创意平板折叠桌建模

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1、创意平板折叠桌建模布慧楠1402214026侯爽 1402214025张力琨 1402214041摘要折叠家具突破传统家具的设计模式，通过折叠可以将面积或体积 较大的物品尽量压缩。细细品味，会发现一种独特的美感，更别说他 们还无一例外地兼具到了实用主义。或拥有灵活自由的使用方式，或 功能多样化，为居室腾出不少空间。某公司设计了一款折叠桌，并以 此为背景提出了三个问题，本文利用受力分析、几何知识、以及非线 性优化模型等解决了问题。针对问题一，给定了给定了一块木板的长度、宽度和高度、木条 的宽度，以及折叠桌的高度，利用折叠桌的对称性，以任一桌脚为原 点，建立空间直角坐标系通过几何模型观察桌面与桌脚

2、木条角度的关 系，计算出每条桌角木条顶点处的坐标。利用 Matlab 程序，画出桌 脚边缘线的变化。最后根据桌角边缘线的变化，画出折叠桌的动态变 化。针对问题二，针对稳定性好、加工方便、用料最少三个限制条件 求出非线性规划的目标函数和限制函数。由于要求稳定性好，所以桌 子应该能承受最大的力量。在保证稳定性的条件下，如何用最少的木 条和选择最佳设计加工参数。针对问题三，公司开发出一种折叠桌设计软件，根据客户任意设 定的折叠桌长度、高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致 形状，给出所需材料的形状、尺寸，以及切实可行的加工参数。最后，对建立的模型和求解方式做一个客观评价，并指出改进方 式。1、

3、问题重述1.1引言创意折叠木制品为了表现木制品的优雅和设计师所要表达的优 雅和功能性。为了增大有用面积，将木板的宽为直径做圆的直径，将 剩余部分成了若干长短不同的木条。分别用两根钢筋固定两侧的木 条，使用者只需提起木板两侧，便可在重力作用下成为桌子。 1.2问题的提出(1) 给定长方形平板尺寸120 cm X 50 cm X 3 cm,每根木 条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位 置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变 化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数。(2) 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。 对于任意给定的

4、折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形 平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、 开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设 计加工参数。(3) 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的 折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产 的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出 这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设 计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张 动态变化过程的示意图。2. 问题假设1

5、.忽略加工误差。2.木条紧密连接，无缝隙。3. 木条与桌面连接处无缝隙。4. 忽略开槽宽度。3.符号说明D木条宽度（cm）x缝宽L木板长度（cm）W木板宽度9（cm）N木条根数i1木板从外起第一条木条长度ln木板从外起第n条木条长度H桌子高度（cm）R桌面半径（cm）h0桌子厚度（cm）4、模型建立及求解4.1 问题一的模型建立及求解：(1) 考虑问题一时，首先要分析题目中给了哪些相关的量，题目 中最先提出了桌面为圆形，可以从直径入手。由平板的长宽高和木条 的宽度可以得到木条的数量，其中还有钢筋和卡槽的位置都可以作为 求解时的数据。(2) 画出折叠桌的平面俯视图以及侧视图如图4.1.1和图4.

6、1.2所图 4.1.2其中平板长为120cm，宽度为50cm，每根木条宽度为2.5cm,由 圆的对称性我们只需对四分之一(右下)圆进行分析，如图：我们由外 向内进行计算，每根木条桌椅最内侧 D到E距离：a = Jr2 - b2iiii则每根木条长度为C二1 s -a，再根据木桌完全展开后桌腿侧面图进i 2 0 i行 分 析 如 图 ， 可 算 得 各 开 槽 长 度 占+ (c -*(才)2-()2 -c )-吟-a -= k，其中有平板长度和木条宽度 可以得到四分之一圆(右下)共有十根木条。(3) 以任意一个桌脚为原点建立空间直角坐标系。设定最外层桌腿与X轴的夹角为a，标注出钢筋的所在位置。

