2023年抛物线及其性质知识点大全

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1、抛物线及其性质1抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线2抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表达焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标 准方 程焦 点位 置X正X负Y正Y负焦 点坐 标准 线方 程范 围对 称轴X轴X轴Y轴Y轴顶 点坐 标（0,0）离心率通 径2p焦半径焦点弦长焦点弦长的补充认为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为，若的倾斜角为，则 3抛物线的几何性质：(1)范围：由于p0，由方程可知x0，所以抛物线在轴的右侧， 当的值增大时，|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方

2、向(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p(4) 焦点弦：抛物线的焦点弦，,则 弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为，则（0）。(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径 (5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：,是抛物线上两点，则6.直线

3、与抛物线的位置关系直线，抛物线，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k0时， 0，直线与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线与抛物线相切，一个切点； 0，直线与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用解决方法直线： 抛物线， 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得a. 在涉及斜率问题时，b

4、. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为， 即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【经典例题】 （1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）相交 相切 相离 位置由P拟定【解析】如图，抛物线的焦点为，准

5、线是.作PH于H，交y轴于Q，那么，且.作MNy轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：（1） （2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作，.两式相加即得：（2）当ABx轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：方程（1）之二根为x1，x2，.故不管弦AB与x轴是否垂直，

6、恒有成立.（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程两边取导数：.由点斜式方程： y0y=p（x+x0）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会故意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，

7、那么：以下再举一例【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为，那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷.10题

8、）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为：. 由设方程（1）之两根为x1，x2，则.设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生

9、对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，通过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积（ ）A B C D【解析】如图直线AF的斜率为时AFX=60.AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则且KFM=60，.选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式计算. （2）本题假如用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简朴.（3）定义法追本求真的简朴一着许多解析几何习题咋看起来很难.

10、但假如返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简朴.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）A B C D【分析】 这道题假如用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作 ，令.点M在抛物线上，这就是说：的实质是离心率e.另一方面，与离心率e有什么关系？注意到： . 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.选 A.（4）三角法自身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.运用三角手段，可以比较容易地将异名

11、异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实行“九九归一”达成解题目的.因此，在解析几何解题中，恰本地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线通过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】（）焦点F（2，0），准线.（）直线AB：代入（1），整理得：设方程（2）之二根为y1，y2，则.设AB中点为AB的垂直平分线方程是：.令y=0，则故于是|FP|-|FP|cos2a

12、=，故为定值.（5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.【解析】假定在抛物线上存在这样的两点线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且.设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为： （6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当n时，这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】设OA上第k个分点为第k个三角形的面积为： .故这些三角形的面积之和的极限