三简单曲线的极坐标方程

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1、3 3、极坐标与直角坐标的互化公式、极坐标与直角坐标的互化公式复复 习习1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素2 2、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。及它的正方向。)0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2,0,0 2 2、点、点 M M，关于极点的对称点为关于极点的对称点为，+3 3、点、点 M M，关于极轴的对称点的为关于极轴的对称点的为，-4 4、极坐标系内两点极坐标系内两点 的距离公式的距离公式),(),(2211 QP)cos(2|PQ|21212221 复复 习习曲线的极

2、坐标方曲线的极坐标方程程一、定义：如果曲线上的点与方程一、定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标所有坐标中至少有一个中至少有一个)符合方程符合方程f(,)=0；()方程方程f(,)=0的所有解为坐标的的所有解为坐标的点都在曲线上。点都在曲线上。那么曲线的方程是那么曲线的方程是f(,)=0。探 究如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标圆上任意一点的极坐标(,)满足满足的条件？的条件？xC(a,0)O。xa,0o。),(MA圆经过极

3、点圆经过极点O,设圆和极轴的另设圆和极轴的另一个交点是一个交点是A，那么，那么|OA|=2a,设设 为圆上除点为圆上除点O外，外，A以外的任意一点，那么以外的任意一点，那么OM AM,在在 Rt 中中,|OM|=|OA|),(M AMOMOAcos即即cos2a(1)等式等式(1)是圆上任意一点的极坐标满足的条件是圆上任意一点的极坐标满足的条件例例1 求以下圆的极坐标方程求以下圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a；()中心在中心在(a,/2)，半径为，半径为a；()中心在中心在(0,)，半径为，半径为r。2 2acos 2asi

4、n 2+0 2-2 0 cos(-)=r2思考思考 圆圆O的半径为的半径为r，建立怎样的坐标系，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？可以使圆的极坐标方程更简单？练习1以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解：两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？你可

5、以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点圆的极坐标方程为半径为圆心为论结)cos(2)0)(,(方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx圆的圆心距是多少？的两个和、极坐标方程分别是sincos21cos(,0)2sincos()cos()2212sin(,),2 22解：圆 圆心的坐标是圆圆 的圆心坐标是所以圆心距是题组练习题组练习2 23cos()4、极坐标方程所表示的曲线是 A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：

6、该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圆 的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解：化为直角坐标系为即2126:2cos,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1

7、(:2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点 作圆：的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是 化为直角坐标方程。化为直角坐标方程。把极坐标方程把极坐标方程练习练习 cos2481648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx两边平方得：即解：方程可化为 *小结小结*1.曲线的极坐标方程概念曲线的极坐标方程概念2.怎样求曲线的极坐标方程怎样求曲线的极坐标方程3.圆的极坐标方程圆的极坐标方程新课引入：新课引入：思考：在平面直角

8、坐标系中思考：在平面直角坐标系中1、过点、过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程轴垂直的直线方程为为 ;过点过点(3,3)且与且与x轴垂直的直轴垂直的直线方程为线方程为 x=3x=32、过点、过点a,b且垂直于且垂直于x轴的直线轴的直线方程为方程为_x=a特点：所有点的横坐标都是一样，特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。纵坐标可以取任意值。答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列出方程出方程(,)=0，再化简并讨论。，再化简并讨论。

9、怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的的射线射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的的射线射线的极的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的的直线直线的极的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或 和前面的直角坐标

10、系里直线方程和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个缺乏，可以考虑允许为了弥补这个缺乏，可以考虑允许极径可以取全体实数。那么上面的极径可以取全体实数。那么上面的直线的极坐标方程可以表示为直线的极坐标方程可以表示为()4R 或或5()4R 例例1.1.求过点求过点A Aa,0a,0(a0),(a0),且垂直于极轴的直且垂直于极轴的直线的极坐标方程。线的极坐标方程。0aAXM解：设解：设M(M(，)为直线上为直线上除除A A

11、外的任意一点，连接外的任意一点，连接 OMOM，在三角形，在三角形MOAMOA中，中，即即 1 1|cos|OAMOAOM cos式式1就是所求直线的极坐标方程就是所求直线的极坐标方程1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。解解 题题 基基 本本 步步 骤骤 练习练习1 求过点求过点A(a,/2)(a0)，且平行于，且平行于极轴的直线极轴的直线L的极坐标方程。的极

12、坐标方程。解：如图，建立极坐标系，解：如图，建立极坐标系，设点设点 为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM(,)M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI练习练习2：设点设点P的极坐标为的极坐标为A ，直，直线线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直求直线的极坐标方程。线的极坐标方程。(,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线 上异于的点上异于的点l连接连接OM，oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin

13、()a 即即sin()sina 显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。11(,)ll解：如图，设点解：如图，设点(,)M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知,OMxOM1OP 1xOP 在在设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin()11sin()sin()显然点显然点P的坐标也是它的解。的坐标也

14、是它的解。XMO)11)pA直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过某个定点垂直于极轴、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点、过某个定点 ，且与极轴成的角度，且与极轴成的角度a3、过某个定点平行于极轴、过某个定点平行于极轴ox AMMox Alo oxMP 1 1 A)(0Rcosa sin a11sin()sin()11(,)例例4.4.把以下的直角坐标方程化为极坐标方程把以下的直角坐标方程化为极坐标方程 (1)2x+6y-1=0 (2)x2-(1)2x+6y-1=0 (2)x2-y2=25y2=25解：将公式解：将公式 代入代入所给的直角坐标方程中，得所给的直角坐标方