7、如下图所示：0图 4.1.3(4) 用MATLAB编程，(见附录程序一)可得到每条桌腿木条的长度和开槽的大小，由于桌腿木条分为两组，每组有20 根木条，且每组桌腿也对称。所以表格中只列出 1/4 的桌腿木条长度和卡槽大小。得到的数据如下：表 4.4.4 折叠桌腿和开槽长度12345678910C52.146.843.441.039.137.636.535.735.235.0K05.510.615.018.721.623.925.526.627.2(5) 因为折叠桌的沿中心轴对称，所以我们只以 1/4 的桌子来考 虑，其他的对称就行，由于平板为长方体，所以每根木条的桌脚在钢 筋轴的下方加上各自的

8、开槽长度相等，即最外侧桌脚长度的一半，在 前面我们已经求出了每根木条的卡槽长度，在桌椅完全展开的情况下 求得木条与桌面的最大夹角a，对于任意角度都满足一个函数等 式x二c *cos a-(60-ci-ci*cos a)，就由此可求出多组木条桌脚顶点的 12轨迹，即桌脚边缘线的数学描述。如图4.1. 4为用MATLAB程序(见 附录程序三)画出的平板折叠后静态的边缘线。图4.1.5描述了边缘 线一系列的运动过程。图 4.1.5（7）做动态图时，首先要建立直角坐标系，假设桌腿木条和桌面的60 一 c 一 c *cos Q、夹角为x二ci*cos -（p），以桌面圆心为坐标系原点建立空间直角坐标系，

9、根据题目已给的参数和几何关系分别表示出桌面x,y,z坐标函数。根据这些函数，应用MATLAB程序（见附录程序二）画出折叠桌的动态图。以下为动态图的四个动态过程。4.2问题二模型建立与求解(1) 根据问题二题目要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工 方便、用材最少，对与顾客任意给定桌面的高度和木条宽度 h ，m 进 00 行折叠桌椅设计，通过建立多目标优化模型来求解。(2) 产品的稳定性：对桌椅四分之一桌腿进行力矩分析如图4.2.1 所示，若要桌椅的稳定新较好择期受力要稳定，通过问题一已得结果 对我们的可以轻易的知道在桌椅完全展开后，随着最外侧支撑木条桌 椅逐个内侧增加时，桌椅木条与桌面的夹角

10、是逐渐增大的。对完全展 开后的桌椅进行受力分析如下图：图 4.2.1(3) 我们整体的对受力最复杂的钢筋进行受力分析，简化模型，此 时只存在两种木条，一种是木条与桌面夹角小于 90，另一种则是 木条与桌面夹角大于 90只有这样钢筋的受力分析才能达到如图效 果，如果木条与桌面全部小于或大于 90则受力不可能达到稳定， 有考虑到每根木条的受力大小均衡，在木条夹角渐变过程是与桌面夹 角大于或小于 9的木条数应该尽可能相等，所以我们对四分之一桌 d角的中间桌腿与桌面夹角经行分析的到方程及其约束条件打 90。加工方便：我们建立模型时要求在满足顾客要求的同时尽可 能的是木条宽度最大，因为在实际生产中，模板

11、是整体进行切割，如 果木条宽度越大则木条数九越少这样在实际模板切割的时候难度就 会减低，从而达到加工方面的优化。用材最少：由问题已可知在给定模板宽度以及高度时，要是所用木材 最少即为模板的长度最小，在模型中我们以最中间的木条建立约束条 件，在满足参数要求的同时使得内侧木条最短则整个模板就是最短 的，从而达到用材最少的优化目标，由问题一中的图可知在桌子完全 展开后最内侧的桌腿想上移动距离是最大，再钢筋刚好达到该木条最 下端是此时是一个临界值，可得约束条件 心-s-(d -1)cos 0)2 +怡h -d 0。通过以上分析建立多目标优化.0 i 0ci方程如下：1、min z=s02、1二一s2

