《概率论与数理统计》韩旭里谢永钦版习题三及答案.pdf

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1、 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值 .试写出 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 1 3 111 3 C 222 8 =i 2 3 111 C3/8 222 =i 0 3 1 8 0 0 111 1 222 8 = 2.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0

2、 0 22 32 4 7 CC 3 C35 = i 31 32 4 7 CC 2 C35 = i 1 0 11 2 322 4 7 CCC 6 C35 = ii 211 322 4 7 CCC 12 C35 = ii 31 32 4 7 CC 2 C35 = i 2 P（ 0 黑 ,2 红 ,2 白） = 22 4 22 7 1 CC/C 35 =i 121 322 4 7 CCC 6 C35 = ii 22 32 4 7 CC 3 C35 = i 0 3.设二维随机变量（ X， Y）的联合分布函数为 F（ x， y） = .,0 2 0, 2 0,sinsin 其他 yxyx 求二维随机变量

3、（ X， Y）在长方形域 36 , 4 0 yx 内的概率 . 【解】 如图 0 , (3.2) 46 3 PX Y + .,0 ,0,0, )43( 其他 yxA yx e 求：（ 1） 常数 A； （ 2） 随机变量（ X， Y）的分布函数； （ 3） P0X1， 0Y = 其他 （ 3） 0 1, 0 2PX Y 12 (3 4 ) 3 8 00 0 1, 0 2 12e d d (1 e )(1 e ) 0.9499. xy PX Y xy + = = 5.设随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y） = .,0 ,42,20),6( 其他 yxyxk （ 1） 确定常数 k

4、； （ 2） 求 PX 1， Y 3； （ 3） 求 PX1.5； （ 4） 求 PX+Y4. 【解】 （ 1） 由性质有 24 02 (, )dd (6 )dd 8 1,fxy xy k x y yx k + + = = = 故 1 8 R = （ 2） 13 1,3 (,)ddPX Y f xy yx = 13 02 (6 )d d 88 kxyyx= （ 3） 1 1.5 1.5 (, )dd a (, )dd xD PX f xy xy f xy xy .,0 ,0,5 5 其他 y y e 求：（ 1） X 与 Y 的联合分布密度；（ 2） PYX. 题 6 图 【解】 （ 1） 因

5、 X 在（ 0， 0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为 1 ,0 0.2, () 0.2 0, . X x fx = 其他 所以 (, ) , () () XY f xyXY f x f yi独立 5 5 1 5e 25e , 0 0.2 0, 0.2 0, 0, y y xy = 且 其他. （ 2） 5 () (,)d 25ed y yx D PY X f x y x y x y = 如图 0.2 0.2 -5 5 00 0 -1 d 25e d ( 5e 5)d =e 0.3679. x yx x =+ 7.设二维随机变量（ X， Y）的联合分布函数为 F（ x， y） = .

6、,0 ,0,0),1)(1( 24 其他 yx yx ee 求（ X， Y）的联合分布密度 . 【解】 (4 2 )2 8e , 0, 0,(, ) (, ) 0, xy xyFxy fxy xy + = 其他. 8.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y） = 4.8 (2 ), 0 1, 0 , 0, . y xx yx 其他 求边缘概率密度 . 【解】 () (, )d X f xfxyy + = x 2 0 4.8 (2 )d 2.4 (2 ), 0 1, = 0, . 0, yxy xx x = 其他 () (,)d Y f yfxyx + = 1 2 y 4.8

7、(2 )d 2.4 (3 4 ), 0 1, = 0, . 0, yxx yyy y + = 其他 题 8 图 题 9 图 9.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y） = = 其他 () (,)d Y f yfxyx + = 0 ed e, 0, = 0, . 0, y y x x yy = 其他 题 10 图 10.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y） = .,0 ,1, 22 其他 yxycx （ 1） 试确定常数 c； （ 2） 求边缘概率密度 . 【解】 （ 1） (, )dd (, )dd D f xy xy f xy xy + + 如图 2

8、 11 2 -1 4 =d d 1. 21 x xcxyy c= = 得 21 4 c = . （ 2） () (, )d X f xfxyy + = 2 1 242 2121 (1 ), 1 1,d 84 0, 0, . x xx xxyy = 其他 () (,)d Y f yfxyx + = 5 2 2 21 7 d ,0 1, 4 2 0, 0, . y y xyx yy = 其他 11.设随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y） = .,0 ,10,1 其他 xxy 求条件概率密度 f Y X （ y x）， f X Y （ x y） . 题 11 图 【解】 () (,

