二次函数与幂函数

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1、二次函数与幂函数 - 2.4 二次函数与幂函数 2022高考会这样考 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进展综合应用； 3利用幂函数的图象、性质解决有关问题 复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析p 二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质 1 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫做二次函数 (2)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)ax2bxc_(a0) 顶点式：f(x)a(xm)2

2、n(a0) 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0) 2 二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc (a0) f(x)ax2bxc (a2时，ymaxf(m)m22m33， m0，m2，无解1m2. 3 假设幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，那么实数m的值为_ 答案 1或2 2m2m20 ，解得m1或2. 解析 由m3m31经检验m1或2都合适 4 (人教A版教材例题改编) 1如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象n取2，四个 2值，那么相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为_ 11答案 2，2 22解析 可以根据函数图象是否过原点判断n的符号，然后根

3、据函数凸凹性确定n的值 5 函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是 ( ) Am2 Bm2 Cm1 Dm1 答案 A mm解析 函数f(x)x2mx1的图象的对称轴为x，且只有一条对称轴，所以 221，即m2. 题型一 求二次函数的解析式 例1 二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数 思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵敏运用 解 方法一 设f(x)ax2bxc (a0)， ?4acb依题意有?4a2bc1，abc1，8，解之，得 4a?2a4，b4，c7， 所求二次函数解析式为f(x)4x24x7. 方

4、法二 设f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)， 2?1?11抛物线对称轴为x.m. 222又根据题意函数有最大值为n8， 1x?28. yf(x)a-2?12?281，解之，得a4. f(2)1，a-2?1x?284x24x7. f(x)4-2?方法三 依题意知，f(x)10的两根为 x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0. 即f(x)ax2ax2a1. 4a?2a1?a2又函数有最大值ymax8，即8， 4a解之，得a4或a0(舍去) 函数解析式为f(x)4x24x7. 探究进步 二次函数有三种形式的解析式，要根据详细情况选用：如和对称性、最值有 关，可选用顶点式

5、；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的 最终结果 二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1x)f(1x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式 解 依条件，设f(x)a(x1)215 (a0)， 即f(x)ax22axa15. 令f(x)0，即ax22axa150， 15x1x22，x1x21. a33而x31x2(x1x2)3x1x2(x1x2) 15901?2， 2332?a-a90217，那么a6. af(x)6x212x9. 题型二 二次函数的图象与性质 例2 函数f(x)x22ax3，x4,6 (1)当

6、a2时，求f(x)的最值； (2)务实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数； (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间 思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用 解 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6， f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增， f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函 数，应有a4或a6，即a6或a4. (3)当a1时，f(x)x22x3， f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6， 第 6 页 共 6 页