奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式.pdf

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1、 1 奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式 1、 1001 abcabc abc = 2、 10101 ababab ab = 3、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即 b a 1 形式的， 这里我们把较小的 数写在前面，即 a b ，那么有: ) 1 1 ( 1 1 b a a b b a = 4、对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： + + + = + + ) 2 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 n n n n n n n + + + + + = + + + ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1

2、 ( 1 3 1 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 n n n n n n n n n n 5 、 a b b a b b a a b a b a 1 1 + = + = + 6 、 a b b a b a b b a a b a b a + = + = + 2 2 2 2 7、 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 ) 1 ( . 4 3 3 2 2 1 + = + + + + n n n n n 8、 ) 1 ( ) 1 )( 2 ( 4 1 ) 1 ( ) 2 ( . 5 4 3 4 3 2 3 2 1 + = + + + + n n n n n n n 9、 ) 1 ( ) 1 ( 3

3、 1 ) 2 )( 1 ( 3 1 ) 1 ( + + + = + n n n n n n n n 10、 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 4 1 ) 3 )( 2 )( 1 ( 4 1 ) 2 )( 1 ( + + + + + = + + n n n n n n n n n n n 11、 ! )! 1 ( ! n n n n + = 2 12. 求和： 1 ) 1 ( 1 . 5 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + = + + + + + + = n n n n S n 证： 1 1 1 1 ) 1 1 1 ( ) 5 1 4 1 ( ) 4 1 3 1 ( ) 3 1 2

4、1 ( ) 2 1 1 ( + = + = + + + + + + = n n n n n S n 13. 求和： 1 2 ) 1 2 )( 1 2 ( 1 9 7 1 7 5 1 5 3 1 3 1 1 + = + + + + + + = n n n n S n 证： 1 2 ) 1 2 1 1 ( 2 1 ) 1 2 1 1 2 1 ( 2 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + = + = + + + + + = n n n n n S n 14. 求和： 1 3 ) 1 3 )( 2 3 ( 1 10 7 1 7 4 1 4

5、1 1 + = + + + + + = n n n n S n 证： ) 1 3 1 2 3 1 ( 3 1 ) 10 1 7 1 ( 3 1 ) 7 1 4 1 ( 3 1 ) 4 1 1 ( 3 1 + + + + + = n n S n 1 3 ) 1 3 1 1 ( 3 1 + = + = n n n 15. 求和： ) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 ) 2 ( 1 6 4 1 5 3 1 4 2 1 3 1 1 + + + = + + + + + + = n n n n S n 证： ) 1 1 1 1 ( 2 1 ) 6 1 4 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2

6、 1 ) 4 1 2 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + + + + + + = n n S n ) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 ) 2 1 1 ( 2 1 + + + = + + n n n n 16.求和： + + = + + + + + + = ) 2 )( 1 ( 1 2 1 2 1 ) 2 )( 1 ( 1 5 4 3 1 4 3 2 1 3 2 1 1 n n n n n S n 3 证：因为 ) 2 )( 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 2 )( 1 ( 1 + + + = + + n n n n n n n ， ) 2 )( 1 ( 1 2 1

7、2 1 ) 2 )( 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 4 3 1 3 2 1 ( 2 1 ) 3 2 1 2 1 1 ( 2 1 + + = + + + + + + = n n n n n n S n 17、 2 ) 1 ( 3 2 1 + = + + n n n 18 、 2 1 2 3 1 1 3 2 1 n n n n = + + + + + + + + + + ） （ ） （ 19 、 2 1 2 7 5 3 1 n n = + + + + ） （ 20 、 6 ) 1 2 )( 1 ( 2 1 2 2 2 + + = + + + n n n n 21 、 3 ) 1 4 (

8、3 ) 1 2 )( 1 2 ( 1 2 5 3 1 2 2 2 2 2 = + = + + + + n n n n n n ） （ 22 、 ( ) ( ) 4 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 3 + = + + = + + + n n n n 23、 ) )( ( 2 2 b a b a b a + = 24、 2 2 2 2 ) ( b ab a b a + = 【典型例题】 例 1. 计算： 1 1985 1986 1 1986 1987 1 1987 1988 1 1994 1995 + + + + + + + 1 1995 1996 1 1996 1997 1 1997 分

9、析与解答： 1 1985 1986 1 1985 1 1986 1 1986 1987 1 1986 1 1987 1 1987 1988 1 1987 1 1988 1 1994 1995 1 1994 1 1995 = = = = 4 1 1995 1996 1 1995 1 1996 1 1996 1997 1 1996 1 1997 = = 上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这 一来问题解起来就十分方便了。 1 1985 1986 1 1986 1987 1 1987 1988 1 1995 1996 1 1996 1997 1 1997