9、)d X f xfxyy + = 1d 2 , 0 1, 0, . x x yx x = = 其他 1 1 1d 1 , 1 0, () (,)d 1d1,0 1, 0, . y Y y xy y fy fxyx x y y + = + = 其他 所以 | 1 ,| 1,(, ) (|) 2 () 0, . YX X yxfxy fyx x fx = 其他 | 1 , 1, 1 (, ) 1 (|) , 1, () 1 0, . XY Y yx y fxy fxy yx fy y = .,0 ,0, 2 1 2/ 其他 y y e （ 1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （ 2） 设含有 a

10、 的二次方程为 a 2 +2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 . 【解】 （ 1） 因 1, 0 1, () 0, X x fx = 其他. 故 /2 1 e01,0, (, ) , () () 2 0, . y XY xy fxyXY f x f y = i独立 其他 题 14 图 （ 2） 方程 2 20aXaY+ +=有实根的条件是 2 (2 ) 4 0XY= 故 X 2 Y， 从而方程有实根的概率为： 2 2 (,)d xy PX Y f xy xy = 2 1 /2 00 1 ded 2 12(1) (0) 0.1445. x y xy = = = 15.设 X 和 Y 分别表示

11、两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为 f（ x） = .,0 ,1000, 1000 2 其他 x x 求 Z=X/Y 的概率密度 . 【解】 如图 ,Z 的分布函数 () Z X Fz PZ z P z Y = （ 1） 当 z0 时， () 0 Z Fz= （ 2） 当 0z1 时， （这时当 x=1000 时 ,y= 1000 z ）（如图 a） 3 3 66 10 22 22 10 10 10 () dd d d yz Z zx y z Fz xy y x xy xy + = 3 36 10 23 10 10 =d 2 z z

12、y yzy + = 题 15 图 （ 3） 当 z1 时，（这时当 y=10 3 时， x=10 3 z）（如图 b） 33 66 22 22 10 10 10 10 () dd d d zy Z x y z Fz xy y x xy xy + = 3 36 23 10 10 10 1 =d 2 y yzy z + = 即 1 1, 1, 2 () , 0 1, 2 0, . Z z z z fz z = 其他 故 2 1 ,1, 2 1 () , 0 1, 2 0, . Z z z fz z = 其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N（ 160， 20 2 ）分布 .

13、随机地选取 4 只， 求其中没有一只寿命小于 180 的概率 . 【解】 设这四只寿命为 X i （ i=1,2,3,4），则 X i N（ 160， 20 2 ）， 从而 1234 1 2 min( , , , ) 180 180 180 i P X X X X X PX PXi之间独立 34 180 180PX PXi 1234 1 180 1 180 1 180 1 180PX PX PX PX=iii 4 4 1 44 180 160 1 180 1 20 1 (1) (0.158) 0.00063. PX = = = = = 17.设 X， Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为

14、PX=k=p（ k）， k=0， 1， 2， ， PY=r=q（ r）， r=0， 1， 2， . 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为 PZ=i= = i k kiqkp 0 )()( ， i=0， 1， 2， . 【证明】 因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数， 所以 Z iXYi= =+= 0, 1, 1 ,0XYiXYi XiY= = =null 于是 0 , , i k PZ i PX kY i kXY = = = = 相互独立 0 i k PX k PY i k = = = i 0 ()( ) i k p kqi k = = 18.设 X， Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参

15、数为 n， p 的二项分布 .证明 Z=X+Y 服从参 数为 2n， p 的二项分布 . 【证明】 方法一： X+Y 可能取值为 0， 1， 2， ， 2n. 0 , k i PX Y k PX iY k i = += = = = 0 0 2 0 2 () 2 k i k ini kinki i k knk i knk PX i PY k i nn pq p q iki nn pq iki n pq k = + = = = = = = i 方法二：设 1 , 2 , n ; 1 , 2 ,， n 均服从两点分布（参数为 p），则 X= 1 + 2 + n ， Y= 1 + 2 + n , X+

16、Y= 1 + 2 + n + 1 + 2 + n , 所以， X+Y 服从参数为（ 2n,p）的二项分布 . 19.设随机变量（ X， Y）的分布律为 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 （ 1） 求 PX=2 Y=2， PY=3 X=0； （ 2） 求 V=max（ X， Y）的分布律； （ 3） 求 U=min（ X， Y）的分布律； （ 4） 求 W=X

