N维空间几何体质心的计算方法

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1、N维空间几何体质心的计算方法 - N维空间几何体质心的计算方法 【摘要】：p ：本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解，从平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义，再由详细的例子来求解相关问题。 关键字：质心 重心坐标 平面薄板 二重积分 三重积分 一质心或形心问题： 这类问题的核心是静力矩的计算原理。 1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心： 静力矩的微元关系为dMx?yudl,dMy?xudl. 其中形如曲线Ly?f(x),a?x?b的形状体对x轴与y轴的静力矩分别为?bab-f(x)1-f(x)dx?SM?uf(x)1

2、?fyya-(x)-dx ，22设曲线LAB的质心坐标为x,y，那么x?MyM,y?Mx,M其中?M-ub?1a(f)x?x?假设在式?(?f2?)xy?为dxLAB的质量，L为曲线弧长。 ulMyM与式2MxM两端同乘以2?，那么可得到2b-?2?xl-2?bfx(?)f1xdx?(S)2?yl?2?f(x)1?f(x)?dx?SxSaya-?,其中x与Sy分别表示曲线LAB绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。 2均匀密度平面薄板的静力矩与质心： 设f(x)为?a,b?上的连续非负函数，考虑形如区域D-(x,y)a?x?b,0?y?f(x)?的薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形

3、MNPQ的形心坐标为(y,1f(y),x?y?x-x2，当分割无限细化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中1(x,f(x)2于点处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有dMx?u1f(x)f(x)dx2，dMy?uxf(x)dx.两个静力矩为Mx?u?ba12b?f(x)dxM?uxaxf(x)dx?2,.设质心坐标为(x,y)，那么有x?MyM?uM?baxf(x)dx，y?MyM?uM?ba12bf(x)dxM?uaf(x)dx?MA?2.其中为该均匀密度薄板的质量，A为面积。 二平面图形的重心： 给定一个曲线y?f1(x),y?f2(x),x?a,x?b围成的图形，它是一个

4、物质平面图形，我们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各局部都等于?.将所给图形用直线x?a,x?x1,?,x?xn?b，划分成宽为?x1,?x2,?,?xn的窄条，每个窄条的?xi为底，高为f2(?i)?f1(?i)的质量等于它的面积和密度?的乘积。假如每个窄条用以矩形来代替，其中?i?xi?1?xi2，那么这窄条的质量将近似等于，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重?mi-?f2(?i)?f1(?i)-xi(i?1,2,?,n)(xi)-i,(yi)c?心上：f2(?i)?f1(?i)2如今把每个窄条用一个质点来代替，它的质量等于对应窄条的质量，并且集中于该窄条的重心处，

5、我们来求整个图形的重心坐标的近似xc?值。-f(?)?f(?)-x-?f(?)?f(?)-xi2i1i2i1iii，1-f1(?i)?f2(?i)?i-f2(?i)?f1(?i)-xi2yc-f2(?i)?f1(?i)-xi当max?xi?0xc时取极限，那么得x?f(x)?f(x)?dx-f(x)?f(x)?dxba21ba21，1ba?f2(x)?f1(x)-f2(x)?f1(x)?dx?yc?2b?a?f2(x)?f1(x)?dx.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看出重心的坐标是与密度无关的。例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标如图 解：在这种情况下，f2(x)?ax,f1(x)-a

6、x, 2?2ax55a205a20xc?因此 a2?0xaxdxa2?0axdx?22a?x53?a5 ,yc?0. 三重心 1.物体的重心是指物体各局部所受重力的合力的作用点，在消费实际中，常常要确定物体的重心。例如：炼钢用钢水包的包轴位置，就与钢水包的重心有关，假如包轴 低于重心，用天平调动钢包时就会翻转，假如包轴高于重心过多，那么倒出钢水时翻转困难。因此，我们总是将包轴安装于略高于重心的地方，这时显然需要确定重心的位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置，显然，假设于其重心处支持之，那么此薄板必保持程度平衡而不倾斜。 设均匀薄板是由曲线y?y1(x)，y?y2(x)

7、和直线x?b围成的平面图形，我们要求此平面的重心G(x,y)，用u表示此薄板单位面积的重量，那么微面积ds的重量为u(y1?y2)dx，(x,其重心G的坐标为y1?y2b)u(y?y2)dx2，显然整个薄板的重量为?a1，由力学知，合力对任一轴的力矩，等于各分力对该轴力矩之和，取对y轴的力矩，得?ub-x?b(y?y)dx(?a121ydx2)?auxy-?,取对x轴的力矩得y1?y2b?ub?(y?y)dx?y?u(y?y)?2?a122dx,由此两式，-a1?即得确定薄板重心坐标的公式： x(y?y)dx-x-?(y?y)dx12ba12babax(y1?y2)dx122(y?y)dx12

8、?2y-b?a(y1?y2)dxba?ba-s-?(1)122(y1?y2)dx?2?s- 其中s标薄板的面积，由公式(1)知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关，而与薄板单位面积的重量无关。 特别，假设bay2(x)?0，那么得曲边梯形薄板重心坐标公式: ba12xydx?2ydx?x?by?bydxa?aydx?,. 例：试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。 s?解：由于?R222222,y1?R?x,y2-R?x,故知重心G的坐标(x,y)为： ?x?bax(y1?y2)dxs?R2?0xR2?x2dx1?R222(R2?x)-?3?R22322R?04R?0.42R3?， y-ba122(

9、y1?y2)dx2?0s. 四利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心 设有非均匀平面薄板D，其上每点的密度为-?(x,y)，设薄板D的重心坐标为(x,y)，考虑D中微面积dD，它的微质量为： dm-(x,y)dD，它关于y轴与x轴的力矩分别为： xdm?x?(x,y)dD与ydm?y?(x,y)dD 把这些微质量的力矩加起来，即得薄板D关于y轴与x轴的力矩为： -xdm-?x?(x,y)dD?DD-x?(x,y)dxdyD-ydm?y)dD?D-y?(x,D-y?(x,y)dxdyD 薄板的总质量，于是根据重心的定义，得求重心坐标的公式： -xdm-x?(x,y)dxdy?x?DD?m-(x,

10、y)dxdyD-?ydm?(2)y-?y?(x,y)dxdy?D?D?m-?(x,y)dxdy?D- 特别，假设薄板是均匀的，即?(x,y)?常数，那么得求均匀薄板重心坐标公式：xdxdyx-?DDy-?ydxdyD，D. xdxdy?badx?yy2(x)b1(x)xdy-ax?y2(x)?y1(x)?dx对于均匀薄板，我们有-D?， ?y2(x)-ydxdy-by?adx?y2(x)by21(x)ydy-D?a-?2y?dx1(x)-?b122a2-y2(x)-?y1(x)-dx故 与x?y?x?ba2?y1?dx，Dy-ba12y2?y12?dx?2D. 五设一立体在空间占据区域T，那么

11、立体的体积为 V-dxdydzT 设-?(x,y,z),(x,y,z)?T是立体在点(x,y,z)的密度，其中T是它所占据的空间区域，那么该立体的质量为 立体重心的坐标公式为： TM-?(x,y,z)dxdydz1Vx-xdxdydzTy?，1V-?ydxdydzTz?，1V-?zdxdydzT. 这里x，y，z是区域T的几何重心的坐标。 例：求平面x?0,z?0,y?1,y?3,x?2z?3所围之棱柱的重心坐标。 解：先求棱柱的体积 V-dxdydz-dx?dy?T3-30dx?130313?z20dz3?xdy-30(3?x)dx231?(3x?x2)20?92 如今求重心的坐标 3?x2

12、238x-xdxdydz-0xdx?1dy?02dz?19T9， 3?x2238y-ydxdydz-0dx?1ydy?02dz?29T9， 3?x22318z-zdxdydz-0dx?1dy?02zdz?9T92. R?E?【参考文献】：p ：1.微积分与解析几何，电子工业出版社，1985年11月出版， 约翰逊 F?L?基奥克斯特。 2微分与积分学，吉林人民出版社，1983年9月出版， N?PISKUNOV 3.数学分析p ，山东科学技术出版社，1985年出版， 郭大钧 陈玉妹 袭卓明 4高等数学解题手册，天津科学技术出版社，1983年12月出版， 丹科 波波夫 科热夫尼科娃。 第 9 页 共 9 页