题型五二次函数与几何图形综合题.doc

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1、目录 题型五 二次函数与几何图形综合题 .2 类型一 与特殊三角形形状有关 .2 类型二 与特殊四边形形状有关 .8 类型三 与三角形相似有关 .18 类型四 与图形面积函数关系式、最值有关 .23 类型五 与线段、周长最值有关 .29 题型五 二次函数与几何图形综合题 类型一 与特殊三角形形状有关 针对演练 1. (16 原创)如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 的对称轴为 x=1,与 y 轴的交点第 1 题 图 C 为（ 0,3） ，与 x 轴交于点 A、B，顶点为 D. （1）求抛物线的解析式； （2）求 A、B、D 的坐标，并确定四边形 ABDC 的面积； （3）点 P 是 x 轴

2、上的动点，连接 CP，若CBP 是等腰三角形，求点 P 的坐标. 2. （15 长沙模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象过点 M（-2, ） ，顶点为3 N（-1, ） ，与 x 轴交于点 A、B （点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C.43 （1）求抛物线解析式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）若点 Q 是抛物线对称轴上一点，当QBC 是直角三角形时，求点 Q 的坐 标. 3. （16 原创）如图，抛物线 y = - x2+mx+n 与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴1 交于点 C，其对称轴与 x 轴的交点为 D，已知 A（-1,0） ，C（

3、0,2）. （1）求抛物线的解析式； （2）判断ACD 的形状，并说明理由； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直 角三角形，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 . 4. 如图，已知二次函数 L1:y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 边） ，与 y 轴交于点 C. （1）写出 A、B 两点的坐标； （2）二次函数 L2:y=kx2-4kx+3k(k0),顶点为 P. 直接写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质； 是否存在实数 k，使 ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值

4、；如不 存在，请说明理由； 若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否会发生变化？ 如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由. 答案 1. 解：（1）抛物线 y =-x2+bx+c 的对称轴为 ，12bx 解得 b=2， 抛物线过点 C（0,3） ，c=3 ， 抛物线解析式为 y=-x2+2x+3； （2）由抛物线 y=-x2+2x+3，令 y =0 得，-x 2+2x+3=0， 解得 x1=-1,x2=3，点 A（-1,0 ） ，点 B（3,0） ， 当 x=1 时，y=-1 2+2+3=4,点 D 的坐标为（1,4）. 如解图，过 D 作 DM

5、AB 于 M，则 OM =1，DM =4， S 四边形 ABDC =SAOC +S 四边形 OMDC+SBMD = AOOC + （OC+ MD）OM + BMDM1212 = 13+ （3+4 ）1+ 42 =9. （3）设点 P 的坐标为（t,0） ，则 PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t)2， BC 2=32+32=18， 若PBC 是等腰三角形， 则有PC 2=PB 2，即 t 2+9=(3-t)2，解得 t =0，此时点 P 的坐标为（0,0） ； PC 2=BC 2，则 t 2+9=18，解得 t =3（舍）或 t =-3，此时点 P 的坐标为（-3,0） ； PB 2=B

6、C 2 则(3-t) 2=18，解得 t =3+ 或 t =3- ，32 此时点 P 的坐标为（3+ ,0）或（3- ,0）. 2. 解：（1）由抛物线的顶点为 N（-1, ） ，故设抛物线的顶点式为 y=a(x+1)43 2+ ，43 将点 M（-2, ）代入解析式得， a(-2+1)2+ =3，43 解得 a = , 抛物线的解析式为 y = - (x+1)2+ .343 即 y= x2 x + .3 （2）对于抛物线 y= x2- x + ，令 y = 0,33 得 x2- x + =0，3 解得 x1=1,x2=-3， 点 A（1,0） ，点 B（-3,0） ， 令抛物线 x=0,得

7、y= ，3 点 C 的坐标为（0, ）. AB 2=42=16,AC 2=12+( )2=4,BC 2=32+( )2=12,3 AB 2=AC 2+BC 2, ABC 是直角三角形. (3)由抛物线顶点 N（-1, ）知抛物线的对称轴为 x =-1，43 设点 Q 的坐标为（-1,t） ， 则 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t- )2=t 2- t+4，BC 2=12.3 要使BQC 是直角三角形， () 当BQC 90，则 BQ 2+QC 2=BC 2, 即 4+t 2+t 2- t+4=12，3 解得 t1= + ,t2= - ，此时点 Q 的坐标

