， 即 1 21lim n n a a a an 。 7.证明：若极限 2 2 1 3lim ,lim ,limn n n n n n x x x 都存在，则极限lim n n x 存在。 证 明 ： 6nx 和 6 3nx 都 是 3nx 的 子 列 ， 而 3lim n n x 存 在 ， 所 以 6 6 3 3lim lim limn n nn n nx x x 。而 6nx

12、也是 2nx 的子列，所以 6 2lim limn nn nx x ； 6 3nx 也是 2 1nx 的子列，所以 6 3 2 1lim limn n n n x x ；于是 2 2 1lim limn n n n x x ，所以lim n n x 存在。 2.2 函数的极限 习题2.2 1. 根据函数极限的定义证明： （1） 3 lim 3 1 8 x x 证明： 0 ，要使 3 1 8 3 3x x ，只需 3 3x ，所以取 3 ，则 0 3x 时，恒有 3 1 8x ，所以 3 lim 3 1 8 x x 。 （2） 2 2 4lim 4 2x x x 证明： 0 ，要使 2x 时，

13、2 4 4 22x xx ，只需取 ，则 0 2x 时，恒有 2 4 42xx ，所以 22 4lim 42x xx 。 （3）limsin sin x a x a 证明： 0 ，不妨设 1 ，要使 sin sin 2cos sin2 2x a x ax a ，只需 sin 2 2x a ，即 2arcsin2x a ，所以取 2arcsin2 ，则0 x a 时，恒有 sin sinx a ，所以limsin sin x a x a 。 （4）limcos cos x a x a 证明： 0 ，不妨设 1 ，要使 cos cos 2sin sin2 2x a x ax a ，只需 sin 2

14、 2x a ，即 2arcsin2x a ，所以取 2arcsin2 ，则0 x a 时，恒有 cos cosx a ，所以limcos cos x a x a 。 （5） 3 3lim x a x a 证明：情形1：设 0a ，即问题为 3 0 lim 0 x x 。 0 ，要使 3 30 x x ，只需 3x ，所以取 3 ，则0 0 x 时，恒有 3 0 x ，所以 3 0 lim 0 x x 。 情 形 2 ： 设 0a ， 当 x a a 时 ， 0 xa ， 此 时 要 使 3 3 3 3 32 2 23 x ax ax a x xa a a ， 只 需 3 2x a a 。 所

15、以 取 3 2min ,a a ，则0 x a 时，恒有 3 3x a ，所以 3 3limx a x a 。 （6） 2 1 1 1lim 1 2x x x 证 明 ： 当 1 1x 时 ， 0 x 。 0 ， 要 使 0 1 1x 时 ， 2 1 11 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 x xx x x x ，只需 1 2x 。取 min 1,2 ，则 0 1x 时，恒有 2 1 11 2xx ，所以 2 1 1 1lim 1 2x x x 。 2. 求 , xxf x xx x 当 0 x 时的左、右极限，并说明它们在 0 x 时的极限是否 存在。 解： 0 0 0 0 lim l

16、im1 1;lim lim1 1; x x x x f x f x 所以 0 x 时 f x 存在极限。 0 0 0 0 lim lim1 1;lim lim 1 1; x x x x x x 所以 0 x 时 x 不存在极限。 3. 根据函数极限的定义证明： （1） 3 3 1 1lim 2 2x x x 证明： 0 ，要使 3 3 33 1 1 1 1 2 2 2 x x x x ，只需 3 1x ，所以取 3 1X ，则 当 x X 时，恒有 3 3 1 1 2 2 x x ，所以 3 3 1 1lim 2 2x x x 。 （2） sinlim 0 x x x 证明： 0 ，要使 si

17、nsin 10 xxx x x ，只需 1x ，所以取 21X ，则当 x X 时，恒有 sin 0 xx ，所以 sinlim 0 x x x 。 4. 用单侧极限定义证明下列各式： （1） 2 22 4lim 0 4x x x 证明：当0 2 1x 时， 2 4 0 x 。所以 0 ，取 1 ，则0 2x 时，恒 有 2 2 4 0 0 0 0 4 x x ，所以 2 22 4lim 0 4x x x 。 （2） 0 lim 0 0 x x 证明：当 0 x 时， 0 ，要使 0 x x ，只需 1 x ，取 1 ，则0 0 x 时，恒有 0 x ，所以 0 lim 0 x x 。 5.