17、+Y 的分布律 . 【解】 （ 1） 2,2 2|2 2 PX Y PX Y PY = = = = 5 0 2,20.51 , 0.25 2 ,2 i PX Y PX iY = = = = = 3, 0 3| 0 0 PY X PY X PX = = = = 3 0 0,30.11 ; 0.03 3 0, j PX Y PX Y j = = = = = （ 2） max(,) , ,PV i P X Y i P X iY i P X iY i= = = = = =+ = 0,1, 2,3,i = 于是 U=min（ X,Y） 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 （ 4）

18、类似上述过程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.雷达的圆形屏幕半径为 R，设目标出现点（ X， Y）在屏幕上服从均匀分布 . （ 1） 求 PY 0 Y X； （ 2） 设 M=maxX， Y，求 PM 0. 题 20 图 【解】 因（ X， Y）的联合概率密度为 22 2 2 1 , (, ) 0, . x yR fxy R + = 其他 （ 1） 0, 0| PY Y X PY Y X PY X = 0 (, )d (, )d y yx yx fxy fxy = 2 /4 0 5

19、 4 2 /4 0 1 dd 1 dd R R rr R rr R = 3/8 3 ; 1/2 4 = （ 2） 0 max( , ) 0 1 max( , ) 0PM P XY P XY= = 0 0 13 1 0, 01 (,)d 1 . 44 x y PX Y f xy = = = = 21.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0， x=1,x=e 2 所围成，二维随机变量（ X， Y） 在区域 D 上服从均匀分布，求（ X， Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？ 题 21 图 【解】 区域 D 的面积为 2 2e e 01 1 1 dln 2.Sxx x

20、= （ X,Y）的联合密度函数为 2 11 ,1 e,0 , (, ) 2 0, . xy fxy x 0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概 Y X 率为 p（ 0p1），且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求：（ 1）在 发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（ 2）二维随机变量（ X， Y）的 概率分布 . 【解】 （ 1） | C (1 ) ,0 , 0,1, 2, mm nm n PY m X n p p m nn = =null . （ 2） , | PX nY m PX n PY m X n= = = = =i e C (1 ) , , 0,1

21、, 2, . ! mm nm n n pp mn n = =inull 24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X 7.03.0 21 ，而 Y 的概率密度为 f（ y）， 求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g（ u） . 【解】 设 F（ y）是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为 () 0.3 | 1 0.7 | 2Gu PX Y u PX Y u X PX Y u X= + = + =+ + = 0.3 1| 1 0.7 2 | 2PY u X PY u X=+= 由于 X 和 Y 独立，可见 ( ) 0.3 1 0.7 2Gu PY u

22、PY u=+ 0.3 ( 1) 0.7 ( 2).Fu Fu=+ 由此，得 U 的概率密度为 ( ) ( ) 0.3 ( 1) 0.7 ( 2)gu Gu Fu Fu = + 0.3 ( 1) 0.7 ( 2).fu fu=+ 25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Y 1. 解 ：因为随即变量服从 0， 3上的均匀分布，于是有 1 , 0 3, () 3 0, 0, 3; x fx xx = 1 , 0 3, () 3 0, 0, 3. y fy yy = 因为 X， Y 相互独立，所以 1 , 0 3,0 3, (, ) 9 0, 0,

23、0, 3, 3. xy fxy xyxy = 推得 1 max,1 9 PXY = . 26. 设二维随机变量（ X， Y）的概率分布为 1 0 1 1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E（ X） = 0.2,PY0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求： （ 1） a,b,c 的值； （ 2） Z 的概率分布； （ 3） PX=Z. 解 （ 1） 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由 () 0.2EX = ，可得 0.1ac += . 再由 0,0 0.1 0 0 0.5 0 0.

24、5 PX Y a b PY X PX a b + = = =, 得 0.3ab+ = . 解以上关于 a， b， c 的三个方程得 0.2, 0.1, 0.1abc= =. （ 2） Z的可能取值为 2， 1， 0， 1， 2， 2 1,10.2PZ PX Y= = = = = ， 1 1,00,10.1PZ PX Y PX Y= = = = + = = = ， 0 1, 1 0, 0 1, 1 0 . 3PZ PX Y PX Y PX Y= = = = + = = + = = = ， 1 1, 0 0,10.3PZ PX Y PX Y= = =+ = = ， 21,10.1PZ PX Y= = =， 即 Z 的概率分布为 Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 （ 3） 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4PX Z PY b= =+=+=. X Y