8、为（-1， + ）或（-1，3321 - ） ；32 （）当QBC90 ，则 BQ 2+BC 2=QC 2， 即 4+t 2+12=t 2- t+4，解得 t=- ，此时点 Q 的坐标为（-1，- ） ；3323 （）当BCQ = 90时，则 QC 2+BC 2=BQ 2， 即 t 2- t+4+12=4+t 2，解得 t = ，此时点 Q 的坐标为（-1, ）. 综上，当QBC 是直角三角形时，点 Q 坐标为（ -1， ） ， （-312 1， ）23 3. 解：（1）点 A（-1,0） ，C（0,2）在抛物线上， ，解得02mn 32n 抛物线解析式为 y=- x2+ x+2；1 （2）A

9、CD 是等腰三角形. 理由：抛物线 y=- x2+ x+2 的对称轴为直线 x = ，332 点 D（ ,0） ，3 A（-1,0） ， C（0,2） ， AC = ， AD =1+ = ,CD = ，5325235() AD=CD AC， ACD 是等腰三角形； （3）令抛物线 y=- x2+ x+2=0，得 x1=-1,x2=4,13 点 B 的坐标为（4,0） ，则 BC = ，5 取 BC 的中点为 S，则点 S 的坐标为（2,1） ； 设点 P（ ,t） ，32 则 PS = BC = ，即(2- )2+(t-1)2=5，153 解得 t1=1+ ,t2=1- ，91 存在这样的点

10、P，其坐标为（ ,1+ ）或（ ，1- ）.32193219 4. 解：（1）当 y=0 时，x 2-4x+3=0， x 1=1，x 2=3， 即：A(1，0),B(3，0); （2） 二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质： （）对称轴都为直线 x=2 或顶点的横坐标都为 2； （）都经过 A(1，0),B(3，0)两点； 存在实数 k，使ABP 为等边三角形. y=kx 2-4kx+3k=k（x -2） 2-k, 顶点 P（2，- k）. A(1，0)，B(3，0) ，AB = 2， 要使ABP 为等边三角形，必满足|-k|=3，k=3； 线段 EF 的长度不会发生变化. 直线

11、 y=8k 与抛物线 L2 交于点 E、F 两点， kx 2-4kx+3k=8k, k0, x 2-4x+3=8, x 1=-1，x 2=5， EF =x 2-x1=6， 线段 EF 的长度不会发生变化且 EF6. 类型二 与特殊四边形形状有关 针对演练 1. 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，点 D 在 x 轴的正半轴. （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B 、C、D 四点围 成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由 . 2. 如图，已知平面直角坐标系 xOy

12、中，O 是坐标原点，抛物线 y=- x2+bx+c（c0）的顶点 D 在第二象限，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 CAx 轴交抛物线于点 A，在 AC 延长线上取点 B，使 AC =2BC，连接 OA，OB ，BD 和 AD. （1）若点 A 的坐标为（-4,4） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求直线 BD 的解析式； （3）是否存在 b、c 使得四边形 AOBD 是矩形，若存在，直接写出 b 与 c 的关 系式；若不存在，说明理由. 3. 如图，已知直线 y = x+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 是线段 AB43 的中点，抛物线 y=ax2+bx+

13、c(a0)过 O、A 两点，且其顶点的纵坐标为 .43 (1)分别写出 A、B、C 三点的坐标； (2)求抛物线的函数解析式； (3)在抛物线上是否存在点 P，使得以 O、P 、B、C 为顶点的四边形是菱形？若 存在，求所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 4. （15 毕节 16 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A（-1，0） ， B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M.第 4 题图 （1）求抛物线的解析式; （2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求 CAB 的面积; （3）是否存在过 A、B 两点的抛物线，其顶点 P 关于

14、x 轴的对称点为 Q，使得 四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式; 若不存在，请说明理 由. 5. (15 黄冈 14 分)如图，在矩形 OABC 中，OA5，AB4，点 D 为边 AB 上一 点，将BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. （1）求 OE 的长； （2）求经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式； （3）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动，同 时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C

