正项级数收敛及其应用公式版

《正项级数收敛及其应用公式版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正项级数收敛及其应用公式版（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、公式为正常公式,不是图片版正项级数收敛性判别法的比较及其应用、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在 实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成 部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解 决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的 技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约 时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列s 有界，即存在某正数M,对Vn

2、0，有S vM。nn2、几种不同的判别法2.1 比较判别法设艺u和艺v是两个正项级数，如果存在某正数N,对一切nN都有u v ,nnn nn=1n=1那么(1) 若级数艺v收敛，则级数艺u也收敛；nn n =1n =1(2) 若级数艺u发散，则级数另v也发散；nn n =1n =1即艺u和艺v同时收敛或同时发散。nn n =1n=1比较判别法的极限形式 ：设艺u和艺v是两个正项级数。若lim么=l，则nT+s vn =1n =1n( 1)当时， 艺u与无 v 同时收敛或同时发散；(2) 当l二0且级数兰v收敛时，艺u也收敛;nn n =1n=1(3) 当l T8且兰v发散时，艺u也发散。nn

3、n =1n =12.2 比值判别法设艺u为正项级数，若从某一项起成立着上一 q N，成立不等式匕h N，成立不等式匕孔 1，则级数艺u发散。0unni =1比值判别法的极限形式： 若艺u 为正项级数，则nn =1(1) 当lim un 1时，级数艺u发散。nT+s vnni =12.3 根式判别法设艺u是正项级数，且存在某正整数N及正常数Mn0n =1(1) 若对一切n N，成立不等式声 M N，成立不等式Ju 1，则级数艺u收敛0F nni=1 根式判别法的极限形式：设艺u是正项级数，且lim 加=l，则nnnT+sn =1(1) 当l 1时，级数艺u发散；nn =1(3) 当l = 1时，

4、级数的敛散性进一步判断。2.4 柯西积分判别法对于正项级数区u，设/ 单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数 nnn=1f(x)(x 0),使得当x等于自然数n时，其函数恰为u。那么级数区u与数列(A ,nnnn =1这里A =Lf(x),同为收敛或同为发散。n2.5 拉贝判别法设艺u是正项级数，且存在自然数N及常数r, n0n=1(1)若对一切n N，成立不等式n 1 -0(2)若对一切n N，成立不等式n 1 -0、un 11u /n、un+1u /n则级数乞u收敛;ni=1则级数艺u收敛ni=1拉贝判别法的极限形式设艺unn=1(1)是正项级数，且极限lim n 1 -2)3)n

5、T+g y当r 1时，级数艺u收敛；nn=1当r 1时，级数艺u发散。nn=1当r三1时，拉贝判别法无法判断。、un*1u /n= r 存在，则2.6 阿贝尔判别法 如果：G)级数区b ；nn=16)级数a 单调有界，a | K(n = 1,2,3,)，则级数 a b收敛。nnn nn=12.7 狄立克莱判别法如果：G)级数区b的部分和B有界，|B | 0 , n n ,艺u为正项级数，若0n1)ln 1 + a , ln nn=1n 0 ,乞u收敛n n=12)ln 1, ln nln- 1 + a收敛 ln n设艺u 为正项级数nn=12.9 等价判别法u a ， a 收敛，则 u 也收敛

6、 n nnnn=1n =1三、判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如：111(1)、 1 + + + + + 23n1取0 0 + + = n +1n + 22n2n2n20所以级数发散(2 ) 、 v n + 2 2+ 2 + xnS =j3 2 迈 +1人Q；4 2J3 + n+ 1)级数收敛【2关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例：1 + an n=1(2)()= 级数收敛ln n lnnelnnlnlnne2ln n n2n=1比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大

7、部分无法通过其它途径判别其敛散性的 正项级数。3、当级数含有阶n次幂，型如a!或a”或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值 判别法。当通项含(-1)”与u”的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例： ( 1 - 3 (2n - 1Xn!n=1lim= lim 2n + = 2级数发散nT+a uns n + 1n(2) XnV-()x x 1所以级数收敛n=1V1 + XTI + x2 丿1 + Xn 丿4474710+ + + 2262610lim=lim3n = 3 1nTa unnTa4n + 2级数4 - 7 -10 (3n4、当级数含有n次幂，型如an或(u丄或通项u =丄

8、即分母含有含In x的函数,nn n ln p n分子为 1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。例如：(1) 可亠 n=1 V 2n + 1 丿h叫匚-lim缶二2级数收敛nT8厶一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但 有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比 比值判别法更优。例如：(2) 1 + b + be HF bncn h【4 (0 b 1，级数发散bcvl，级数收敛bc=1，原式=1 + b +1 + b +级数发散 比值判别法_m 士二c c 1级数收敛 n Ta unlim 士 = b b 1级数发散 nUn

9、由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相比得 出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用根式判别法比比值判别法 更好。在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。同时也存在 只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的情况。例如：(3)Y 2 -n-(-1)5lim Ju = lim丄J =- 级数收敛nJ n na 22 (-1)n 2不可使用比值判别法lim *+1 = lim 2-1+2(-1)n无法判断敛散性na un an因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0 时，我们可以选用比值判别法或根 式判别法。115、当级数表达式型如,u为

