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1、4. 3. 2空间两点间的距离公式一、教学目标：1、熟悉空间两点间的距离公式的推导过程；2、会根据具体题目建立适当的直角坐标系.二、教学过程：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离， 如建筑设计中常常需要计算空间两点的距离.你能用两点的坐标表示这两 点间的距离吗？自学教材136页内容，回答问题(空间两点间的距离公式)类比平面两点间距离公式的推导，您能猜想一下空间两点 P (x , y , z )，P (x,y, z )间的距离公式吗？1 1 1 1 2 2 2 22如果I OP I是定长，那么x2 + y2 + z2二r2表示什么图形？结论:先看简单的情形设空间直角坐标系中
2、点P (x, y,z)，求点P 到原点0的距离.如图所示，设点P在xoy平面上的射影是B，则点B的 坐标是(x,y,0).在xoy平面上，我们可以得到结论有|0B|= *x2 + y2 .在直 角三角形OBP中，根据勾股定理 |0P|=胡 OB |2 + 丨 BP |2 ,因为 |BP|=|z|,所 以 |OP|=：x2 + y2 + z2 .这说明，在空间直角坐标系 Oxyz中，任意一点P(x,y,z)与原点之间的距离是 |0P|-1 OB I2 + I BP |2下面再看一般的情况，设 点P(x , y ,z )，P (x , y ,z )是空间任意两点，1 1 1 1 2 2 2 2且两
3、点在xoy平面上的射影分别为M,N那么M,N 的坐标为M(x , y ,0)，N(x , y ,0).在xoy平面4122上, I MNI=(x -x )2 + (y y )2 .过点P做PN的垂线，垂足为H，则1 2 1 212I MP I=I zI,I NP I=I zI，所以I HPI=I z- zI .在直角三角形PHP中，1 1 222 1 2 1 2I PH I=I MNI= v(x - x )2 + (y - y )2，根据勾股定理，得到结论如下所 1 12 12示：I PPI=I PHI2+ I HPI2=(x- x )2 + (y- y)2 + (z - z )2 .因此空1
4、2 1 _ 2 V 1 2 1 2 1 2间中点P(x ,y ,z )，P (x ,y ,z )间的距离公式为可以表示成下面形式： 1 pJ1_12 2 _2_2I PP I = ；(x x )2 + (y y )2 + (z z )2 表示球面.1 2 1 2 1 2 1 2三、例题解析：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形厶ABC 是一等腰三角形.解：由两点间距离公式得：陶=J(7_4)2 +Q-3)2 +2_1)2 = 2 J?BC=衣5 - if +Q_1)2 +(3_2)2 =尿M= 4-5)2+(3-2)2+(l-3)2 =岳由于|= M=，所以 abc是一等腰三角形四、巩固练习：练习一：完成教材138页练习1、2、3、4； 练习二：习题4.3A组第3题.五、作业布置：1、必做题：习题4.2B组第1、2题；2、选做题：习题4.2B组第3题.六、课堂小结：这节课主要学习了两点间的距离公式，要求学生能理解公式的推导过 程，能熟记空间两点间的距离公式并能熟练简单的应用.七、课后反思：这节课主要是培养学生的空间想象能力，空间两点间的距离公式的推 导过程实际上就是一个解决问题、分析问题的能力，教师要注意引导
432空间中两点间距离公式