15、运动，当点 P 到 达点 B 时，两点同时停止运动.设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP =DQ； （4）若点 N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样 的点 M 与点 N，使得以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案 1. 解:（ 1）把 A(0,2),B(3,2)代入 y=x2+bx+c,得 ，解得 ，293cb3bc 抛物线的解析式为：y =x2-3x+2, 当 y =0 时，x 2-3x+2=0，解得 x1=1，x 2=2， 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (1,0)、(2,0). （2

16、）存在. 理由：A(0 ，2)，B(3， 2)， ABx 轴，且 AB =3, 要使 A、B 、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要 CD =AB =3. 当 C 点坐标为（1，0）时，D 坐标为（4，0） ； 当 C 点坐标为（2，0）时，D 坐标为（5，0）. 存在点 D，使以 A，B ， C，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，D 点的坐 标为（4，0）或（5，0）. 2. 解：（1）CAx 轴，点 A 的坐标为（-4,4 ） ， 点 C 的坐标为（0,4） ， 将点 A 与点 C 代入 y=-x2+bx+c 得 ，解得 ，164bc4b 抛物线的解析式为 y=-x2-4x+

17、4； （2）AC =2BC，BC =2， 点 B 的坐标为（2,4） ， 由抛物线 y=-x2-4x+4 得顶点 D 的坐标为（-2,8） ， 设直线 BD 的解析式为 y=kx+m， 则 ，解得 ，824km16k 直线 BD 的解析式为 y =-x+6. （3）存在，b 与 c 的关系式为 b=- c.2 【解法提示】点 C 的坐标为（0，c） ，抛物线的对称轴为 x = 0，即2b b0，ACx 轴， 点 A 的坐标为（b,c ） ， AC=2 BC， 点 B 的坐标为（ - ,c） ，2b 则 AB 的中点坐标为（ ,c） ，4 若四边形 AOBD 是矩形， 则需OD 的中点坐标为（

18、,c） ；OD= AB，b 由得点 D 的坐标为（ ,2c） ，4 由得( )2=( )2+(2c)2，整理得 2c2=b2，3b c0，b 0, b=- c.2 3. 解：（1）令 y=0，即- x+8=0，得 x=6,A 点坐标为（6，0） ，43 令 x=0,则 y=8，B 点坐标为（0，8） ， C 点坐标为（3，4）. （2）点 C 在抛物线的对称轴上， 抛物线顶点坐标为（3，- ）.43 依题意有 ,解得 , 036493cab27890abc 抛物线的函数解析式为 ；2879yx （3）存在. AOB90，A（6，0） 、B（0，8） ， ,2261BO C 是 AB 的中点，

19、OC = AB=BC=5,12 OB=8, OB OC，且 OBBC， 当以 O、P、B 、C 为顶点的四边形是菱形时，OB 是菱形的对角线， 连接 PC，则 OB 是 PC 的垂直平分线， 点 P 与点 C 关于 y 轴对称， C（ 3，4） ， P（-3，4） ， 把点 P（-3 ， 4）代入抛物线解析式 得：24879yx 当 x-3 时，y （-3） 2- （-3）4，789 点 P（-3 ， 4）在抛物线上 . 故在抛物线上存在点 P，使以 O、P、B、C 为顶点的四边形是菱形，且点 P 的 坐标是（-3 ，4）. 4. 解：（1）抛物线与 x 轴交于点 A（-1,0 ） ，B(3,

20、0), 抛物线的解析式为 y（ x+1）(x-3) x 2-2x-3；（4 分） （2）抛物线 yx 2-2x-3=(x-1)2-4， 点 M 的坐标为（1,-4 ）. 点 M 与点 M关于 x 轴对称， 点 M的坐标为（1,4） ，（6 分） 设直线 AM的解析式为 y=kx+m， 将点 A（-1,0 ） ，点 M(1，4)代入得， ，解得 ，04km2k 直线 AM的解析式为 y 2x+2，（8 分） 将直线 AM与抛物线 yx 2-2x-3 联立得 ，解得 ，23yx10251y 点 C 的坐标为（5,12） ，（10 分） 又AB =3-（ -1）4， S CAB = 41224. （

