数字电路基础D01-05逻辑函数的化简

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1、1.5逻辑函数的化简 对逻辑函数化简，是指与或表达式中的乘积项数为最少，并且在满足乘积项最少的条件下，要求每个乘积项中变量因子的个数也最少，以得到逻辑函数的最简形式 逻辑函数的公式化简法 公式法就是灵活运用逻辑代数的基本定律和常用公式进行化简，公式法化简法技巧性很强，化简的方法往往也不是惟一的，能否化简成最简的逻辑表达式，取结于掌握和运用基本定律的熟练程度。 公式化简法没有固定的步骤。现将经常使用的方法归纳如下。 1并项法 利用互补律A十l，将两个乘积项合并为一项，并可消去一个变量。 2吸收法 利用公式A十ABA，吸收多余的乘积项。 3消去法 利用公式A十万BA十B，消去多余的变量。 4配项法

2、 利用互补律，将某一项配成两项，以便消去更多的乘积项。 5添加项法 在逻辑函数表达式中，加入多余项，不会改变函数伪逻辑功能，但有时可以进一 步化简逻辑函数。 显然，配项法和添加项法的使用，需要有一定的技巧，才能使逻辑式得以简化。下面举例综合运用上述方法进行逻辑函数的化简。 例1-5-1用代数法求逻辑函数YAC十B十B的最简与或式。 解 YAC十B十BAC十B十B十BC (添加项法) AC十B十B (并项法) AC十B (吸收法) 例1-5-2用代数法求逻辑函数YA十十B的最简与或式。 解 : Y 十D十C 例1-5-3用代数法求逻辑函数的最简与或式。 解 Y 用代数法化简逻辑函数的优点是简单方

3、便，变量数没有限制；缺点是需要熟练掌握逻辑代数的基本定律和公式及灵活的运算技巧，化简后的函数有时难以判断是否为最简式，因此五变量以下的逻辑函数化简通常采用卡诺图法。 逻辑函数的卡诺图化简法 卡诺(Karnaugh，美国工程师)图化简法的基本原理是利用代数法中的并项法原则，即A十l，消去一个变量。这种方法能直接得到最简与或表达式和最简或与表达式，并且其化简技巧相对公式化简法更容易掌握。 1卡诺图的构成卡诺图实质上是将代表逻辑函数的最小项用方格表示，并将这些方格按相邻原则排列而成的方块图。图1-5-1(a)、(b)、(c)、(d)中分别画出了二一五变量最小项卡诺图。 图中变量分别置于左上角的两侧，

4、n变量有2n个最小项，即共有2n个方格。方格的上方和左侧标注的0、1分别代表原变量和反变量，并表示使对应小方格内的最小项为1的变量取值，行变量与列变量的0、l排列起来对应的十进制数也就是对应的最小项编号。 特别指出，为了保证图中几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性，这些变量取值不能按自然二进制数从小到大地顺序排列，而必须按循环码的顺序排列；以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。 从图中可以看出，任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所似它们也具有逻辑相邻性。从几何位置上应当把卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。 当变量大于或等于5以后，仅仅用几何图形在两维空间的相邻性来表示逻辑

5、相邻性已经不够了。例如，在图l51(d)所示的五变量最小项的卡诺图中，除了几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性以外，以图中双竖线为轴左右对称位置上的最小项也具有逻辑相邻性。 2用卡诺图表示逻辑函数 由于任何一个逻辑函数都可以表示为若干最小项之和的形式，因此，也就可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。由逻辑函数转换为卡诺图表示的方法是首先把逻辑函数转化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入l，在其余的位置上填入0(或不填)，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。当逻辑函数由真值表表示时，可以将真值表中输出函数Yl的各最小项所对应的卡诺图中位置填入l，其余填0或不填，从而得到卡诺图。

6、 例1-5-4用卡诺图表示逻辑函数 S(2，5，6，7) 画出三变量卡诺图，在对应于函数式中2，5，6,7最小项的位置上填入1，其余的位置可以填入0或不填，可以得到如图1-5-2所示的卡诺图。 同样，可以把逻辑函数式转换为真值表，如表l-5-1所示。将真值表中输出函数Y1对应的最小项填入卡诺图的对应方格中，画出卡诺图。 当逻辑函数为一般的与或表达式时，为了用卡诺图表示这个逻辑函数，也可以不先将逻辑函数式转换为最小项表达式，而直接将其填在卡诺图中，填写的方法是：对于表达式中“与项”，找出其同卡诺图若干方格的对应关系，在“与项”所覆盖的方格里填入1，便可得到该逻辑函数的卡诺图。 例1-5-5用卡诺

7、图表示逻辑函数。 解 一、二项是最小项，第三项包含C为0和1两个最小项，第四项包含B为0和l两个最小项，第五项包含C、D可能取值的四个最小项。因此 YS(1，3，4，6，8，9，10，11，15) 画出四变量的最小项卡诺图，在对应于函数式中各最小项的位置上填入1，就得到如图153所示的卡诺图。 由此可知，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。同样，当逻辑函数的最小项卡诺图已知，也可以得到这个逻辑函数的最小项表达式。 例1-5-6已知逻辑函数的卡诺图如图1-5-4所示，试写出该逻辑函数的逻辑式。解 因为逻辑函数Y等于卡诺图中填入1的那些最小项之和，所以有：Y=m0 +m4+m

