求空间曲面的面积.pdf

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1、一、问题的引入 二、曲面的面积 曲面的面积. cos 1 : ) ( , ), cos , cos , (cos , = = A A xOy e n 有如下关系 与底面的面积 的面积 平行四边形 证明截面 面 底面位于 面的法向量为 如果截 被一平面所截 设一底面为矩形的柱体 O x y z P Q R ) 0 , , ( 0 0 y x M L N 的方程为 截面 如图 MPQR , 0 ) 0 ( cos ) ( cos ) ( cos 0 0 = + + z y y x x , , 0 , 0 y y x y x P = = 坐标为 点的 0 cos cos x z = 坐标 代入平面方

2、程可得 z 例1 解, 0 , , 0 = = y x x y x R 坐标为 点的 ). cos cos , 0 , ( ), cos cos , , 0 ( 0 0 0 0 y x R x y P = = 000 cos cos 0, , 0, 1, . cos cos MR y y y = = 00 0 cos cos ,0, 1,0, , cos cos MP x x x . cos 1 = = MR MP A 截面面积 O x y z P Q R ) 0 , , ( 0 0 y x M L N . cos cos 0 y z z = 坐标 代入可得D i O x y z S 二、曲面

3、的面积 ). ( ) , ( , ) , ( ). , ( : ) 1 ( D C y x z D y x y x z z S = 空间有界曲面 . i 分析典型矩形小区域 ) , ( i i y x M ) , ( , , ( i i i i y x z y x P T P M . : 处的切平面 在点P S T i i T i i A i i T A i A . = i i i i T A A i T . = i i i i T A A . cos 1 i i T = 处的法向量 在点 设 P S ) cos , cos , (cos e = n ) 1 ), , ( ), , ( ( =

4、 i i y i i x y x z y x z n . ) , ( ) , ( 1 2 2 i i i i y i i x y x z y x z A + + ) , ( ) , ( 1 1 cos 2 2 i i y i i x y x z y x z + + = 0 max = i dia 令 的面积为 空间曲面 D y x y x z z S = ) , ( ), , ( : . d ) , ( ) , ( 1 2 2 + + = D y x y x z y x z A d cos 1 d ) , ( ) , ( 1 d 2 2 = + + = y x z y x z A y x 曲面

5、面积元素 . ) , ( ) , ( 1 2 2 i i i i y i i x y x z y x z A + + ). ( ) , ( , ) , ( ). , ( : ) 1 ( D C z y x D z y z y x x S = 如果曲面 d cos 1 d ) , ( ) , ( 1 d 2 2 = + + = z y x z y x A z y 面积元素 . d ) , ( ) , ( 1 2 2 + + = D z y z y x z y x A 则曲面面积 ). ( ) , ( , ) , ( ). , ( : ) 1 ( D C x z y D x z x z y y S

6、 = 如果曲面 d cos 1 d ) , ( ) , ( 1 d 2 2 = + + = x z y x z y A x z 面积元素 . d ) , ( ) , ( 1 2 2 + + = D x z x z y x z y A 则曲面面积. 2 2 2 2 2 2 内部的那部分的面积 含在圆柱体 求球面 ax y x a z y x = + = + + ). 0 , ( , 4 1 = y x A A . 0 , 0 , : 2 2 1 + y x ax y x D . 2 2 2 y x a z = 曲 面方程 例2 解y x z z A y x d d 1 d 2 2 + + = y

7、 x y x a a d d 2 2 2 = + + = 1 d d 1 4 2 2 D y x y x z z A 面 积 = 1 d d 4 2 2 2 D y x y x a a . 4) 2 ( 2 a =. 的球的表面积 求半径为a 解 , 2 2 2 y x a z = 取上半球面方程为 面上的投影区域 则它在 xOy , 2 2 2 y x a x x z = 得 2 2 1 + + y z x z . | ) , ( 2 2 2 a y x y x D + = 由 , 2 2 2 y x a y y z = . 2 2 2 y x a a = 例3, 上无界 因为这函数在闭区域

8、 D . 公式 不 能直接应用曲面积分 , ) 0 ( | ) , ( 2 2 2 1 为积分区域 先取 a b b y x y x D + = , 1 1 后 上的球面面积 算 出相应于 A D . 1 积 的极限就得半球面的面 取 令 A a b y x y x a a A D d d 1 2 2 2 1 = d d 1 2 2 = D a a = b a a 0 2 2 d 2 于是 1 limA a b = 2 00 2 2 d d b a a ). ( 2 2 2 b a a a = ) ( 2 lim 2 2 b a a a a b = . 2 2 a = . 4 2 a A = 因此整个球面的面积为