18、设 1 , 0, 1 ,0 1, 1, 1. xx f x x x x 问 f x 在 0 x 与 1x 两点的极限是否存在？为什么？ 答：因为 0 0 10 lim 1 0 lim 0 1x xf x fx ,所以 f x 在 0 x 处极限不存在。 因为 1 1 1 lim 1 lim1 1 x x f x f ，所以 f x 在 1x 处极限存在。 6证明：极限 0 1limcos x x 不存在。 证 明 ： 令 12nx n ， 则 1limcos limcos2 1 n nn nx ； 令 1 2 2 nx n ， 则 1limcos limcos 2 0 2n nn nx 。所以

19、 0 1limcos x x 不存在。 7.证明 0 1lim 1. x x x 证明：1 1 11x x x ，所以 0 x 时， 11 1x x x ， 1 1x xx 。 0, 取 ， 当0 x 时，就有 1 1x x ，所以 0 1lim 1. x x x 8.证明：函数 f x x 当 0 x 时的极限为零。 证明： 0, 要使 0 x x ，只需取 ，则当0 0 x 时，就有 0 x ， 所以函数 f x x 当 0 x 时的极限为零。 9.证明：若x及x时，函数 f x 的极限都存在且都等于A，则 lim . x f x A 证明： 0, 由 lim x f x A 知，存在 1

20、 0X ，使得当 1x X 时， f x A ；由 limx f x A 知 ， 存 在 2 0X ， 使 得 当 2x X 时 ， f x A 。 取 1 2max ,X X X ，则 x X 时，恒有 f x A ，所以 lim .x f x A 10根据函数极限的定义证明：函数 f x 当 0 x x 时极限存在的充分必要条件是左极限、 右极限各自存在并且相等。 证明：必要性：由 0 lim x x f x A 知， 0, 0 ，当 00 x x 时，有 f x A ，所以当 00 x x 和 0 0 x x 时，都有 f x A 。所以 0 0 lim lim . x x f x f

21、x A 充分性：若 0 0 lim lim , x x f x f x A 则 0, 1 0 ，当 0 10 x x 时，有 f x A ； 2 0 ，当 2 0 0 x x 时，有 f x A 。取 1 2min , ， 则当 00 x x 时，恒有 f x A ，所以 0 lim x x f x A 。 11.试给出x时函数极限的局部有界性定理，并加以证明。 定理：若x时函数 f x 存在极限，则存在 0X ，使得函数 f x 在 x X 范围内 是有界的。 证明：设 lim x f x A ，则对于 1 来说，存在 0,X 当 x X 时， 1f x A ，此 兼职赚钱，获得经验，得到知

22、识！ lim lim 1, ;sin , . n n m mx x n mx x n mxx n m （3） 2 3 3 30 0 0 tan 1 costanx-sinx 12lim lim lim . sin sin 2x x x xx x x x x x 5.证明下列各关系式： （1） 1 1 0 ,kx kx x x k 为正整数； 证明： 2 0 0 1 1 1 2lim lim 0kk x x k k x x x kx x x ，所以 1 1 0 .kx kx x x （2） 1 1 1 ;1 x x xx 证明： 1 1 1 11lim lim 1 11x x x xx xx ，

23、所以 1 1 1 . 1 x x x x （3） 8 0 .x x x x x 证明： 3 1 4 2 80 0lim lim 1 1.x x x x x x x x 所以 8 0 .x x x x x 6.当 0 x 时，试确定下列各无穷小关于基本无穷小x的阶数： （1） 3 2 210 x x 解： 3 2 2 2 2 210 10 x x x x ，为x的2阶无穷小。 （2） 3 2 0 x x x 解： 1 1 3 2 2 2x x x x ，为x的12阶无穷小。 （3） 1 01x x xx 解： 0 0 1 11lim lim 1 1x x x x xx x x ，为x的1阶无穷小