21、12 分）12 （3）四边形 APBQ 是正方形， PQ 垂直且平分 AB，且 PQ=AB， 设 PQ 与 x 轴交点为 N，则 PN = AB2,12 抛物线的对称轴为 x 1， 点 P 的坐标为（1,2）或（1，-2）. （13 分） 设过 A、B 两点的抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)， 将点（1,2）代入得 a =- ，12 此时抛物线解析式为 y =- (x+1)(x-3)=- x2+x + ；（15 分）13 将点（1，-2 ）代入得 a = ， 此时抛物线解析式为 .（16 分）21()32yxx 5. 解:(1)四边形 OABC 为矩形， BCOA5，OCAB4，C

22、OA90， 又CED 是BCD 沿直线 CD 折叠得到的，点 B 的对应点为 点 E， CEBC5， 在 Rt COE 中，OE 2CE 2-OC 2， OE ,24 OE 3. (2 分) （2）设 AD =m, 则 DE=BD=4-m.OE 3， AEOA- OE5-3 2. 在 Rt ADE 中，AD 2+AE 2=DE 2,即 m 2+22=(4-m)2, m ，32 D（- ，-5）. （4 分） 又C （-4，0） ，O（0，0） ， 设过 O，D，C 三点的抛物线的解析式为 y=ax(x+4)， -5 - a（- +4） ，32 a ，4 经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式为

23、 y= x2+ x. （6 分）4316 （3）由于运动时间为 t 秒，则 EQt，CP2t， 如解图，BCD 沿直线 CD 折叠得到ECD, BD DE, 若 DP DQ， 则 Rt PBD RtQED（HL）, PBQE,即 CB-CPEQ. 5-2tt, 解得 t .(8 分)53 （4） （）如解图，当 M 点在对称轴右侧，即为 M1 点， M1NCE 且 M1N =CE 时，四边形 ECNM 1 为平行四边形， 过 M 1 作 M 1F 垂直对称轴于点 F，则M 1FN COE， FM 1OC ，对称轴为直线 x-2 ， 此时，点 M 1 的横坐标为 2， 对于 y = x2+ x，

24、当 x2 时，y=16，436 点 M 1 的坐标为（2，16）. (10 分) ()如解图 ，当 M 点在对称轴左侧，即为 M 2， M 2NCE 且 M 2N =CE 时， 四边形 ECM 2N 为平行四边形，过 M 2 作 M 2F 垂直对称轴于点 F，则M 2FN COE， FM 2OC ， 对称轴直线 x-2， 此时，点 M 2 的横坐标为-6. 对于 y = x2+ x，当 x-6 时，y=16 ，4316 点 M 2 的坐标为（-6 ，16）. (12 分) （）如解图，当 M 点在抛物线的顶点上，即为 点 M 3，CN M 3E 且 CN = M 3E 时,四边形 EM 3CN

25、 为平行四边形,CE 与 NM 3 相 交于点 O，则 O为线段 CE 的中点， 又点 M 3 在对称轴上，则 M 3 的横坐标为-2， 对于 y = x2+ x，当 x-2 时，y=- ，41616 点 M 3 的坐标为（-2 ，- ）. 综上所述，当点 M 的坐标为（2，16） 、 （-6，16） 、 （-2，- ）时，以163 M,N,C,E 为顶点的四边形为平行四边形. (14 分) 类型三 与三角形相似有关 针对演练 1. （15 黔南州 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=- x2+bx+c16 过点 A(0,4)和 C(8,0),P(t,0)是 x 轴正半轴

26、上的一个动点，M 是线段 AP 的中点， 将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PB.过点 B 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点 D. (1)求 b、c 的值； (2)当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上； (3)是否存在 t，使得以 A、B 、D 为顶点的三角形与 AOP 相似？若存在，求此 时 t 的值；若不存在，请说明理由. 2. （15 常德模拟）已知抛物线 y =ax2-2x+c 与 x 轴交于 A（-1，0） 、B 两点， 与 y 轴交于点 C，对称轴为 x =1，顶点为 E，直线 y =- x+1 交 y 轴于点 D.13 （1）求抛物线的

27、解析式； （2）求证：BCEBOD； （3）点 P 是抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时，BDP 的面积等 于BOE 的面积？ 答案 解：（1）由抛物线 y =- x2+bx+c 过点 A（0，4）和 C（8，0）可得，16 ,解得 4680cbc5bc 故 b 的值为 ，c 的值为 4；（3 分）5 （2）AOP PEB90 ，OAP EPB90-APO， AOP PEB，则 ,2OAPEB AO =4,P（t,0）, PE =2,OE =OP +PE = t+2, 又DE =OA =4, 点 D 的坐标为（t+2,4）, 点 D 落在抛物线上时，有- (t+2)2+ (t+2)+

