椭圆轨道上行星运动速度和能量

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1、卫星椭圆轨道问题探析通过对万有引力知识的学习，我们知道，发射卫星的最小速度是JgR （又称第一宇宙 速度），此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动；当发射速度达j2gR时（又称第二宇宙 速度），卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭 合曲线；当发射速度介于和.2gR之间时，卫星作椭圆运动，并随发射速度的增大椭圆 越扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点；当卫星速度大于v2gR而小于第三宇宙速 度时，它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳 的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星；当发射速度大于第三宇

2、 宙速度时，卫星将脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。对于圆轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求 解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道，相对来说求解某 些问题有一定的困难，下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。一、椭圆上任一点的曲率半径。（x，2 + y，2）32根据数学知识，曲率半径由公式r二，丿仁给出，为了便于求导，借助椭圆的参y x - x y数方程x = a cos0，y = b sinQ （a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x、y的一、二阶（a2 sin2 0 + b2 cos2 Q）32导数代入r表达式，有r

3、=-.在远地点和近地点，参数分别取0、兀abb2代入，得到在椭圆上（土a,0）这两个点所在处的曲率半径相同，等于，不等于a + c或aa-c，式中c为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求已超出高中要求，但是其结论有必要 作适当的介绍。例题1 :某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是c ,远地点离地球中 心的距离为d，若卫星在近地点的速率为v ,则卫星在远地点时的速率v是多少cd解析：做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于r。所以，Mmv 2Mmv 2vd在近地点时有G=，在远地点时有G= mf，上述两式相比得f -，故c2rd 2rvcdcv = v。学生易错

4、的解是：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有d d cMm v 2 Mmv 2V 万 一：c 一G = m，在远地点时有G= md，上述两式相比得矿=，得V V，c 2cd 2 dV c d d cd以上错误在于认为做椭圆运动的卫星，在近地点和远地点的轨道曲率半径不同，且分别为 c 和d,这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。二、卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。Mm根据牛顿第二定律，卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式G ma求R2解，式中R为地球球心到卫星的距离，即椭圆的一个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀 速圆周运动时,万有引力全部用来

5、提供向心力,这时卫星的加速度就是向心加速度,而在椭圆 轨道上运动的卫星,万有引力没有全部用来提供向心力,向心加速度将不再等于卫星在轨道上 运动的加速度。v2卫星在轨道上某点运动的向心力为F m，式中r是该点所在椭圆轨道的曲率半径，nrFMm向心加速度a ，在远地点，卫星受到地球的万有引力F G，式中R是卫星和地n mGR 2v2球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力F m ， r丰R，且F F，卫星此n r G n时的加速度等于向心加速度，即a a，卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动,n万有引力产生两个作用效果,一方面提供沿轨道切向的切向力,对卫星做正功,使卫星速率越 来越大，

6、另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，万有引力产生的切向加速度a和T法向加速度即向心加速度a之间的关系，如图1所示。到达近地点时，F F，a a，nG nn卫星之后远离地球做离心运动，万有引力同样产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切 向力，对卫星做负功，使卫星速率越来越小，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向， 直到远地点，周而复始。在整个运动过程中，只有近地点和远地点两个位置， F F ， aa ，G nn其他位置a丰a。n例题2：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3,轨道1、2相切于Q点，轨

7、道2、3相切于P点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度B、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度C、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率D、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度解析：根据牛顿第二定律可得，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r有关, 所以 A 选项错误, B 选项正确。 因为轨道 1 和轨道 3 是圆轨道, 所以Mmv 2: GMGMG= mr 2 = m ， 所以V二， =.計，即D选项正确，C选项错误。r 2rrr 3三、卫星在

8、椭圆轨道上运动的周期。根据开普勒第三定律,所有地球的卫星,无论轨道是圆,还是椭圆,它们运动周期的平方 和半长轴的三次方之比是定值。圆形轨道的半长轴就是圆的半径。例题3：飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T,如果飞船要返回地面，可在轨 道上某一点A处将速率降低到适当值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与 地球表面在B点相切，地球半径为R0,如图3所示。求飞船由A点到B点所需的时间。R + R解析：设飞船的椭圆轨道的半长轴为a,由图可知a = 设飞船沿椭圆轨道运行的周期为，由开普勒第三定律得：学=T-.飞船从A到B的时间t = 1-.由以上三式求解T 2 T 32得 t = T

9、28R-T (R + R)-42 R -四、圆规道和椭圆轨道之间的变换。根据例题 2 可知，在发射卫星的过程中，受运载火箭发射能力的局限，卫星往往不能直接 由火箭送入最终运行的空间轨道，而是要在一个椭圆轨道上先行过渡。在地面跟踪测控网的跟 踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令，通过一定的推力改变卫星的运行速 度，通常要在椭圆轨道与圆轨道相切点开动发动机进行加速来实现变轨，实现发射目标。从圆 轨道 1变换到椭圆轨道2，火箭要在轨道1 和轨道2 的相切点附近进行助推,让此时卫星受到 的万有引力不足以提供卫星运动的向心力，卫星开始沿椭圆轨道2 做离心运动，速率越来越小， 在远地点附近卫