24、。 （4） 35 5x 解： 3 3 30 0 3 3 5 5 1lim lim 2 55 5x x x x x x x ，为x的3阶无穷小。 （5） 3 tanx 解： 3 30 tanlim 1, x x x ，为x的 1 3阶无穷小。 （6） ln 1 x 解： 1 0 0 ln 1lim limln 1 ln 1 x x x x x e x ，为x的1阶无穷小。 （7） sinx x 解： 0 sinlim 2 x x x x ，为x的1阶无穷小。 （8）sin tanx x 解： 2 3 3 30 0 0 tan cos 1 2sin tan 1lim lim lim . 2x x

25、x xx x xx x x x x ，为x的3阶无穷小。 7.定出适当的 p，使下面各式成立： （1） 31 cos sin 0 ;px x x x x 解： 3 3 2 2 20 0 0 3 3 3 32 2 0 0 3 1 cos sin 1 cos sinlim lim lim 2sin sin2 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ，所以 2.3p （2） 2sin 2 1 .pn nn 解： 22 2 2 sin 2 1sin 2 1 2 1 2 lim lim lim lim 1. 1n n n n n nn n n n n

26、 n n n n 所以 1.p 2.7 函数的连续性与间断点 习题2.7 1. 研究下列函数的连续性： （1） 2,0 1, 2 ,1 2. x xf x x x 解： f x 在 0,1 上为 2x ，在 1,2 上为 2 x ，都是初等函数，所以连续。而 2 1 1 1 1 lim lim 1 1 lim 2 lim x x x x f x x f x f x ，所以在 1x 处也连续。所以 f x 在 0,2 上连续。 （2） , 1 1,1, 1 1.x xf x x x 或 解： f x 在 1,1 上为x，在 , 1 , 1, 上为1，都是初等函数，所以连续。而 1 1 1 1 l

27、im lim 1 1 lim1 lim x x x x f x x f f x ， 所 以 在 1x 处 也 连 续 。 1 1 lim lim1 1 1 x x f x f ，所以 f x 在 1x 处间断。 2. 求下列函数的间断点，并指出其类型： （1） 2 2 1, 0,1 , 2 , 1,2 ; x xf x x x 解：易知 f x 在 0,1 , 1,2 上连续。 2 2 1 1 1 1 lim lim 1 2 1 lim 2 lim x x x x f x x x f x ，所以 1x 为第一类跳跃间断 点。 （2） 2 .1xf x x 解：易知 f x 在 , 1 , 1,

28、 上连续。 2 1 lim ,1 x x x ，所以 1x 为第二类无穷 间断点。 （3） 21 1 xf x x 解：易知 f x 在 ,1 , 1, 上连续。 2 1 1 1lim lim 1 2 1x x x x x ，而 21 1 xf x x 在 1x 处无定义，所以 1x 为第一类可去间断点。 （4） cot 2 6f x x 解：易知 f x 在 ,2 12kx k Z 时都是连续的。 2 12 lim cot 2 6k x x 。所以 ,2 12kx k Z 为第二类无穷间断点。 （5） 2ln 4f x x 解：易知 f x 在 , 2 , 2, 上连续，没有间断点。 （6）

29、 1, 0, 0, 0, 1, 0. x f x x x 解：易知 f x 在 ,0 , 0, 上是连续的。 0 0 0 0 lim lim 1 1 1 lim1 lim x x x x f x f x 。所以 0 x 为第一类跳跃间断点。 （7） 1sinf x x x 解：易知 f x 在 ,0 , 0, 上是连续的。 0 1lim sin 0 x x x 。而 1sinf x x x 在 0 x 处无定义，所以 0 x 为第一类可去间断点。 （8） 1sinf x x 解：易知 f x 在 ,0 , 0, 上是连续的。 1sin x 当 0 x 时无穷震荡，没有极限， 所以 0 x 为第

30、二类震荡间断点。 （9） 1 1, 0, ln 1 , 1 0. xe xf x x x 解：易知 f x 在 1,0 , 0,1 , 1, 上是连续的。 1 1 1 0 0 0 0 lim limln 1 0 lim limx x x x x f x x e e f x ，所以 0 x 是第一类跳跃间断 点。 1 1 1 1 lim lim x x x f x e ，所以 1x 是第二类间断点。 3. 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充 或改变函数的的定义使其连续。 （1） 2 2 1 , 1, 2; 3 2 xy x x x x 解： 2 21 1

