2023年考研数学三真题

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1、2023年考研数学（三）真题 一． 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当时，与等价的无穷小量是（ ） . （2） 设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ) .若存在，则 若存在，则 .若存在，则存在 若存在，则存在 （3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论对的的是：（ ） . （4） 设函数连续，则二

2、次积分等于（ ） （5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表达需要量和价格，假如该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40 （6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( ) （A） (B) （C） (D) （8）设矩阵，则A与B（ ） （A）协议，且相

3、似 (B) 协议，但不相似 (C) 不协议，但相似 (D) 既不协议，也不相似 (9)某人向同一目的独立反复射击，每次射击命中目的的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目的的概率为 ( ) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表达X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A） (B) (C) (D) 二、填空题：11-

4、16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）. （12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________. （15）设距阵则的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节. （17）（本题满分10分） 设函数由方程拟定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数

5、 计算二重积分其中 （19）（本题满分11分） 设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分） 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间. （22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特性值是A的属于的一个特性向量.记，其中E为3阶单位矩阵. （Ⅰ）验证是矩阵B的特性向量，并求B的所有特性值与特性向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分） 设二维随机变量的概率密度为 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分） 设总体的概率密度为 .

6、 其中参数未知，是来自总体的简朴随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量； （Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 2023年考研数学（三）真题 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在后边的括号内） （7） 当时，与等价的无穷小量是（B） . （8） 设函数在处连续，下列命题错误的是： (D) .若存在，则 若存在，则 .若存在，则存在 若存在，则存在 （9） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图

7、形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论对的的是：（C ） . （10） 设函数连续，则二次积分等于（B） （11） 设某商品的需求函数为，其中，分别表达需要量和价格，假如该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D） 10 20 30 40 （12） 曲线渐近线的条数为（D） 0 1 2 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是

8、 (A) （A） (B) (C) (D) （8）设矩阵，则A与B（B） （A）协议，且相似 (B) 协议，但不相似 (C) 不协议，但相似 (D) 既不协议，也不相似 (9)某人向同一目的独立反复射击，每次射击命中目的的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目的的概率为 (C) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表达X, Y的概率密度，则在

9、条件下，的条件概率密度为 (A) （A） (B) (C) (D) 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）. （12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则. （14）微分方程满足的特解为. （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节. （17）

10、（本题满分10分） 设函数由方程拟定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】： （18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分其中 【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即 运用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得 设，其中 于是 由于，故 为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而 ，故 令作换元，则，于是且 ，代入即得 综合以上计算结果可知 （19）（本题满分11分

11、） 设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在 (2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即. （20）（本题满分10分） 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间. 【详解】： 【详解】：由于方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 的解. 即距阵方程组(3)有解的充要条件为. 当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公

12、共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为： 当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： （22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特性值是A的属于的一个特性向量.记，其中E为3阶单位矩阵. （Ⅰ）验证是矩阵B的特性向量，并求B的所有特性值与特性向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】： （Ⅰ）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特性向量. B的特性值可以由A的特性值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的所有特性值为－2，1，1. 前面已经求得为B的

13、属于－2的特性值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特性值的特性向量正交，设B的属于1的特性向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特性向量为 因而，矩阵B属于的特性向量是是，其中是不为零的任意常数. 矩阵B属于的特性向量是是，其中是不为零的任意常数. （Ⅱ）由有 令矩阵， 则，所以 那么 （23）（本题满分11分） 设二维随机变量的概率密度为 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. 【详解】： （Ⅰ），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得

14、 （Ⅱ） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是 （24）（本题满分11分） 设总体的概率密度为 . 其中参数未知，是来自总体的简朴随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量； （Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 【详解】： （Ⅰ）记，则 ， 解出，因此参数的矩估计量为； （Ⅱ）只须验证是否为即可，而 ，而 ，， ， 于是 因此不是为的无偏估计量.