10、星的速度较小，卫星所受的万有引力大于所需的向心力，卫星将做向心运动， 在此时对卫星进行加速，使万有引力刚好提供卫星在轨道3 上做圆周运动的向心力，使卫星从 椭圆轨道2变换到圆规道3 上运行。卫星返回时，通过相反的过程回到地面。例题 4：如下图是我国“嫦娥一号”发射及绕月简图，设下图中卫星是逆时针方向运动的， 阅读如下材料回答问题：2007年 10 月 25 日17 时 55分，北京航天飞行控制中心对嫦娥一号 卫星实施首次变轨并获得成功，首次变轨是在远地点发动机点火使卫星加速的。卫星的近地点 高度由约200公里抬高到了约600公里，如图4 所示，卫星正式进入绕地16小时轨道。接下 来卫星在近地点

11、处还要借助自身发动机的推动，经过三次变轨即进入绕地24 小时轨道、绕地 48 小时轨道，最后进入地月转移轨道，经过漫长的运行后接近月球，在月球近月点的位置仍 要借助自身的发动机的作用，使卫星的速度发生变化，被月球引力俘获后进入绕月12 小时轨关于卫星在绕地由16 小时轨道到48 小时轨道、绕月由12 小时轨道到127 分钟轨道的过 程中下列说法正确的是（ ）A、卫星绕地、绕月运行均需要向后喷气加速，才能到相应的轨道。B、卫星绕地运行需要向后喷气加速，才能到相应的轨道。C、卫星绕地、绕月运行均需要向前喷气减速，才能到相应的轨道。D、卫星绕月运行需要向前喷气减速，才能到相应的轨道。解析：卫星在绕地

12、16小时轨道上运行时，到达近地点处，应该是向后喷气，据反冲现象 得速度增大，所需要的向心力增大，而此时地球与卫星之间的引力不变化，即向心力不足，做 离心运动，“嫦娥一号”到绕地24小时的轨道上运行。同理到达预定时间在近地点加速到绕地 48 小时轨道上运行，第四次变轨指的是最后一次在近地点加速到地月转移轨道上，这才是真 正意义上的奔月。通过分析知B正确。卫星在绕月 12小时轨道上运行时，到达近月点处，应该是向前喷气，据反冲现象使速度 减小，所需要的向心力减小，而此时卫星所受的引力不变化，即引力大于运动物体所需要的向 心力，达到此条件，物体就要离开原来的轨迹向内部做向心运动，“嫦娥一号”到绕月小时

13、的 轨道上运行。同理到达预定时间在近月点减速到绕月 127 分钟轨道上圆周动，通过分析知 D 正确。五、卫星在椭圆轨道上运动的机械能。卫星在轨道上运动的总机械能 E 等于其动能和势能之和。根据万有引力定律，地球和卫GMm星之间的引力势能为E =-，式中R是地球地心和卫星之间的距离。动能PRek=2mv 2，卫星在运动过程中，不考虑其他星体对它的作用，其机械能守恒。如图4所示，A、B两点为卫星运动的近地点和远地点，vVb分别表示卫星在这两点的亠亠v a + c速度。根据例题1的结论，可得f二一va-cB卫星在 A、B 两点的机械能分别为：(1)，1 GMmE = mv 2 -A 2 A a-c(

14、2)，ABE =1 mv2 - GMm.(3), B 2 B a + c根据机械能守恒，人=EB(4)，由(1) (2) (3) (4)式可解得 v2 =A(a + c)GM(a - c)a(a-c)GMGMmV 2 =，把结果代入(2)和(3)式，得到卫星运动的总机械能E =-。从此B(a + c)a2a式可看出，在以地球为焦点的若干个椭圆轨道中，椭圆的半长轴越长，卫星的总机械能越大 发射时需要的能量就越大，因此发射高轨道卫星难度较大。以上是针对地球和地球的卫星展开讨论的，对于太阳系或其他星系中行星椭圆轨道的一 些规律和上述情况类似。卫星在椭圆轨道上的速度和能量的一个推论图1图1给出了一个圆

15、轨道和一个椭圆轨道，其中圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等。P、Q两点为两轨道的交点。我们要说的推论是：在椭圆轨道上的卫星运动到P或Q时，其速率等于在圆轨道上运动的卫星的速率。这个命题的证明是简单的。我可以设在两个轨道上运动的卫星的质量相等而不影响研究 它们的速度关系。这样一来，由于圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等，由“椭圆轨道上 的卫星的速度和能量”一文得到的结论可知，两物体在各自的轨道上运动过程中机械能守恒 且二者的机械能相等。当椭圆轨道上的卫星运动到P点或Q点时，二者具有相同的重力势能, 因而具有相同的动能，从而得到具有相同的速率。当椭圆轨道上的卫星运动到P或Q时,有r二a。由上面的结

16、果可以知道，此时v二GM这正是半径为a的圆轨道上的卫星的运行速率。至此，我们证明了前面提到的推论。我们可以把结论用文字表述为（如图1 所示）iGM当卫星在P、Q左边半个椭圆轨道上运动时，由于r ，即大于a在圆轨道上运动的卫星的速度。| gm当卫星经过P、Q点时，由于有由于r二a，所以有v二，即等于在圆轨道上运a动的卫星的速度。iGM当卫星在P、Q右边半个椭圆轨道上运动时，由于r a，所以有v ，即小于a在圆轨道上运动的卫星的速度。亠GM 2a 一 r小我们还可以变形为v二-上式中出现的2a - r是卫星到椭圆另一arGM if/、v =（9）a r一方面，用（9）式分析上面得到的三个结论将更加容易，另一方面，这个公式还表现出了漂亮的对称性。如图2所示，过长轴和短轴的直线是椭圆的两条对称轴，有在关于长轴对称的两个点上，必有r = r，速率相等；在关于短轴对称的两个点上，必有vv =1 2 a