31、 1 1lim lim 2, 3 2 2x x x x x x x 所以 1x 是第一类可去间断点，补充定义 1 2f 后可使其连续。 2 22 1lim , 3 2x x x x 所以 2x 是第二类无穷间断点， （2） , , 0, 1, 2, ;tan 2xy x k x k kx 解： 0 lim 1tan x x x ，所以 0 x 是第一类可去间断点，补充定义 0 1f 后可使其连续。 0k 时，lim ,tan x k x x 所以 1, 2,x k k 是第二类无穷间断点。 2 lim 0tan x k x x ， 所以 0, 1, 2,2x k k 是第一类可去间断点，补充定

32、义 02f k 后可使 其连续。 （3） 2 1cos , 0.y xx 解： 2 1cosy x 当 0 x 时无穷次震荡，没有极限，所以 0 x 是第二类震荡间断点。 （4） 1, 1, 1.3 , 1,x xy xx x 解： 1 1 1 1 lim lim 1 0 2 lim 3 lim x x x x y x x y ，所以 1x 是第一类跳跃间断点。 4. 讨论函数 2 2 1lim 1 n nn xf x x x 的连续性，若有间断点，判别其类型。 解： 2 2 , 1, 0, 1,1 lim , 1 1,1 0, 1, , 1. n nn x x xx f x x x xx x

33、 x x 显然它在 , 1 , 1,1 , 1, 上连续。 1 1 1 1 lim lim 1 1 lim lim x x x x f x x x f x ，所以 1x 为第一类跳跃间断点。 1 1 1 1 lim lim 1 1 lim lim x x x x f x x x f x ，所以 1x 为第一类跳跃间断点。 5. 证明：若函数 f x 在点 0 x 连续且 0 0f x ，则存在 0 x 的某一邻域 0U x ，当 0 x U x 时， 0.f x 证明：由题意， 0 0lim 0 x x f x f x ，对于 0 2 f x 来说，存在 0 ，当 0 x x 时 ， 00 2

34、f xf x f x ， 而 0 0f x f x f x f x ， 所 以 有 0 02f xf x ，所以取 0 0 0,U x x x 就满足要求。 6. 设 , ,0, .x x Qf x x R Q 证明：（1） f x 在 0 x 连续； （2） f x 在非零的x处都不连续。 证 明 ： （ 1 ） 0 ， 取 ， 则 0 x 时 ， , ,0 0 0 , .x x Qf x f f x f x x R Q ，所以 f x 在 0 x 连续。 （2）设 0 x ，取一串有理数列 nx x ，则 lim limn n n n f x x x ，再取一串无理数列 nx x ，则 l

35、im lim0 0n n n f x 。所以x处函数无极限，所以 f x 在非零的x处都不 连续。 7.选择a的值，使下列函数处处连续： （1） , 0, 0. xe x f x a x x 显然 f x 在 ,0 , 0, 上连续。 0 0 0 0 lim lim 1,lim lim 0 x x x x x f x e f x a x a f ，所以选 1a 可使函数处处连 续。 （2） 2, 1, cos , 1. xf x x a x x 显然 f x 在 ,1 , 1, 上连续。 1 1 1 1 2lim lim cos ,lim lim 2 1 x x x x f x a x a f

36、 x fx ，所以选 2a 可使函数处 处连续。 （3） 2 1sin , 0, , 0. x xf x x a x x 显然 f x 在 ,0 , 0, 上连续。 2 0 0 0 0 1lim lim 0 ,lim lim sin 0 x x x x f x a x a f f x x x ，所以选 0a 可使函数 处处连续。 28 连续函数的运算与初等函数的连续性 习题2.8 1. 求函数 3 2 2 3 3 6 x x xf x x x 的连续区间，并求极限 0 3lim ,limx xf x f x 及 2lim .x f x 解： 3 2 2 1 1 33 3 6 2 3 x x x