28、4=4,165 解得 t=3 或 t=-2, t0, t=3. 故当 t 为 3 时，点 D 落在抛物线上；（6 分） （3）存在，理由： 由（2）知AOP PEB， 则 ，2OPABE P(t,0),即 OPt. BE .2 当 0t8 时， 若POA ADB，则 ，OPADB 即 ,412tt 整理得 t 2+16=0, t 无解； 若POA BDA，则 ,即 ，POABD412t 解得 t1= -2+ 或 t2= -2- (舍去)；55 当 t8 时，如解图. 若POA ADB，则 ，POADB 即 ,412t 解得 t1= 8+ 或 t2= 8- (负值舍去)；55 若POA BDA，

29、同理可得 t 无解. 综上可知，当 t =-2+ 或 8+ 时，以 A、B 、D 为顶点的三角形与AOP4 相似. （12 分） 2. 解：（1）由抛物线 y=ax2-2x+c 得，对称轴 ,a =1，21bx 将点 A（-1 ， 0）及 a1，代入 y=ax2-2x+c 中，得 1+2+c=0，c =-3， 抛物线的解析式：y =x2-2x-3； （2）由抛物线的解析式 y =x2-2x-3=(x-1)2-4 =(x+1)(x-3),得点 C（0，-3） 、 B（3，0） 、E（1，-4 ）. 易知点 D（0，1） ，则有： OD 1，OB 3，BD ，CE ，BC ，BE ，102325

30、，ODBCE BCEBOD ； （3）S BOE = BO|yE|= 346，12 S BDP BDh=SBOE 6，即 h = ,120 在 y 轴上取点 M，过点 M 作 MN 1BD 于 N 1，使得 MN 1=h= ,20 在 Rt MN 1D 中，sin MDN 1sinBDO ，3OBD 且 MN 1 ；20 则 MD =4;1sinMND 点 M（0，-3 ）或（0，5）. 过点 M 作直线 lMN 2，如解图， 则直线 l:y =- x-3 或 y=- x+5.13 联立抛物线的解析式有： 或 ,2 13yx2153yx 解得： , 或 ,103xy 25935681y4685

31、31xy 当点 P 的坐标为（ 0，-3） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （3296 ， ）时，BDP 的面积等于BOE 的面积.53168531 类型四 与图形面积函数关系式、最值有关 针对演练 1.（15 安顺 26 题 14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+ 与直线 AB 交于点 A(-1,0),52 B(4,52).点 D 是抛物线 A,B 两点间部分上的一个动点（不与点 A,B 重合） ，直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB 于点 C，连接 AD,BD. (1)求抛物线的解析式； （2）设点 D 的横坐标为 m，ADB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式， 并

32、求出当 S 取最大值时的点 C 的坐标. 2. （15 岳阳模拟）如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（- 3，0）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最 大？若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由 3. （15 永州模拟）如图，已知平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 的 对称轴为

33、x=0，点 A（m ，6） ，B（n，1）为两动点，其中 0m3，连接 OA，OB，OAOB （1）求证：mn=-6； （2）当 SAOB =10 时，抛物线经过 A，B 两点且以 y 轴为对称轴，求抛物线对 应的二次函数的关系式； （3）在（2）的条件下，设直线 AB 交 y 轴于点 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，问是否存在直线 l，使 SPOF S QOF =13？若存在，求出直线 l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由. 答案 1.解：（1）由题意得 ，（2 分） 502164ab 解得 ，（4 分） 12ab .（6 分）215yx (2)设直线 AB 为 ，

34、则有 ，ykxb0542kb 解得 ，（7 12kb 分） 直线 AB 的解析式为 .（8 分）12yx 则 ，（9 分）215(,),()DmCm 2151()()2CDm .（10 分）3 (1)(4)ACDBSCDm 2153()m . （11 分）2154 0,5 抛物线开口向下 故当 m 时，S 有最大值. （12 分）32 当 m 时， ,131524 点 C（ ， ）.54 当 S 取最大值时的点 C 坐标为（ ， ）.（14 分） 2. 解：（1）将 A（1，0） ，B（-3，0）代入 y=-x2+bx+c 中， 得 , ,93bc23b 抛物线解析式为:y=-x 2-2x+3

