2023年内蒙古机电职业技术学院数学单招试题测试版附答案解析

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1、时间：45分钟分值：100分1函数f(x)lnxx在区间(0，e上的最大值为_2函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是_3已知alnx对于x恒成立，则a的最大值为_4用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，规定长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积是_m3.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_6函数f(x)x2lnx的最小值为_7已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件8若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_9已知函数f(x)x3ax2bxc，x

2、2,2表达过原点的曲线，且在x1处的切线的倾斜角均为，则以下命题：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且只有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于零其中对的命题的序号为_10已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是_11若函数f(x)loga(x3ax)(a0，a1)在区间内单调递增，则a的取值范围是_12设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为_13(8分)求函数f(x)x3x22x在区间3,3上的最大值与最小值14(8分)已知函数f(x)的导数f(x)3x23ax，f(0)

3、b，a，b为实数，1a0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表达为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值16(12分)已知函数f(x)xalnx，其中a为常数，且a1.若f(x)e1对任意xe，e2恒成立，求实数a的取值范围参考答案【基础热身】11解析 f(x)1，故f(x)在(0,1)上递增，在(1，e上递减，所以最大值为f(1)1.216解析 令f(x)123x20，得x2.f(2)16，f(3)9，f(2)16，f(3)9，f(x)min

4、f(2)16.30解析 设f(x)lnx，则f(x)，当x时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.43解析 设长方体的宽为x，则长为2x，高为h4.53x，故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)或x1，当0x1时，V(x)0；当1x时，V(x)1；由得0x0，解得9x9；令yx2810，解得x9，所以函数yx381x234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，所以在x9处取极大值，也是最大值8.1解析 f(x)，当x时，f(x)

5、0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增当1，即a1时，f(x)的最大值为f()，1，矛盾，当1，即0a1时，f(x)的最大值为f(1)，a1，经检查符合题意9解析 函数f(x)过原点，c0.由题意得f(x)3x22axb，且f(1)1，f(1)1.a0，b4.f(x)x34x，故对的f(x)3x24，f(x)有两个极值点，故错误又f(x)是奇函数，f(x)maxf(x)min0.故对的10m解析 由于函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，经检查知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒

6、成立，所以3m9，解得m.11.解析 当0a1时，由函数g(x)x3ax在区间内单调递增，得g(x)3x2a0对x恒成立，有a0，显然不符综上，a.124解析 由函数f(x)ax33x1，得f(x)3ax23.(1)若a0，则f(x)3x1，显然x1,1时f(x)0不恒成立，所以a0；(2)若a0，f(x)3ax230，所以此时f(x)在1,1上单调递减，所以x1,1时，f(x)minf(1)a2，从而只需a20，所以a2，与前提a0矛盾；(3)若01，令f(x)3ax230，得x1,1，所以此时f(x)在1,1上的单调性如下表：x1f(x)0f(x)f(1)极大值x1f(x)0f(x)极小值

7、f(1)所以只需即可，即a4.13解答 f(x)x3x22x，f(x)x2x2.令f(x)0得x2或x1.则x，f(x)，f(x)的变化情况如下：x3(3，2)2(2,1)1(1,3)3f(x)00f(x)6由上表知，在区间3,3上，当x3时，f(x)max，当x1时，f(x)min.14解答 (1)由已知得，f(x)x3ax2b，由f(x)0，得x10，x2a.x1,1，1a0，f(x)递增；当x(0,1时，f(x)0，f(x)递减f(x)在区间1,1上的最大值为f(0)b，b1.又f(1)1a12a，f(1)1a1a，f(1)0.从而点C处的污染指数y.(2)由于a1，所以y，yk，令y0

8、，得x，经检查x时，y取得最小值，故6，解得b8，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度b的值为8.16解答 f(x)1，令f(x)0，得10，即xa.当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增(1)若1ae，即ea1，易得函数f(x)在e，e2上为增函数，此时，f(x)maxf(e2)，要使f(x)e1对xe，e2恒成立，只需f(e2)e1即可，所以有e22ae1，即a，而(e)0，即e，所以此时无解(2)若eaae2，易知函数f(x)在e，a上为减函数，在a，e2上为增函数，要使f(x)e1对xe，e2恒成立，只需即由(1)0，得e2a.(3)若ae2，即ae2，易得函数f(x)在e，e2上为减函数，此时，f(x)maxf(e)，要使f(x)e1对xe，e2恒成立，只需f(e)e1即可，所以有eae1，即a1，又由于ae2，所以ae2.综上所述，实数a的取值范围是.