37、x x xf x x x x x ， f x 是初等函数，只在 3, 2x x 处无定义，所以连续区间为 , 3 , 3,2 , 2, 。 3 2 20 0 3 3 3 2 2 3 3 1lim lim , 6 2 1 1 3 1 1 8lim lim lim , 2 3 2 5 1 1 3lim lim . 2 3 x x x x x x x x x xf x x x x x x x xf x x x x x x xf x x x 2. 设函数 f x 与 g x 在点 0 x 连续，证明函数 max , , min ,x f x g x x f x g x 在点 0 x 也连续。 证明：情

38、形1： 0 0f x g x 。 由连续性，在某邻域 0U x 内， f x g x 。 ,x f x x g x ，显然在 0 x 处 连续。 情形2： 0 0f x g x 。 由连续性，在某邻域 0U x 内， f x g x 。 ,x g x x f x ，显然在 0 x 处 连续。 情形3： 0 0f x g x 。此时 0 0 0 x x f x 。 0, 由 0 0limx x f x f x 知存在 1 0, 当 0 1x x 时， 0f x f x 。由 0 0limx x g x g x 知 存 在 2 0, 当 0 2x x 时 ， 0g x g x 。 取 1 2min

39、 , ，则 0 x x 时，有 0 0,x x x x ，所以 ,x x 在点 0 x 连续。 3. 求下列极限： （1） 0 1 1lim x x x 解：原式 0 0 1 1lim lim . 21 11 1x x x xx x （2） 2 2lim x x x x x 解：原式 2 2 2 2lim lim 1. 1 11 1x x x x x x x x x （3） 23 20 1lg 2lim 1 cosx x x x x 解：原式 23 2 0 1lg 2 0 lg2. 21 0 cos0 （4） 1limln 1 2 n n n 解：原式 21 1 1 lim ln 1 .2 2

40、 2 n n n （5） 1sin lim n n n e 解：原式 1sin 1 lim . n n n e e （6） 1 lim x x e 解：原式 1. （7） 0 sinlimln x x x 解：原式 ln1 0. （8） 21lim 1 x x x 解：原式 1 21 lim 1 . x x ex （9） 2cot 2 0 lim 1 3tan x x x 解：原式 2 3cot 2 33 0 lim 1 3tan . x x x e （10） 1 23lim 6 x x x x 解：原式 3 1 6 2 6 3 3 23lim 1 . 6 x x x x ex （11） 20

41、 1 tan 1 sinlim 1 sinx x x x x x 解：原式 2 2 2 320 0 0 2tan sin 1 sin 1 2tan 1 cos 12 lim lim lim .2 sin 2 2 sin 1 tan 1 sinx x x xxx x x x x x x xx x x x （12） 2 2lim 2 1 x x x x 解：原式 2 1 2 11 lim 1 .2 1 x x x x ex （13） 1 1 21 1lim 1 x x x x x 解：原式 1 1 1 1 1lim . 1 2 x x x （14） 3 1 2 1 2 2lim 1 x x x x

42、 x x 解：原式 32 8. （15） lim cos sin 0 . x x a ak a k x x 解：原式 2 2 cos sin 11 lim cos 1 lim sincos sin 1 lim lim2 lim 1 cos sin 1 . x x x x a ax k x x a a a a x kxk x xx x x a ax kx kaxx a ak e x x e e （16） 1 0 lim 0, 0, 03 x x x x x a b c a b c 解：原式 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1lim lim lim 3 3 3

43、ln ln lnlim lim lim 33 3 3 1 1 1lim 1 3 . x x x x x x x x x x x x x x x a b c x x x x a b c x a b c x x x x a x b x c x x x a b c e e abc 29 有界闭区间上连续函数的性质 习题2.9 1. 假设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续，并且对 0,1 上任一点x有 0 1f x 。试证 明 0,1 中必存在一点c，使得 f c c （c称为函数 f x 的不动点）。 证 明 ： 构 造 辅 助 函 数 g x f x x ， 则 g x 在 0,1 上 连 续

