2023年函数的单调性知识点与题型归纳

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1、高考明方向1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，运用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等客观题重要考察函数的单调性，最值的拟定与简朴应用2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理名师一号P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一 函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或

2、减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：1、名师一号P16 问题探究 问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数2、名师一号P16 问题探究 问题2单调区间的表达注意哪些问题？单调区间只能用区间表达，不能用集合或不等式表达；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结知识点二 单调性的证

3、明方法：定义法及导数法名师一号P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 运用定义证明函数单调性的一般环节是：任取x1、x2D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数；假如f (x)0， 则为减(增)函数，为增(减)函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数fg(x)为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数fg(x)为减函数 简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反函数单调性的应用名师一号P17 特色专题 (1)

4、求某些函数的值域或最值(2)比较函数值或自变量值的大小(3)解、证不等式(4)求参数的取值范围或值(5)作函数图象二、例题分析：（一) 函数单调性的判断与证明例1.（1）名师一号P16 对点自测 1判断下列说法是否对的(1)函数f(x)2x1在(，)上是增函数()(2)函数f(x)在其定义域上是减函数()(3)已知f(x)，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数()答案：例1.（2）名师一号P16 高频考点 例1（1）(2023北京卷)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案：A.例2.（1）名师一号P16 高频考点

5、例1（2）判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并证明法一：定义法设1x1x2，则f(x1)f(x2)1x1x2，x1x20，x210.当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递增同理当a0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递减法二：导数法注意：名师一号P17 高频考点 例1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般环节为： 取值作差变形判号定论， 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简朴快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调

6、性区间例1.名师一号P16 高频考点 例2（1）求函数yx|1x|的单调增区间； yx|1x|作出该函数的图象如图所示由图象可知，该函数的单调增区间是(，1例2.（1）名师一号P16 高频考点 例2（2）求函数ylog (x24x3)的单调区间解析:令ux24x3，原函数可以看作ylogu与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x3.函数ylog (x24x3)的定义域为 (，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为

7、(，1)注意：名师一号P17 高频考点 例2 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)运用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再运用单调性定义(3)图象法：假如f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：运用导数的正负拟定函数的单调区间例2.（2）(补充)答案：增区间：；减区间：练习:答案：增区间：；减区间：（三）运用单调性解（证）不等式及比较大小例1.（1）名师一号P17 特色专题 典例(1)已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x

8、2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0【规范解答】函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.例1.（2）名师一号P17 特色专题 典例(2)已知函数f(x)则不等式f(a24)f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4) C(1,4) D(3,5)【规范解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1a4，所以不等式的解集为(1,4) 注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已

9、知单调性求参数的值或取值范围例1.(1)名师一号P17 特色专题 典例(3)已知函数满足对任意的实数x1x2，都有成立，则实数a的取值范围为()A(，2) B. C(，2 D.【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.例2.(1) （补充）假如函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案，0解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上单调递增，故在(，4)上单调递增；(2)当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x，由于f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0，则由f (x)0得x，当x时，f (x)0，f

10、(x)单调增，当x时，f(x)单调减，f(x)的单调减区间为(，)，从而2，a2.变式：若f(x)x36ax在区间(2,2)单调递减， 则a的取值范围是？点评f(x)的单调递减区间是(2,2)和f(x)在(2，2)上单调递减是不同的，应加以区分本例亦可用x2是方程f (x)3x26a0的两根 解得a2.例2.(3) （补充）若函数上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A9，12 B4，12 C4，27 D9，27答案：A温故知新P23 第9题若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 计时双基练P217 基础7计时双基练P217 基础8、108、设函数在区间上是增函数,那么的取值范围是 答案:

11、10、设函数（2）若且在区间内单调递减,求的取值范围.答案: （五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足f(|)f(1)的实数x的取值范围是( )A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)答案：C解析：由于f(x)为减函数，f(|)1，则|x|0且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A(0,1) B，1) C(0， D(0，分析：f(x)在R上为减函数，故f(x)ax(x0)为减函数，可知0a1，又由f(x)在R上为减函数可知，f(x)在x0时的值恒大于f(x)在x0时的值，从而3a1.解析：f(x)在R上单调递减，a1，又由f(x

12、)在(，1)上单增，3a0，a3，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(，1上的最大值35a要小于等于f(x)在1，)上的最小值0，才干保证单调区间的规定，35a0，即a，由可得1a3.解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，故选D.点评f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(，1)上和1，)上都是增函数，还要保证x11，x21时，有f(x1)f(x2)练习3：若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，) B1，)C1,2) D，2)答案B解析由于f(x)定义域为(0，)，f (x)4x，由f (x)0，得x.据题意，解得1k，选B.练习4:已知函数(1) 若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 . 解析:若函数在上是单调增函数由于开口方向向上，所以即即时条件成立； （2）已知函数，若函数的单调递减区间是，则的值是 . 解析:若函数的单调递减区间是所以是方程的两个实数根,由韦达定理，(3)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .解析:若函数在上是单调增函数 分类讨论： 当即即 条件成立； 当，即 或条件成立；综上，条件成立，为所求.