15、程中，得cosxsiny(1)2 cos6 sin1 0 2222(2)cossin25化简得化简得2cos225的的直直线线的的极极坐坐标标方方程程。且且斜斜率率为为、求求过过2)3,2(1 A程程这这就就是是所所求求的的极极坐坐标标方方得得代代入入直直线线方方程程将将为为直直线线上上的的任任意意一一点点，设设角角坐坐标标系系内内直直线线方方程程为为解解：由由题题意意可可知知，在在直直07sincos2072sin,cos),(072 yxyxMyx表表示示的的曲曲线线是是、极极坐坐标标方方程程)(31sin2R A、两条相交的直线、两条相交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线

16、D、一条射线、一条射线所以是两条相交直线所以是两条相交直线两条直线两条直线即即所以得所以得可得可得解：由已知解：由已知042:,042:4242tan322cos31sin21 yxlyxlxy A4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直线关于直线 对称的直线方程为、3、()B2sin22 化化为为极极坐坐标标方方程程为为即即的的对对称称直直线线的的问问题题关关于于线线解解：此此题题可可以以变变成成求求直直yxyx4cos,4cos2cos,2sinsin44 、直线的方程是直线的方程是相切的一条相切的一条、在极坐标系中，与圆、在极坐标系中，与圆DCBA()B2cos24

17、)2(04sin42222 化化为为极极坐坐标标方方程程为为圆圆的的方方程程为为那那么么一一条条与与此此圆圆相相切切的的即即的的化化为为直直角角坐坐标标方方程程是是解解：圆圆xyxyyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125 、直直线线的的极极坐坐标标方方程程是是的的，则则过过圆圆心心与与极极轴轴垂垂直直一一个个圆圆的的方方程程为为、在在极极坐坐标标系系中中，已已知知DCBA()C1.圆的极坐标方程的概念圆的极坐标方程的概念；2.如何求圆的极坐标方程如何求圆的极坐标方程；3.会将直角坐标方程化为极坐标方程会将直角坐标方程化为极坐标方程;4.直线的极坐标方程的几种情况直线的极坐标

18、方程的几种情况:(1)过极点过极点(2)过某个定点，且垂直于极轴过某个定点，且垂直于极轴(4)过某个定点，且与极轴成一定过某个定点，且与极轴成一定的角度的角度(3)过某个定点，且平行于极轴过某个定点，且平行于极轴6.将下列直角坐标方程化成极坐标方程系将下列直角坐标方程化成极坐标方程系(1)y5(2)x1022(4)xy16(3)3x2y10 7.将下列极坐标方程化为直角坐标方程将下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)10cos (2)2cos4sin(3)(2cos5sin)4 0 2522)5(yx5)2()1(22 yx0452 yx5sin 01cos 01sin2cos3 162cos2

19、 0,(0)54 5A.2 25B.2 25C.6 25D.8 12007年高考线年高考线 ,所所围成的图形面积是围成的图形面积是 和D2(2005年高考年高考)在极坐标系中在极坐标系中,以以 为圆心为圆心,以以 半径的圆的方程为半径的圆的方程为_ )2,2(a2aasin2.解解:1(R)3（）2cos=1（）3=2cos(-)4（）4=2asin（）1.解解:(1)表示圆心在极点，半径为表示圆心在极点，半径为5的圆；的圆；(2)表示过极点，倾斜角为表示过极点，倾斜角为 的直线的直线；(3)表示过极点，圆心在表示过极点，圆心在 半径为半径为1 1的圆的圆65)2,1(3.解解:4cos)1(

20、2sin)2(01sin3cos2)3(162cos)4(2 4.解：解：1 2 3 4y2;2x+5y-4=022+=5(x-1)(y+2)22+=255(x+)y把点把点A 的极坐标化为直角坐标，得的极坐标化为直角坐标，得22)4sin(化为直角坐标方程，得化为直角坐标方程，得1 yx)2,2(在平面直角坐标系中，由点到直线的在平面直角坐标系中，由点到直线的距离公式，得点距离公式，得点A 到直线到直线 的距离的距离)2,2(1 yx22d所以点所以点A到这条直线的距离为到这条直线的距离为22d5.解：以极点为直角坐标原点解：以极点为直角坐标原点,极轴为极轴为X轴正半轴正半轴建立平面直角坐标

21、系，把直线的极坐标方程。轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程。6.解解:(1)以椭圆中心以椭圆中心O为直角坐标原点，长为直角坐标原点，长轴所在的直线为轴所在的直线为X轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,那么椭那么椭圆的直角坐标方程为圆的直角坐标方程为 将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程,得得 12222 byax1)sin()cos(2222 ba 2222222sincosabba 由于由于 可设可设 OBOA),(11 A)2,(12 B1221222221sincos abba 1221222222cossin abba 那么那么于是于是2221221

22、1)|1()|1(OBOA22122122122122cossinsincosbaabab2222baba 所以所以 为定值为定值22)|1()|1(OBOA(2)依题意，得依题意，得到到2121|21 OBOASAOB22122222242sin)(21bababa )cossin)(1sincos(211221222212222 ababba 41 当且仅当当且仅当 时，即时，即 或或 时，时，有最小值有最小值 当当 ，即，即 或或 时，时，有最大值有最大值 12sin12 45 AOBS 2222baba 02sin1201 1AOBS 2ab._4)0(307面积所围成的和，、曲线OXAB384612SAOB即的面积积就是扇形解：由图可知围成的面