44、 。 0 0 0 0 0, 1 1 1 0g f f g f 。若 0 0 1g g ，由零点定理，在 0,1 中存在一点c使得 0g c ，即 .f c c 否则必有 0 0g 或 1 0g ，即 0 0f 或 1 1.f 2. 证明方程 sin ,x a x b 其中 0, 0a b 至少有一个正根，并且它不超过 .a b 证 明 ： 构 造 辅 助 函 数 sinf x x a x b ， 则 f x 为 连 续 函 数 。 0 0,f b sin sin 0.f a b a b a a b b a a a b 若 0,f a b 由零点定理，在 0,a b 中有根。否则，a b 为根。

45、 3. 证明方程sin 1 0 x x 在开区间 ,2 2 内至少有一个根。 证明：记 sin 1f x x x ，则 f x 连续。 0, 2 02 2 2 2f f ，由 零点定理，方程sin 1 0 x x 在开区间 ,2 2 内至少有一个根。 4. 若 f x 在 ,a b 上连续， 1 2 3 ,na x x x b n 则在 1, nx x 内至少有一点 ，使 1 2 nf x f x f xf n 。 证明：记 * *1 2 1 2min , , , , max , , , ,n nm f x f x f x M f x f x f x 则 1 2* *nf x f x f xm

46、 M n 。若 * *m M ，则 1 21 2 nn f x f x f xf x f x f x n ，令 2x 即得所需结论。若 * *m M ，则 1 2* *nf x f x f xm M n 。设 * *, i jf x m f x M ，则 在以 ,i jx x 为端点的开区间内存在一点，使 1 2 nf x f x f xf n ，结论 也成立。 5. 证明：若 f x 在 , 内连续，且 lim x f x 存在，则 f x 必在 , 内有界。 证明：证法1： 设 lim x f x A ，则对于 1 ，存在 0X ，当 x X 时， 1f x A ，于是有 1f x A 。

47、在区间 ,X X 上，连续函数 f x 有界，不妨设 1f x M 。所以 1max 1,M A M 即为 f x 在 , 上的界。 证法2： 设 lim x f x A ，记 tang t f t ， ,2 2t ，补充定义 2g A ，则 g t 在 ,2 2 上连续，故有界。所以 f x 在 , 上有界。 6. 设 f x 在 ,a b 上连续，且 lim lim , x a x b f x f x B 又存在 1 ,x a b ，使得 1 ,f x B 证明 f x 在 ,a b 上有最大值。 证明：补充定义 f a f b B ，则 f x 在 ,a b 上连续，故有最大值。又存在

48、1 ,x a b ，使得 1f x B f a f b ，所以最大值必可在 ,a b 上取到。 7. 设 f x 在 ,a b 上连续，且 lim lim , x a x b f x f x 证明 f x 在 ,a b 上有最小 值。 证明：由 lim lim , x a x b f x f x 存在 0, 当 ,x a a 或 ,x b b 时， 2a bf x f 。 f x 在区间 ,a b 上连续，所以有最小值 m 。显然 2 a bm f ，所以m即为 f x 在 ,a b 上的最小值。 8. 如果存在直线 : ,L y kx b 使得当x（或 ,x x ）时，曲线 y f x 上的

49、动点 ,M x f x 到直线L的距离 , 0d M L ，则称L为曲线 y f x 的渐近 线。 （1） 证明：直线 :L y kx b 为曲线 y f x 的渐近线的充分必要条件是 lim , lim ;x x x x x x f xk b f x kx x （2） 求曲线 1 2 1 xy x e 的渐近线。 （1） 证明：不失一般性，以x为例。 必要性： 点 ,M x f x 到直线 :L y kx b 的距离为 2 , 1 f x kx bd M L k ，所以 , 0 lim 0.xd M L f x kx b 由 此 可 得 lim 0 x f x kx bx ， 即 lim ,

50、 lim ; x x f xk b f x kx x 充分性： 由 lim ; x b f x kx 得 lim 0. x f x kx b 进而 2lim , lim 0 1x x f x kx bd M L k 。所以直线 :L y kx b 为曲线 y f x 的渐近 线。 （2） 解： 1 12 1 1 lim lim 2 2 x x x x x ek e x x 。 1 1 1 11 lim 2 1 2 lim2 1 lim lim2 lim 2 1 1x x x x x x x x x b x e x x e e x ex 所以 2 1y x 为渐近线。 另外， 1 0 lim 2 1 x x x e ，所以 0 x 为一条竖直渐近线。