12、03、c =i4、sin d05、(s s (d t)cos d)2 + 0 i 0h c h t ,_4 d 0ci16、h c01(4) 求得的结果如下：MATLAB程序见附录程序四表 4.2.2 问题二的最优设计加工参数12345678910C81.572.467.063.060.057.756.054.854.253.9K04.68.311.614.416.618.419.720.420.74.3 问题三模型建立与求解(1) 是在第二问的基础上继续完善数学模型，将模型转换为带坐标 的方程格式，将其余的设计参数设置成桌高、木条数、边缘线坐标等 的方程，形成一系列数量关系式，达到只要我们将

13、客户需求的数据输 入关系式，就会得出一组设计参数，此功能可以在 MATLAB 或者 EXCEL 中实现，设置好自己的未知数和方程(请记得将公式文件或者编程代 码放在附件中)，然后随便赋值，直接得出设计参数。最后就是随便 给一组数据(客户需求)设计一款成品。通过赋值，得出设计参数，利 用三维软件制作出来。注：尺寸分析尽量用机械软件分析，数据精确度高，动态分析利 用仿真能达到，机械软件初学者还是建议用 3D 仿真，因为机械软件 运动仿真过程繁杂，3D仿真效果随意，而且灯光效果不错，但机械 软件对许多尺寸设计合理与否能检测出来，截屏保存，仿真后感兴趣 的同学可以输出 GIF 格式的图片或者视频，如果

14、所有软件都是初学者，仿真不能达到就只能随机找到8 个动态位置装配完成截屏保存就行，这种办法不能检测设计参数合理与否，不到万不得已不建议用这种办法。软件选择有利有弊，一定要根据自己的实际情况选择。（2）创意折叠桌一：其桌面为菱形，通过问题一程序的改变便 可以做出动态图。根据程序运行的结果，可比较出菱形桌较圆形桌虽 然桌面面积有所下降，但折叠桌高度增加，此折叠桌设计更适用于较 高人群使用。同时，由于菱行曲线较圆形曲线设计更为简单，误差更 小。所以加工方便。（MATLAB见附录程序五）(3)动态图：5、模型分析通过观察此模型求出的参数与实际木桌的尺寸进行比较，基本满 足实际木桌的数值，说明此模型求出

15、的结果是符合要求的，具有较高 的可行性、可信度。可以认为在参数的求解过程中，空间模型建立过 程到问题的求解，误差在一定范围内；可以认为此模型，算法程序设 计使用符合题目的要求。通过与实际承诺书对比比较，具有较大的参 考价值。6、模型的评价模型的优点：(1) 将实物桌子的桌腿和桌面转化为点、线、面的问题，简化了 问题的复杂性，降低了计算难度。(2) 模型利用了计算机的能力和人的空间分析能力，使得模型的 可实际参考价值增大。(3) 模型采用了多种数学方法，减小了数字处理的误差，提高了 结果的可行度。模型的缺点：(1) 没有考虑桌腿和桌面的厚度。(2) 没有考虑人工的感干预时的误差影响。(3) 没有

16、考虑到实际桌子的生产情况，使得数据可用度降低。7、模型的改进与推广基于所建立的模型，求出的一系列参数，在实际参考价值来看还 是有较大的误差，此模型通过对问题剖析，结合生活实际，综合木桌 子的实际数字，建立空间坐标系，将复杂的问题变成空间几何问题， 再将桌面和桌椅的厚度忽略不计，使得我们所建立的模型难度降低， 可以快速的求出参数。整个求解过程中，模型的假设信息作为求解问题的前提被使用， 在问题求解后，对结果得出的整个过程进行分析，结合实际木桌的尺 寸，可以考虑在木桌的预处理时对所求模板进行有效的空间切割，从 而使的更方便与参数的求解和减少模型求解过程的误差。模型的改 进，在上述过程中，对桌椅的厚

