2023年全国初中数学联合竞赛试题及答案

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1、年全国初中数学联合竞赛试题2023年全国初中数学联赛预赛试卷及答案2023年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2023年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2023年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2023年全国初中数学联赛2023年4月13日上午8：309：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a b，则代数式+的值为（ ）（A）5 （B）7 （C）9 （D）112、如图，设AD，BE，CF为ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（ ）（A） （B）4 （C） （D）3、从分别写有数字

2、1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）4、在ABC中，ABC = 12，ACB = 132，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）（A）BM CN （B）BM = CN （C）BM 0，0 1，故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件0 x 1的一切实数x恒成立

3、，所以它的判别式= ( 2 a + 1 ) 2 4 a ( 1 + a + b ) 0，即a b 。由方程组 （3）消去b，得16 a 4 16 a 2 + 1 = 0，所以a 2 =或a 2 =。又由于a 0，所以a 1 =或a 2 =，于是b 1 =或b 2 =。所以a b的最小值为，此时a，b的值分别为a =，b =和a =，b =。二、（本题满分25分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB = BC。（1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。解：（1）连OA，OB，OC，AC，由于O为圆心，AB = BC，所

4、以OBAOBC，从而OBA =OBC，由于ODAB，DBBC，所以DOB = 90 OBA = 90 OBC =DBO，所以DB = DO，因此点O在圆D的圆周上；（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC。设AC = 2 y（0 0，0 1，故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件0 x 1的一切实数x恒成立，所以它的判别式= ( 2 a + 1 ) 2 4 a ( 1 + a + b ) 0，即a b 。由方程组 （3）消去b，得16

5、 a 4 16 a 2 + 1 = 0，所以a 2 =或a 2 =。又由于a 0，所以a 1 =或a 2 =，于是b 1 =或b 2 =。所以a b的最小值为，此时a，b的值分别为a =，b =和a =，b =。二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同。三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同。第二试 （C）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同。二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同。三、（本题满分25分）设a为质数，b，c为正整数，且满足 ，求a ( b + c )的值。解：（1）式即() 2 =，设m =，n =，则2 b c = （3

6、），故3 n 511 m + 6 a = 0，又n = m 2，所以3 m 2 511 m + 6 a = 0 （4），由（1）式可知，( 2 a + 2 b c ) 2能被509整除，而509是质数，于是2 a + 2 b c能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式= 511 2 72 a为完全平方数。不妨设= 511 2 72 a = t 2（为自然数），则72 a = 511 2 t 2 = ( 511 + t ) ( 511 t )，由于511 + t和511 t的奇偶性相同，且511 + t 511，所以只也许有以下几种情况：，两式相加分别得3

7、6 a + 2 = 1022，18 a + 4 = 1022，12 a + 6 = 1022，6 a + 12 = 1022，均没有整数解；，两式相加分别得4 a + 18 = 1022，解得a = 251；2 a + 36 = 1022，解得a = 493，而493 = 17 29不是质数，故舍去。综合可知a = 251。此时方程（3）的解为m = 3或m =（舍去）。把a = 251，m = 3代入（3）式，得2 b c = 7，即c = 2 b 7，代入（2）式得b ( 2 b 7 ) = 2，所以b = 5，c = 3，因此a ( b + c ) = 251 ( 5 + 3 ) = 2023。