正态分布 线性回归

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1、116。(x1)2 e 2c 2)2尸Z2)-尸(I2)-(斗21)-)NCo。,102)，求此校数学成绩在120分正态分布与线性回归1已知连续型随机变量z的概率密度函数0(x 0)f (x) = k + 1( - x - 2)，且 f(x)三0,求常数 k 的值，并计算概率 P(1.5W E 2)分析:凡是计算连续型随机变量g的密度函数f(x)中的参数、概率P(aW E Wb)都需要通过求面积来转化 而求得。若f(x)三0且在a, b上为线性，那么P(aW g Wb)的值等于以b-a为高，f(a)与讹)为上、下底的 1直角梯形的面积，即P(a-b) = 2f(a)+/(b)(b-a)。解：/

2、 1 P(g8 +a) P(gg 0)+P(0g 2)+P(2g +a)10 + P(0 - g - 2) + 0 f (0) + f (2)(2 0) f (0) + f (2) 2 + 2kP(1.5-g 2.5) P(1.5-g- 2)+P(2 g 2.5) P(1.5-g- 2)2设XN(卩2)，且总体密度曲线的函数表达式为:x WR。(1) 求p，o ；(2) 求 P(| x 丫 2)及 p(1 .：2 x 1 + 2壬2)的值。分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出p和o。利用一般正态总体N(2) 与标准正态总体N (0, 1)概率间的关系，将一般正态总体划归为标准

3、正态总体来解决。解：(1)由于f (x)根据一般正态分布的函数表达形式，可知p =1，b = 迈，故XN (1, 2)。(2) P(| x 1| P(1-巨 x 1 + (1)0(1) 20(1) 1 2 X 0.8413 10.6826。又PQ-迈 x 1 + 2迈)F(1 + 2F(1 -、O(口 2茫-1) 0(1:1) 0(2) 0(1) 丿2 120) = 1 -P(gW 120)= 1(120 -100 10丿沁 0.023(1)(2)(3)假设.120分以上的考生人数为1000X0.023=23x 一 p点评：通过公式F(x)二(一石)转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可

4、+4将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d C,液体的温度 (单位：。C)是一 个随机变量，且N (d, 0.52).(1) 若 d=90，求 89 的概率；(2) 若要保持液体的温度至少为80 C的概率不低于0.99，问d至少是多少？(其中若N (0, 1),则0 (2) =P (n 2) =0.9772, 0 (-2.327) =P ( 2.327) =0.01). 分析：(1)要求 P ( 89) =F (89),N (d, 0.5)不是标准正态分布，而给出的是0 (2), 0 (-2.327),故需转化为标准正态分布 的数值.(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,

5、再利用p0.99，解d.89 90解：(1) P ( 89) =F (89) =0(05)=中(-2) =1-0 (2) =10.9772=0.0228.(2)由已知d满足0.99WP (三80),即 1-P ( 80)三 1-0.01,.：P ( 80)W0.01.80 d 0(05 )W0.01=0 (-2.327).80 dw2.327.0.5dW81.1635.故d至少为81.1635.点评：(1)若N (0, 1)，则 =N (0, 1) . (2)标准正态分布的密度函数f (x)是偶函 数，x0时，f (x)为减函数.5在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是

6、：提出统计假设：某种指标服从正态分布N (“，Q 2)；确定一次试验中的取值a； 作出统计推断：若aw(p -30，“ +30 )，则接受假设，若ag (“ 3u，“ +3u )，则拒绝某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”服从正态分布N (30, 0.8)，质检人员从该厂某一天生产的000块砖 中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5 kg/cm2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么？解：由于在一次试验中落在区间(“ -30，“ +30 )内的概率为0.997，故几乎必然落在上述区 间内.于是把=30，o =0.8代入，(27.6, 32.4),算出区间(“ -3o， “ +3o )=而

7、27.5 电(27.6，32.4).据此认为这批砖不合格.6已知测量误差N (2, 100) (cm),必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超 过8 cm的频率大于0.9?解：设表示n次测量中绝对误差不超过8 cm的次数，则B (n, p).8 - 2-8 - 2其中 P=P (1 10.9, n 应满足 p (n 三 1)=1p (n =0) =1(1p) n0.9,lg(1 - 0.9)-1 n=2 75 lg(1 - 0.5671) = lg 0.4329 =.因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过cm的概率大于097已知某地每单位面积菜地年平均使

8、用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数 据： 年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1) 求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2) 若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时, 每单位面积蔬菜的年平均产量。分析

9、：(1)使用样本相关系数计算公式来完成；(2)查表得出显著性水平0.05与自由度15-2相应的相 关系数临界r005比较，若r r005则线性相关，否则不线性相关。解：(1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i123456789101112131415x707480788592909592108115123130138145y./5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0x.y. ii357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885x =空=101

10、亍=空=10.1115，15迟 x y = 16076.8i ii =1迟 x2 = 161125 ,迟 y2 = 1628.55,iii =1i=1故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数则沁 0.093716076.8 -15 x 101 x 10.11沁 0.8 6 4 3v (161125 -15 x 1012)(1628.55 -15 x 10.112)由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值r005 = 0514 ,r r0.05 从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。(2)设所求的回归直线方程为y二bx +

11、a，则迟x y -15xy了 i i16076.8 -15 x 101 x 10.11161125 -15 x 1012迟 x 2 一 15 x2ii=1a = y-bX = 10.11 0.0 9 37 00.6 4 6 3.回归直线方程为 y 二 0.0937x + 0.6463 二 14-701(t)点评：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算。如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到i=1i=1i=1i =1工x y这些量,i ii=1也就无x23456y2.23.85.56.57.0需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程

12、序也可以对这些数据进行处理。 8假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用.y （万元），有如下的统计资料：.i12345x23456y.2.23.85.56.57.0x.y.4.411.422.032.542.0x 249162536x = 4， y = 5，工 x2 = 90，工 x y = 112.3ii i若由资料可知y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间呈线性相关关系，目的是训练公式的使用。 解：（1）列表如下：工 x y -5xyi i于是b = i=1工 X 2 - 5 x2i112.

13、3 - 5 x 4 x 590 - 5 x 42=1.23_ i=1a = y - bx = 5 -1.23 x 4 = 0.08线性回归方程为：y = bx+a = L23x+0.08(2)当 x=10 时，y = L23x 10 + 0.08 = 1238(万元)即估计使用10年时维修费用是12.38万元。点评：本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。小结：1频率分布随着样本容量的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时， 频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线反映总体分布的频率密度曲线，基于频率分布与相应的总体分布的关系，且通常我们并不知道一个总体的分布，因此，我们往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计相应的总体分布.2统计中假设检验的基本思想是：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设.