坐标表示的焦半径公式

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1、圆锥曲线知识提要一 坐标表示的焦半径公式1、 椭圆（一类） PF1=r1=x+c2+y2 由y2=b2-b2x2a2代入整理得r1=cax2+2cx+a2=a+ex2=a+ex ,同理，PF2=r2=x-c2+y2=a-ex可以假想点P在y轴右边，r1r2且x0 帮助，显然总有r1+r2=2a符合椭圆定义。公式常见应用：（1） 椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2） 椭圆上三点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，若x1 ,x2 ,x3成等差数列，则到同一个焦点的焦半径rA ,rB ,rC 也成等差数列。（3） 定义直线 x=a2c 为椭圆x2a2+y2b2=1 的左右准线。由

2、焦半径公式，椭圆上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比r1d1=r2d2=e总等于离心率e. 2. 双曲线x2a2-y2b2=1PF1=r1=x+c2+y2 由y2=b2x2a2-b2代入整理得r1=cax2+2cx+a2=a+ex2=a+ex ,由双曲线上点xa ,若点P在右支上，r1=ex+a . 同理，r2=ex-a .总有r1-r2=2a .若点P在左支上，r1=ex-a . 同理，r2=ex+a .总有r2-r1=2a .公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，有x1 ,x2 ,x3成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径r

3、A ,rB ,rC 也成等差数列。（2）定义直线 x=a2c 为双曲线x2a2-y2b2=1 的左右准线。由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比r1d1=r2d2=e总等于离心率e. 3.抛物线 y2=2PxMF=r=x+p2 公式的应用：抛物线上三点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，若x1+x3=2x2，则rA+rC=2rB 。二 圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、 统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于常数e的点轨迹。若0e1，则轨迹为双曲线。2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M

4、的方向角。方向角范围0,2将焦准距离统一表示为P。对于椭圆，双曲线P=b2c (要求记忆)（2）公式：r=eP1-ecos e:离心率， 对于椭圆，双曲线，eP=b2a .（3）公式的应用：焦点弦长公式 MN=rM+rN=eP1-ecos-eP1-ecos(+)=2eP1-e2cos2 说明：（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：（0，2.（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。（3）对于双曲线当1-e2cos2=0时， 所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。 若 较小，使1-e2cos20 存在相交弦Ax1,y1

5、 ,Bx2,y2 , AB=x1-x22-y1-y22=1+K2x1-x2在b2+a2K2x2+2aKdx+a2d2-a2b2=0中，由求根公式x1-x2=b2+a2K2 ， AB=b2+a2K21+K2在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。四 焦点三角形问题对于椭圆和双曲线存在焦点三角形对于焦点三角形问题，应注意两条：一是用定义：椭圆：r1+r2=2a ；双曲线：r1-r2=2a 。二是用正余弦

6、定理：举例：已知椭圆x2a2+y2b2=1 ，(ab0) ，点P位其上一点，点P对F1,F2张角（即F1PF2=） ，试求SPF1F2的 表示式。解：由余弦定理：4c2=r12+ r22-2r1r2cos=r1+r22-2r1r2-2r1r2cos=4a2-2r1r21+cos=4a2-2r1r22cos22 移项，消去4：r1r2cos22=a2-c2=b2又 SPF1F2=12r1r2sin=r1r2sin2cos2=r1r2cos22sin2cos2=b2说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。请你推导右面双曲线的图，若F1PF2=，求SPF1F2 。五 其他有关知识点：1. 椭

7、圆中的基本RtOBF:BF=a,BO=b,FO=c .令BFO=,则cos=ca=e. 可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行相互转换。比如：由e=32 可推知=300，a=2b .椭圆的方程便可以假设为：x24b2+y2b2=12. 双曲线中的基本矩形： x2a2-y2b2=1称为是相互共轭两条双曲线，作x=a ,y=b ,四条直线构成一个矩形，称作是这两条双曲线的基本矩形（如图）：基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。基本矩形中RtOAD是x2a2-y2b2=1的一个基本Rt：OA=a ,AD=b, OD=c .令DOA=,则就是其一条渐近线的倾斜角。设斜率K，则tan=K .