10、+ + + + + + = + + + + + + = 1 1985 1 1986 1 1986 1 1987 1 1987 1 1988 1 1995 1 1996 1 1996 1 1997 1 1997 1 1985 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例 2. 计算： 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 100 + + + + + + + + + + + 公式的变式 1 1 2 2 1 + + + = n n n ( ) 当 n 分别取 1，2，3，100 时，就有 1 1

11、 2 1 2 1 1 2 2 2 3 1 1 2 3 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 5 1 1 2 100 2 100 101 = + = + + = + + + = + + + = 5 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 100 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 99 100 2 100 101 2 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 99 100 1 100 101 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 99 1 100 1 100 1 101 2 1 1 101 + + + + + + + + + + = + + + + + = + + +

12、+ + = + + + + + = ( ) ( ) ( ) = = = 2 100 101 200 101 1 99 101 例 3. 设符号（ ）、代表不同的自然数，问算式 1 6 1 1 = + ( ) 中这两个 符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解： 减法是加法的逆运算， 1 6 1 1 = + ( ) 就变成 1 6 1 1 = ( ) ，与前 面提到的等式 1 1 1 1 1 n n n n + = + ( ) 相联系，便可找到一组解，即 1 6 1 7 1 42 = + 另外一种方法 设 n x y 、 、 都是自然数，且 x y ，当 1 1 1 n x y = + 时，利用

13、上面的变加为减的想法， 得算式 x n nx y = 1 。 这里 1 y 是个单位分数，所以 x n 一定大于零，假定 x n t = 0 ，则 x n t = + ，代 入上式得 t n n t y ( ) + = 1 ，即 y n t n = + 2 。 又因为 y 是 自然数，所以 t 一定能整除 n 2 ，即 t 是 n 2 的约数，有 n 个 t 就有 n 个 y ， 这一来我们便得到一个比 1 1 1 1 1 n n n n + = + ( ) 更广泛的等式，即当 x n t = + ， y n t n = + 2 ， t 是 n 2 的约数时，一定有 1 1 1 n x y =

14、 + ，即 1 1 n n t t n n t + = + ( ) 6 上面指出当 x n t = + ， y n t n = + 2 ， t 是 n 2 的约数时，一定有 1 1 1 n x y = + ，这里 n n = = 6 36 2 , ，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。 当 t = 1 时， x = 7 ， y = 42 当 t = 2 时， x = 8 ， y = 24 当 t = 3 时， x = 9 ， y = 18 当 t = 4 时， x = 10 ， y = 15 当 t = 6 时， x = 12 ， y = 10 当 t = 9 时，

15、 x = 15 ， y = 10 当 t = 12 时， x = 18 ， y = 9 当 t = 18 时， x = 24 ， y = 8 当 t = 36 时， x = 42 ， y = 7 故（ ）和所代表的两数和分别为 49，32，27，25。 【模拟试题】（答题时间：20 分钟） 二.尝试体验： 1. 计算： 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 98 99 1 99 100 + + + + + 2. 计算： 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + + + + + + + + +

16、 + + + + 3. 已知 x y 、 是互不相等的自然数，当 1 18 1 1 = + x y 时，求 x y + 。 【试题答案】 1. 计算： 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 98 99 1 99 100 + + + + + = + + + + + = = 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 98 1 99 1 99 1 100 1 1 100 99 100 2. 计算： 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + + + + + + + + + + + + + 7

17、= + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + = = = 2 6 2 12 2 20 2 30 2 42 2 56 2 72 2 90 2 110 2 132 2 156 2 182 2 210 2 240 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 7 8 1 8 9 1 9 10 1 10 11 1 11 12 1 12 13 1 13 14 1 14 15 1 15 16 2 1 2 1 16 1 1 8 7 8 ( ) ( ) 3. 已知 x y 、 是互不相等的自然数，当 1 18 1 1 =

18、+ x y 时，求 x y + 。 x y + 的值为：75 ，81，96，121，147，200，361。 因为 18 的约数有 1，2，3，6，9，18，共 6 个，所以有 1 18 1 1 18 1 1 1 36 1 36 = + + = + ( ) 1 18 1 2 18 1 2 1 54 1 27 54 27 81 1 18 1 3 18 1 3 1 72 1 24 72 24 96 = + + = + + = = + + = + + = ( ) ( ) 1 18 1 6 18 1 6 1 126 1 21 21 126 147 = + + = + + = ( ) 1 18 1 9