35、； （2）存在. 理由如下：由题意知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 x=-1 对称， 直线 BC 与 x=-1 的交点即为 Q 点，此时AQC 的周长最 小， y-x 2-2x+3, C 的坐标为（0，3） ， 直线 BC 的解析式为 y=x+3. 将 x=-1 代入 y=x+3 中，解得 y=2, Q(-1,2). （3）存在. 理由如下： B(-3,0),C(0,3) ， 水平宽 a =xC-xB =0-(-3)=3. 设点 P（x ,-x2-2x+3）(-3x0)， 过 P 点作 PEx 轴交 x 轴于点 E，交 BC 于点 F，则 F 点坐标为（x，x +3） ， 铅垂高 h=yP-

36、yF-x 2-2x+3-(x+3)=-x2-3x， S = ah= (-x2-3x)=- (x2+3x+ - )1394 =- （x+ ） 2+ ，78 当 x=- 时，BPC 的面积最大，最大为 ，278 当 x=- 时，-x 2-2x+3 = ,3154 点 P 的坐标为（- ， ）.3 3. （1）证明：作 BCx 轴于点 C，ADx 轴于点 D， A，B 点坐标分别为（m,6）,(n,1), BC=1, OC=-n,OD=m,AD=6, 又 OA OB， 易证CBODOA， ,CBODA ，16nm mn=-6. （2）解：由（1）知，CBODOA， ,即 OAmBO，1OBCAD 又

37、S AOB 10， OBOA10，即 OBOA20，32 mBO 2=20, 又 OB 2=BC 2+OC 2=n2+1, m(n 2+1)=20, 又mn=-6, m=2,n=-3, A 坐标为（2，6） ，B 坐标为（-3，1） ， 易得抛物线解析式为 y=-x2+10. (3)解：存在. 理由如下： 直线 AB 的解析式为 y=x+4，且与 y 轴交于点 F（0，4） ， OF 4， 假设存在直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，使 SPOF SQOF =13,如解图所示， 则有 PFFQ =13，作 PMy 轴于点 M，QN y 轴 于点 N， 设 P 坐标为（x ,-x2+10） ，P

38、M - x,OM -x 2+10， 则 FM =OM-OF=(-x2+10)-4=-x2+6, 易证PMF QNF, ,13MFQN QN 3PM =-3x,NF =3MF =-3 x2+18, ON =NF OF =-3x 2+18-4=-3x2+14, Q 点坐标为（-3x ,3x2-14）, Q 点在抛物线 y=-x2+10 上， 3x 2-14=-9x2+10, 解得：x 1= ,x2=- , P 1（ ,8）,Q 1(-3 ,-8), P 2(- ,8),Q 2(3 ,-8) 易得直线 PQ 的函数关系式为 y=2 x+4 或 y=-2 x+4.22 类型五 与线段、周长最值有关 针

39、对演练 1. 如图 ,已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 O、B 两点,其中 O 为原点,且 OB=6, 抛物线的顶点为 A,若点 M(1, )是抛物线上一点 09 (1)求抛物线的解析式; (2)若 N 为抛物线对称轴上一个动点,当 NO +NM 的值最小时 ,求点 N 的坐标. 2. （15 枣庄 10 分）如图，直线 yx+2 与抛物线 yax 2+bx+6（a0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m）两点，点 P 是线段 AB 上异于 A，B 的动点，过点 P125 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C. （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点 P，使线段 P

40、C 的长有最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由； （3）当PAC 为直角三角形时，求点 P 的坐标. 3. （15 沈阳 14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与243yx x 轴交于 B、C 两点( 点 B 在点 C 的左侧) ，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D. (1)填空：点 A 的坐标为(_，_)，点 B 的坐标为 (_，_), 点 C 的坐标为 (_， _)，点 D 的坐标为 (_，_); (2)点 P 是线段 BC 上的动点( 点 P 不与点 B、C 重合 ). 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE=PC，求点 E 的坐标； 在的条件