17、度加以考虑使得模型求出参数更加真 实。通过本文提出的方法模型，可以有效的处理该类产品的实际生 产过程中的尺寸计算问题，这样就可以减少实际新产品生产前期的产 品设计费用，以及产品的废品率，对生产此类工艺的厂家，及艺术家 都有一定的参考价值。8、参考文献1 姜启源等，数学模型M,高等教育出版社，20092 卓金武等，MATLAB在数学建模中的应用M,北京航空航天大学出 版社，20113 吴赣昌，概率论与数理统计M,中国人民大学出版社，20064 陈烨.用于连续函数优化的蚁群算法J.四川大学学报(工程 科学版),2004,36(6)5 谢中华,MATLAB统计分析与应用：40个案列分析，北京航空航天

18、 大学出版社，2010附录程序一：问题一求桌腿长度、卡槽长度以及折叠桌整个折叠过程中的 动态图程序：clearL=120;D=50;d=2.5;hL=L/2;R=D/2; %木板长；宽；腿木条宽；半长；圆桌面半径ye=-R+d/2:d:R-d/2; %折叠点的 y 坐标,20 个xe=sqrt（R八2-ye.八2）; %折叠点的x坐标,20个legL二hL-xe%桌腿长度，20个hH=legL(1)/2; %最长腿半长ddeg=2; %角度增量Tx=xe -xe;xe -xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx); %桌面数据Ty二ye-d/2 fliplr(ye)+d/2;y

19、e+d/2 fliplr(ye)-d/2;%桌面在 y 轴 上的数据，fliplr函数实现矩阵的左右翻转Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe; %桌腿数 据legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2;legz=zeros(size(legx); zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2;zhouy=-R R;zhouz=0;0; %钢筋轴数据yb=linspace(ye(1),ye(end),50);xb=sqr t(R八2-yb.八2);Bx=hL*ones(size(xb);B

20、y=yb;Bz=zeros(size(xb); %腿尖曲线数据figure(l),clf;%画底图，清除以前的图片hold onh1=patch(Tx,Ty,Tz,facecolor,1 1 1,edgecolor,0 0 0);% 画桌面h2=patch(legx,legy,legz,facecolor,1 1 1 edgecolor,0 0 0);%画桌腿h3=patch(-legx,legy,legz,facecolor,1 1 1, edgecolor,0 0 0);%画桌腿h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz,c);h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhou

21、z, c);%画钢筋轴 h6=plot3(Bx,By,Bz,k);h7=plot3(-Bx,By,Bz, k);%腿尖曲线hold off;view(3);axis equal;axis(-hL hL -R R 0 2*hH);axisoff;for deg=0:ddeg:75%最长桌腿相对桌面折叠角度zz二-hH*sind(deg);xz二xe(l)+hH*cosd(deg); %钢筋轴,z 坐标和 x坐标alldeg二atan2(-zz*ones(size(xe),xz-xe); %每个条腿折叠角 度,20个allx=legL.*cos(alldeg)+xe;%每条腿末端 x 坐标，20个

22、allz=-legL.*sin(alldeg);%每条腿末端 z 坐标，20个alldeg2=atan2(-zz*ones(size(xb),xz-xb);Bx=(hL-xb).*cos(alldeg2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);% 腿尖曲线x数据minz二min(Bz);%最低腿z坐标，桌子当前高度legx=allx;allx;xe;xe; % 桌腿数据legz=allz;allz;zeros(size(allz);zeros(size(allz)-minz; set(h1,ZData,-minz*ones(size(Tz);set(h2,XData,leg

23、x,ZData,legz);set(h3,XData,-legx,ZDa ta,legz);set(h4,XData,xz;xz,ZData,zz;zz-minz); set(h5,XData,-xz;xz,ZData,zz;zz-minz);set(h6,XData,Bx,ZData,Bz-minz);set(h7,XData,-Bx,ZDat a,Bz-minz);pause(0.1);drawnow;endcaochang二sqr t( (xe-xe(l).八2+hH.八2-2*hH.*(xe-xe(l).*cos(all deg)-(legL-hH)程序二：选取不同的角度，折叠图的过程