8、由e=ca 知cos=ac=1e 或e=1cos可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。 对于 x2a2-y2b2=-1，则RtOBD是它的基本Rt：OB=实半轴b，BD=虚半轴a,OD=c . 令BOD=*，则e*=1cos* 。与*互余，在共轭双曲线之间e与e*有关系1e2+1e*2=1.3. 双曲线x2a2-y2b2=m , (m0)渐近线 m0为一类双曲线，m0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：x2a2=y2b2 y=bax 。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。例：已知双曲线以坐标轴为

9、对称轴，一条渐近线的方程为y=-34x，且过点（6，-4）。试求该双曲线方程。由y=-34x 可得3x+4y=0及3x-4y=0.于是9x2-16y2=K 。代入6,-4求K得9x268-16y268=1 .4. 有关抛物线的知识点：（1）四类抛物线：y2=2Px ,x2=2Py 可以简化为两大类：y2=Kx ,x2=Ky .焦点K4,0 , 0，K4 ,准线x=-K4 , y=-K4 。（2）焦点弦端点坐标公式如图，Ax1,y1 ,Bx2,y2 为y2=2Px 的焦点弦，则有： y Ax1,y1 x1x2=P24 y1y2=-P2 练习题：由焦点弦的一个端点B做准线x=-P2 的垂线，垂足E

10、。证明：A,O,E三点共线。 E Bx2,y2上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。 y2=2Px x=-P2（3）抛物线上两点连线斜率公式对于一类抛物线 y2=Kx 上两点Ax1,y1 ,Bx2,y2，KAB=2Py1+y2关于圆锥曲线的切线1. 椭圆1） 若点Px1,y1为椭圆x2a2+y2b2=1上一点，则椭圆过点P的切线方程为x1xa2+y1yb2=1同一法证明：由 x12a2+y12b2=1 （1） 知点Px1,y1为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有一个公共点Qx2,y2 ， 则 x22a2+y22b2=1 （2） x1x2a2+y1y2b2=1 （3）（1）+（2）2（3）：

11、x12a2+y12b2+x22a2+y22b2-2 x1x2a2+y1y2b2=1+1-2=0即x1-x22a2+y1-y22b2=0，即P=Q ，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。2） 椭圆切线的一般表示点Pacos,bsin为椭圆x2a2+y2b2=1上点的一般表示，代入上面的切点公式得xcosa+ysinb=1 . 此为椭圆切线的一般表示。练习题：求椭圆x29+y216=1上点与直线距离的最大值。设椭圆切线xcos4+ysin3=1 ，令其斜率 K=-34cossin=-34 得=4，54。得dmax=62 3） 切点弦直线点Px0,y0为椭圆x2a2+y2b2=1 外一点，由P可向椭

12、圆引两条切线PA，PB，切点A,B。直线AB称为切点弦直线。容易证明点Px0,y0的切点弦直线方程为x0xa2+y0yb2=1 。设切点Ax1,y1 ,Bx2,y2 ，则 切线PA: x1xa2+y1yb2=1，由切线过Px0,y0，则x1x0a2+y1y0b2=1 。 （1）切线PB: x2xa2+y2yb2=1，由切线过Px0,y0，则x2x0a2+y2y0b2=1 。 （2）由（1），（2），直线x0xa2+y0yb2=1 过 Ax1,y1 ,Bx2,y2。故为切点弦直线。2. 双曲线（1） 若点Px1,y1为双曲线x2a2-y2b2=1上一点，则双曲线过点P的切线方程为x1xa2-y1

13、yb2=1 。（2）若点Px0,y0为双曲线拱形外一点，则由P可引双曲线的两条切线PA，PB，切点A,B，切点弦直线AB方程为 x0xa2-y0yb2=1。3. 抛物线（1）若点Px1,y1为抛物线y2=2Px上一点，则抛物线y2=2Px在点Px1,y1处的切线方程为 y1y=Px1+x . 完全类似于椭圆时情形，用同一方法进行证明。若抛物线方程为y2=Kx，其上一点Px1,y1，则点P处切线方程为 y1y=12Kx1+x 。若抛物线方程为x2=Ky，其上一点Px1,y1，则点P处切线方程为 x1x=12Ky1+y（2）若点Px0,y0为抛物线y2=2Px拱形外一点，则由P可引抛物线y2=2P