19、18 1 9 1 180 1 20 20 180 200 1 18 1 18 18 1 18 1 19 1 342 19 342 361 = + + = + + = = + + = + + = ( ) ( ) 1 18 2 3 18 2 3 1 45 1 30 30 45 75 1 18 2 9 18 2 9 1 99 1 22 22 99 121 = + + = + + = = + + = + + = ( ) ( ) 还有别的解法。 裂项法【典型例题】 8 例 1. 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 1993 1995 1 1995 1997 + + + + + 分析与解： 此题如按异

20、分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。 下面我们用 1 1 n n t t n n t + = + ( ) ，现在给 n 、 t 一些具体的值，看看有什么结果。 当 n t = = 1 2 , 时，有 2 1 3 1 1 1 3 = 当 n t = = 3 2 , 时，有 2 3 5 1 3 1 5 = 当 n t = = 5 2 , 时，有 2 5 7 1 5 1 7 = 当 n t = = 1993 2 , 时，有 2 1993 1995 1 1993 1 1995 = 当 n t = = 1995 2 , 时，有 2 1995 1997 1 1995 1 1997 = 上面

21、这 998 个等式左边的分数， 其分母分别与题目中各加数的分母一样， 只是分子是 2 不是 1 ，但是很容易将题目中各数的分子变为 2 ，例如 1 1 3 1 2 2 1 3 1 3 5 1 2 2 3 5 = = , ，这样采用裂项法也能较快求出结果来。 因为 1 1 3 1 2 2 1 3 1 3 5 1 2 2 3 5 = = , ， 1 1993 1995 1 2 2 1993 1995 = ， 1 1995 1997 1 2 2 1995 1997 = 所以 1 1 3 1 3 5 1 1993 1995 1 1995 1997 + + + + = + + + + = = = 1 2

22、 1 1 3 1 3 1 5 1 1993 1 1995 1 1995 1 1997 1 2 1 1 1997 1 2 1996 1997 998 1997 ( ) ( ) 例 2. 1 1 2 3 1 2 3 4 1 98 99 100 + + + 因为 1 1 2 1 2 3 3 1 1 2 3 2 1 2 3 = = 所以 1 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 = ( ) 同样可得 1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 3 4 = ( ) 9 1 3 4 5 1 2 1 3 4 1 4 5 = ( ) 一般地，因为 1 1 1 1 2 n n n n ( ) ( )( ) +

23、 + + = + + + = + + n n n n n n n n 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 n n n n n n n ( )( ) ( ) ( )( ) + + = + + + 这里 n 是任意一个自然数。 利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例 2 的结果。 1 1 2 3 1 2 3 4 1 98 99 100 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 4 1 98 99 1 99 100 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 4 1 98 99 1 99 100 1 2 1 1 2 1 99

24、 100 + + + = + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 1 2 4950 1 9900 1 2 4949 9900 4949 19800 例 3. 计算： 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 200 + + + + + + + + + + + + + + + 分析与解： 10 1 2 3 2 2 3 2 2 2 5 1 2 3 4 2 2 4 3 2 3 6 1 2 3 4 5 2 2 5 4 2 4 7 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 + = + = + +

25、= + = + + + = + = + + + + = + = + + = + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n n n n n 而 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 n n n n n n n n + = + + = + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 即 1 1 2 1 3 1 1 1 2 ( )( ) ( ) n n n n + = + 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。 1 2 1 2 3 1 2 3 4 200 1 2 2 2 5 2 3 6 2 199 202 1 2 2 3 3 2 5 3

26、 3 6 3 199 202 1 2 2 3 1 2 1 5 1 3 1 6 1 4 1 7 1 5 1 8 1 7 1 10 1 199 1 202 + + + + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + + + + ( ) ( ) = + + + + + + + + + + 1 2 2 3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 199 1 5 1 6 1 7 1 202 ( ) ( ) 1 2 2 3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 199 1 5 1 6 1 200 1 201 1 202 1 2 2 3 1 2 1 3 1 4 1 200 1 20

27、1 1 202 1 2 2 3 99 200 66 201 99 404 1 2 33 100 44 201 33 202 1 430933 2030100 + + + + + + + + + + + = + + + = + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 【模拟试题】（答题时间：15 分钟） 二. 尝试体验 1. 求和： 1 3 1 3 4 1 3 4 5 1 3 4 5 6 1 3 4 5 20 + + + + + + + + + + + + + + + 2. 求和：1 1 10 3 1 40 5 1 88 7 1 154 9 1 238 11 1 340 + + + + + 11 3. 求和： 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 17 18 19 20 + + + 12 【试题答案】 1. 求和： 1 3 1 3 4 1 3 4 5 1 3 4 5 6 1 3 4 5 20 + + + + + + + + + + + + + + + 687836 841225 2. 求和：1 1 10 3 1 40 5 1 88 7 1 154 9 1 238 11 1 340 + + + + + 36 3 20 3. 求和： 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 17 18 19 20 + + + 1139 20520