24、状态clearL=120;D=50;d=2.5;hL=L/2;R=D/2; %木板长；宽；腿木条宽；半长； 圆桌面半径deg=75ye二-R+d/2:d:R-d/2; %折叠点的 y 坐标,20 个xe=sqrt(R八2-ye.八2); %折叠点的x坐标,20个legL二hL-xe%桌腿长度，20个hH=legL(1)/2; %最长腿半长ddeg=2; %角度增量Tx=xe -xe;xe -xe ; Tx=Tx ( : ) ; Tz=zeros (size (Tx) ) ; %桌面数据Ty=ye-d/2 fliplr(ye)+d/2;ye+d/2 fliplr(ye)-d/2;%桌面在 y 轴

25、 上的数据，fliplr函数实现矩阵的左右翻转Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe; %桌腿数 据legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2;legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2;zhouy=-R R;zhouz=0;0; %钢筋轴数据yb=linspace(ye(1),ye(end),50);xb=sqr t(R八2-yb.八2);Bx=hL*ones(size(xb);By=yb;Bz=zeros(size(xb); %腿尖曲线数

26、据figure(l),clf;%画底图，清除以前的图片hold onh1=patch(Tx,Ty,Tz,facecolor,1 1 1,edgecolor,0 0 0);% 画桌面h2=patch(legx,legy,legz,facecolor,1 1 1edgecolor,0 0 0);%画桌腿h3=patch(-legx,legy,legz,facecolor,1 1 1, edgecolor, 00 0);%画桌腿 h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz,c);h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz, c);%画钢筋轴 h6=plot3(Bx,By,Bz,

27、k);h7=plot3(-Bx,By,Bz, k);%腿尖曲线hold off;view(3);axis equal;axis(-hL hL -R R 0 2*hH);axis off;zz二-hH*sind(deg);xz二xe(l)+hH*cosd(deg); %钢筋轴,z 坐标和 x坐标alldeg二atan2(-zz*ones(size(xe),xz-xe); %每个条腿折叠角 度,20个%每条腿末端X坐标,allx=legL.*cos(alldeg)+xe;20个allz=-legL.*sin(alldeg);%每条腿末端 z 坐标，20个alldeg2=atan2(-zz*ones

28、(size(Xb),Xz-Xb);BX=(hL-Xb).*cos(alldeg2)+Xb;Bz=-(hL-Xb).*sin(alldeg2);% 腿尖曲线x数据minz=min(Bz);%最低腿z坐标，桌子当前高度legx=allx;allx;xe;xe;%桌腿数据legz=allz;allz;zeros(size(allz);zeros(size(allz)-minz; set(h1,ZData,-minz*ones(size(Tz);set(h2,XData,legx,ZData,legz);set(h3,XData,-legx,ZDa ta,legz);set(h4,XData,xz;x

29、z,ZData,zz;zz-minz); set(h5,XData,-xz;xz,ZData,zz;zz-minz);set(h6,XData,Bx,ZData,Bz-minz);set(h7,XData,-Bx,ZDat a,Bz-minz);pause(0.1);drawnow;caochang二sqr t( (xe-xe(l).八2+hH.八2-2*hH.*(xe-xe(l).*cos(alldeg)-(legL-hH)程序三：问题一求桌脚边缘线的程序i=0:9;y=1.25:2.5:23.75h=50;b=25-2.5*i;r=25;a=sqrt(r*r-b.*b);c=60-ak=sqrt(c(1,1)-sqrt(c(1,1)./2).*(c(1,1)./2)-(h./2).*(h./2)-c).*(c(1,1)-sqrt(c(1,1)./2).*(c(1,1)./2)-(h./2).*(h./2)-c)+(h./2).*(h./2)-(c-c(1,1)./2);e1=66;x=c(1,1).*cos(e1)-(60-c-c.*(60-c-c(1,1)./2.*cos(e1)./(c+k)z=c(1,1)*sin(e1)-c.*(c(1,1).*sin(e1)./(c(1,1)+2*k) plot3(x,y,z)