14、x的两条切线PA，PB，切点A,B，则切点弦AB所在直线方程为 y1y=Px1+x。 练习题：（08山东理） yM为y=-2P 上任意一点，MA,MB为 x2=2Py 的两条切线。求证：A,M,B三点横坐标成等差。证明：设Ax1,y1，由求导公式得过点A的抛物线切线为 x1x=Py1+y,同理点Bx2,y2 处切线为x2x=Py2+y 若这两条直线是由点Mx0,-2P所引的两切线， Ax1x0=Py1-2P ,x2x0=Py2-2P .这一结果表明直线 Bx0x=Py-2P过点Ax1,y1，点Bx2,y2 ，故直线 x0x=Py-2P 即为直线AB x Mx0,-2P y=-2P3. 圆1）

15、若点Px1,y1为圆 x2+y2=r2 上一点，则方程x1x+y1y=r2 为圆在点P处的切线。2） 若点Px1,y1为圆 x-a2+y-b2=r2 上一点，则方程 x1-ax-a+y1-by-b=r2 为圆在点P处的切线。3） 若点Px0,y0为圆 x2+y2=r2或x-a2+y-b2=r2 上一点，则方程x0x+y0y=r2或x1-ax-a+y1-by-b=r2为切点弦直线。练习题：1. 由P（3,4）向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点A,B，求PAB外接圆方程。解：由P（3,4）向圆x2+y2=1所引切点弦直线方程为3x+4y-1=0 方程x2+y2-1+3x+4y-1=0 为

16、过A,B两点的圆系方程，代入P（3,4）， 24+24=0，=-1 ，外接圆方程为x2+y2-3x-4y=0 .2.（09山东）圆x2+y2=t2 在椭圆x28+y24=1内部，求t使圆x2+y2=t2上任意一点处的切线与椭圆交于点A,B两点，都有OAOB。解：设x1,y1为圆x2+y2=t2上一点，此点切线为x0x+y0y=t2.取y=t2y1-x1y1x代入椭圆x2+2y2-8 =0得2x12+y12y12x2-4t2x1y12x+2t4-8y12y12=0，得x1x2=2t4-8y122x12+y12 .再将切线x0x+y0y=t2 写成x=t2x1-y1x1y ，代入椭圆得2x12+y

17、12x12y2-2t2y1x12y+t4-8x122x12+y12=0，得y1y2=2t4-8x122x12+y12 .由OAOB知x1x2+y1y2=0，即3t4-8x12+y12=0得t=83 .5.有关切点弦直线的统一结论：在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。1） 椭圆x2a2+y2b2=1，左准线x=-a2c 上一点-a2c，y0的切点弦直线-a2cxa2+y0b2y=1 . 代入左焦点F1-c,0 ,方程成立。 对于双曲线，抛物线同样证明。2） 抛物线y2=2Px准线上一点的切点弦直线，不仅过焦点，且两条切线垂直。可以直接证明：设过点M(-P2,y0)的直线y-y0=Kx+P2

18、 代入y2=2Px ，得一代入后方程：（请自己写结果） 由这一方程的=0得一斜率为K的二次关系式，视为K的一元二次方程。由韦达定理K1K2=-1.间接证明：先证切点弦直线必过焦点，再由焦点弦端点坐标公式，证明所引的两条切线必定垂直。 y关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论：如图，AB为圆锥曲线任意一条焦点弦，点E C B为准线和对称轴焦点（亦称准点），则定有AEF=BEF。证明：设点C,D为点B,A在准线上的射影，由圆锥 E F x曲线统一定义：BFBC=AFAD=离心率e，即BCAD=BFAF 。 由BCEFAD有CEED=BFFA ,故BCAD=CEED， 即BCEADE,知BEF=AEF . D A练习题：椭圆x24+y23=1，过点P(4,0)做斜率K直线交椭圆于A,B两点，再过P做斜率 K 直线交椭圆于C，D两点。（如图） 求证：AB与CD交于定点。 y证明：利用上面定理（要先证明引理），用同一法证明： 点P(4,0)为准点，设椭圆右焦点F。连接DF角椭圆与A0，则A0FD为焦点弦。 A A0PF=CPF .又由假设KPA=-KPC知APF=CPF。 A与A0同为椭圆上一点，只能是A=A0 . 也即AD连线过右焦点F，同理，BC连线过右焦点F。 AB与CD交于定点F 。