10、含有lnn的表达式或丄可以找到原函数，或级数u u nunnn为11,+aJ上非负单调递减函数，u含有sinx或cosx等三角函数的因子可以找到原 n其中1x ln x ln ln x函数，可以选用柯西积分判别法。例： 1 n ln n ln ln n n=3因为Lu dx发散，所以级数发散3n6、当级数同时含有阶层与n次幂，型如a!与an时，或使用比值、根式判别法时极 限等于 1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。例：nnn=1lim n 1 一n=g u n1u 丿n不能用比值判别法(n 1、-1lim I无法判断敛散性 n=s n 丿不能用根式判别法lim Ju =- nn!无

11、法判断敛散性n=8 n n因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。7、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于 0 的数列， 另一部分为部分和有界的数列，如含有sin x 或cos x等三角函数(l)n等；或可化为(1)n， 如：(-1=(-1)； 也可以型如Y sin(u )， u为任意函数，则可以选用2n n狄立克莱判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。例：设艺b收敛，则级数鼻，区b 丄， b 1 +1丫，区b ln3n1等都是极 nJnn n +1n I n丿n2nn=1n=1n=1n=1n=1限 8、当通项可通过泰勒

12、展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛 散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及 对各种等价式(能够熟) 练的运用。例：(1) 血en!)(a 0)na11n!sin (2en!)= sin= sin1 1 1)2兀n! 1 + _ + + + I 1!2!n!丿2兀+ 1)2兀n! 1 + + +Vn! 丿 n + 12兀(n + 1)(n + 2)= sin2兀n +1(n + 1)C + 2)sin(2 兀 endVn2 丿nan1+aQ竺收敛n1+aQ Qe = 1 + -J! + + (泰勒展开式)所以级数收敛9、当上一的值可化为泰勒开式

13、，则选用高斯判别法。如: un+1n=1九 log2 e ,九 0n nn1当 x 丰 0, lnC np+xn11 仁 x ln n)x ln n + n ln 1 V n丿=nu + nlnnG- u )= nu2 n+ln(i-un)其中 unnu 2n当 x t a 时，x T 0, nu T 0,n由洛必达法则lim un + ln - u“)= limnTau 2nTav 2)=0,lim+_ = 1级数收敛nTan p+ xlimlnC np+xnnsv + ln G-v)1 1 V=lim nK2v当x = 0，级数为 一 如果p 1，则级数收敛；如果p 0, Bn 当 n n

14、 时, ln n0,0lnhnGn n ) 1 + a级数收敛四、应用举例分析：本题无法使用根式判别法与比值判别法，因此选择比较判别法进行判断n n!n /1（）0 un n!（n + 1）（2n） =（n + 1）（2n）（2n- 1）（2n）,（且级数艺于治r收敛(2n -1 丿2n 丿n=1所以级数收敛例 2 V ()()v1 + a )( + a )-(1 + a 丿n =112n分析：本题无法使用根式判别法、比值判别法，或比较判别法以及其他的判别法进 行判断，因此选用充要条件进行判断。=/ 、/ 1 /、一 /、/ 1、 / 、G + a )( + a),(1 + a ) G + a

15、 )( + a),(1 + a)12n 一112n=V (1 + a )( + )-.(1 + a ) = 1 (1 + a )( + a )-(1 + a )1，即 p 2，级数收敛2n例5分析：本题中分子含有(-l)n，无法用比值判别法或其他方法判别，这种类型也是 根式判别法的典型类型,取上极限进行判断，因此，选用根式判别法。lim nU = lim = 1 极限收敛n J22n=1-ln 1 + nn丿分析：通过观察，本题可以使用充要条件进行判断，但等价判断法进行判断更为便捷。r 1)11r 1 + oV n 丿n2n 2V n2丿Qln1所以1 - lnn(1)1r 1 1 + + o

16、V n 丿2n2V n2丿(nTs-lnf1 + -收敛nn=1五、总结与展望判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为 0，若不为0则发散，若为 0 则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若级数的一般项可以进行 适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。当通项具有一 定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法或拉贝判 别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、库默判 别法或高斯判别法。库默尔判别法可以推出比值判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂 判别法。当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法，当比值判别法也无

17、法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。 由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判 断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的 题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效 率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。本文归纳总结正项级数 收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级 数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。正项级数收敛判别 法也可用于判

18、定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛 散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通 过本文能加深学习者对正项级数的了解。参考文献1陈欣. 关于数项级数求和的几种特殊方法 J . 武汉工业学院学报，2002，4. 2陈金梅. 幂级数求和法例谈 J . 石家庄职业技术学院报，2005，9.3 夏学启. 贝努利数的简明表达法 J . 芜湖职业技术学院学报，2006，2.4 吴良森等编著. 数学分析习题精解 M . 北京：科学出版社，2002，2.5 费定晖，周学圣编著. 吉米多维奇数学分析习题集题解 M . 济南：山东科学技术 出版社，2005，1.6 周应编著. 数学分析习题及解答 M . 武汉：武汉大学出版社，2001，8.7 王晓敏，李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导M.长春：东北大学出版社， 2005， 12.8 B.A卓里奇编著，蒋锋等译.数学分析M 北京：高等教育出版社，2006, 12.9 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法 M .北京：科学出版社， 2008， 5.10 陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册 M . 北京：高等教育出版社， 2000。