41、下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F 到 EA 和 ED 的距离相等，请 直接写出线段 EF 的长； 若点 Q 是线段 AB 上的动点 (点 Q 不与点 A、B 重合)，点 R 是线段 AC 上的动 点(点 R 不与点 A、C 重合)，请直接写出PQR 周长的最小值. 温馨提示：可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答. 答案 解：(1)由对称性得抛物线与 x 轴的交点为 O(0，0) ，B(6，0)， 设抛物线的解析式为 y=a(x-0)(x-6)， M(1， )是抛物线上一点，209 =a1(-5)，a=- ，49 抛物线的解析式为 y=- x2+ x.83 (2)抛物线对称轴为：x =

42、3，点 O、B 关于对称轴对称， 连接 MB 交对称轴于 N，如解图，这时 NO +NM 的值最小. 设 MB 的解析式为： y=k1x+b1， 将 B（6，0） ，M (1， )代入 MB 的解析式中，209 得 ，解得 ， 1062=9kb14-983k 易得直线 MB 的解析式为 ，4-9yx 当 x=3 时，y = ，43 N(3， ). 2.解：（1）B(4, m)在直线 y=x+2 上， m=4+2=6, B(4,6)， 点 A( , ),B(4,6)在抛物线 y=ax2+bx+6 上，125 ，解得 ，2)64ba 8ab 抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6. （3 分） (

43、2）设动点 P 的坐标为（ n,n+2） ，则点 C 的坐标为 (n，2n 2-8n+6)， PC =(n+2)-(2 n2-8n+6) =-2n2+9n-4 =-2(n- )2+ .948 当 n= 时，线段 PC 取得最大值 .498 存在这样的点 P,使线段 PC 的长有最大值，PC 最大值为 .（6498 分） (3)如解图，显然， APC 90， 当PAC=90时，直线 AB 的解析式为 y=x+2， 设直线 AC 的解析式为 y=-x+b, 把 A( ， )代入得 - +b，解得 b=3.12521 直线 AC 的解析式为 y=-x+3. 由-x+3=2 x2-8x+6, 解得 x

44、 = 3 或 x = （舍去） ，1 当 x=3 时，x+2=3+2=5,此时，点 P 坐标为 P 1(3,5)；（8 分） 当PCA=90时，如解图 ，由 A( , )知，点 C 的纵坐标25 为 y= .52 由 2x2-8x+6= ,得 x1 （舍去） ，x 2= ,27 当 x= 时，x+2= +2= .7 此时，点 P 坐标为 P 2( , ).7 综上所述，满足条件的点 P 有两个,分别为 P 1(3,5)，P 2（ ， ）. （10 分）71 3. 解：（1）A（0,2）,B（-3,0）,C（1,0） ，D（-1， ）83 【解法提示】抛物线 与 x 轴交于 B、C 两点，243

45、yx ，解得 x1=-3,x2 =1,点 B 在点 C 的左侧，B(-3，0)，C(1，0)，2403x 又抛物线与 y 轴交于点 A，当 x=0 时，y=2 ，A (0，2). ，且当 x=-1 时， .顶点 D 的12()3ba 248(1)()33 坐标为（-1 ， ）.8 （2）设点 P 的坐标为（n,0） ，-3n1. EPx 轴，点 E 在抛物线上， 点 E 的坐标为（n, ） ，243 又PE =PC， ，2413nn n 1=- ,n2=1(不符合题意，舍去)， 当 n=- 时， ，32245()()23 E(- , )，（7 分）5 或 . (10 分)32 【解法提示】如解

46、图，设直线 DE 与 x 轴交于 M，与 y 轴交于 N，直线 EA 与 x 轴交于点 K，根据 E、D 的坐标求得直线 ED 的解析式为 y= x+3，根据13 E、A 的坐标求得直线 EA 的解析式为 y=- x+2，MEK 是以 MK 为底边的等13 腰三角形， AEN 是以 AN 为底边的等腰三角形，到 EA 和 ED 的距离相等的点 F 在顶角 的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF 的长是 E 点到坐标轴的距离， EF = 或 .325 . (14 分)3265 【解法提示】根据题意得：当 P 与 O 重合时，周长最小，如解图，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于点 Q，交 AC 于点 R，此时PQR 的周长PQ +QR +PR =EF，A (0，2)，B(-3，0)，C(1，0)， AB = ，AC = ，S AOB = OEAB 23121512 = OAOB，OE = ，易得OEM ABO， ，即12123OMEAB ，OM = ，EM = ，E(- ， )，同理可求 F( ，13OME41362413685 )， PQR 周长的最小值为 .45 228()()536F