8、6+m8+m9+m10+m11+m12+m15 3. 用卡诺图图法化简为最简与或式 由于逻辑函数卡诺图的相邻性，保证了几何位置的两方格所代表的最小项只有一个变量不同， 当相邻方格为l时，可以利用式(1-3-15)，使两项合并为一项，消去方格不同的那个变量。图中4个相邻方均为l，4个最小项合并的结果是A, 消去了相邻方格中两个不相同的变量因子.用卡诺图对逻辑函数进行化简的原理就是反复运用式(1315)，可使逻辑函数得到化简。 用卡诺图化简逻辑函数的方法归纳如下： 第一步，根据逻辑函数画出其最小项卡诺图； 第二步，合并最小项。 合并最小项就是将卡诺图中相邻方格中的“1”加包围圈或卡诺圈，画卡诺圈的

9、原则如下： 卡诺圈中l的个数必须为2i个(i0，l，2，)； 卡诺圈要尽可能大，即圈内包围“l”的个数要尽量多，以便消去更多的变量因子； 卡诺圈中可以包含已被其他卡诺圈圈过的“1”，但必须至少有一个“l”没有被圈过，若一个卡诺圈中所有的“l”均被别的卡诺圈圈过，则这个卡诺圈是多余的。 例1-5-7用卡诺图化简例1-5-5的逻辑函数为最简与或式。解例l-5-5的卡诺图如图1-5-3所示，加卡诺圈后如图1-5-5所示。由上面的分析可知，在图中，对m4和m6，m8、m9、mll和ml0，mll和ml5分别加卡诺圈，共有4个卡诺圈，将各卡诺圈中变化的变量因子消去，化简后逻辑函数的最简与或式为 例1-5

10、-7用卡诺图化简逻辑函数YZ(0，2，5，8，10，ll，14，15)为最简与或式。 将逻辑函数Y的最小项用l填人到四变量卡诺图的相应方格中，得到Y的最小项卡 化简后的逻辑函数与或表达式为4具有任意项的逻辑函数化简 在实际的逻辑电路中，经常会遇到某些最小项的取值可以是任意的，或者说这些最小项在电路工作时根本不会出现，例如BCD码，用4位二进制数组成的16个最小项中的10个编码，其中6个多余项是不会出现的，这样的最小项称为任意项。在卡诺图和真值表中用 f 表示这些任意项。 由于任意项的取值可为1或0，利用卡诺图化简时，应根据对逻辑函数的化简过程是否有利来决定任意项的取值。 例1-5-9用卡诺图法

11、化简逻辑函数YS(6，7，8，12，13，14)十Sj(5，9，15)为最简与或式。 解 画出逻辑函数Y的四变量卡诺图如图1-5-7(a)。由图中可以看出，若令任意项m8和ml5的取值为l，则可使卡诺圈扩大，有利于化简该函数，而任意项m5对扩大卡诺圈无作用，可视为0。化简后该函数的最简与或表达式为 应该注意；用虚线围成的卡诺圈包含的最小项m12、m13、ml4和ml5都被别的卡诺圈圈过，所以不能形成新的卡诺圈，为多余项。 如果不利用任意项对逻辑函数进行化简、该函数卡诺图的圈法如图l57(b)所示，化简结果比利用任意项所得结果要复杂得多，因此，合理地利用任意项对逻辑函数的化 简非常有用 例1-5

12、-10用卡诺图化简逻辑函数 小 结 本章的内容是数字信号和数字逻辑电路分析和设计的基础；也是所需的数学工具。本章所讲述的主要内容可归纳为数制和编码、逻辑代数的定律和公式、逻辑函数的表示方法和逻辑函数的化简方法等四部分。在数字电路中，经常使用的计数进制除二进制外，还经常使用十进制、八进制和十六进制。任意进制数按权展开式的一般表示式为 它们之间的相互转换方法，主要以十进制与二进制之间的相互转换更为重要，掌握了它们之间的转换，可利用二进制与其他进制的关系得到十进制与其他进制的转换结果。 数字系统中最常用、最基本的编码有BCD码、单位距离码、二进制编码、可靠性编码等，其中842lBCD码、奇偶校验码应

13、用最为广泛。 为了进行逻辑运算，逻辑代数的基本定律和常用公式如表139、表l311和表1312所示，必须熟练掌握，并注意它们的对偶性，以便提高运算速度。 在运用对偶和反演定理时，要特别注意运算的顺序，即先“括号”后“与”和“或”。 逻辑函数最小项和最大项表达式是两种标准形式，这两种标准式可以相互转换，最小项表达式是最常用的表达式，也是分析逻辑问题的基础。常用的逻辑函数的最简表达式有五种：与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式。利用逻辑代数的基本定律和常用公式， 很容易实现这五种表达式之间的变换。 逻辑函数的描述方法一共介绍了四种，即真值表、逻辑函数表达式、逻辑电路图和卡诺图。 这四种方法之间可以任意地互相转换。根据具体的使用情况，可以选择最适当的一种方法表示所分析和设计的逻辑函数。 逻辑函数的化简方法是本章的重点。本章先后介绍了两种化简方法公式化简法和卡诺图化简法。公式法化简的特点是变量数不受限制，但是化简方法缺乏规律性，化简过程中不 仅需要熟练地运用基本定律和公式，而且需要有一定的运算技巧和经验。 卡诺图法化简的特点是简单直观，而且有一定的化简步骤可循。它是化简六变量以内逻辑函数最有用的工具。 利用代数法化简逻辑函数时，可能会出现不知道化简结果是否为最简的情况，当逻辑变量少于6个时，我们可以利用卡诺图法对代数法化简结果进行验证。