勾股定理的证明方法.doc

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1、【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2)，整理得到：a2+b2=c2。【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH

2、+ AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2)， a2+b2=c2。【证法3】以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

3、 RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2， a2+b2=c2。【证法4】以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90,

4、 AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于c2/2. 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2【证法5】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF =

5、90， BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 a2+b2=S+2*ab/2 c2=S+2*ab/2 a2+b2=c2。【证法6】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再

6、做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点 F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为【证法4】【证法7】做三个边长分别为a、b

7、、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于a2/2， GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =a2. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b2. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 a2+b2=c2。【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中

8、， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB， 即AC2=AD*AB. 同理可证，CDB ACB，从而有 BC2=BD*AB. AC2+BC2=(AD+BD)*AB=AB2，即a2+b2=c2。【证法9】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BPAF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 D

9、HA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF =

10、 ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为【证法10】设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90， DBC + BH

11、T = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 S7=S2. 过Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 S8=S5. 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR. 又QMF = ARC = 9

12、0，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即S4=S6. 【证法11】（利用切割线定理证明） 在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点C在B上，所以AC是B 的切线. 由切割线定理，得 【证法12】（利用多列米定理证明） 在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作ADCB，过点B作BDCA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于

13、两对边乘积之和，有 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtABC的内切圆O，切点分别为D、E、F（如图），设O的半径为r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF） = CE+CD= r + r = 2r, 【证法14】（利用反证法证明） 如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D.【证法15】（辛卜松证明） 此主题相关图片如下：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c

14、. 作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 （a+b）2=a2+2ab+b2；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面【证法16】设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = (b+a)a = b. 又 CM

15、D = 90，CM = a， AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180， ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作ABDC，CBDA，则ABCD是一个边长为c的正方形. BAF + FAD = DAE+ FAD = 90， BAF=DAE. 连结FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtABF和RtBCG中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG.