材料力学计算题库.doc

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1、第一章 绪论【例1-1】 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。【解】（1）沿m-m 截面假想地将钻床分成两部分。取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。 （3）由平衡条件 【例1-2】 图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm，受力后沿x方向均匀伸长=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向

2、的正应变。x方向 【例1-3】 图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD杆下移b=0.025，试求薄板中a点的剪应变。【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。第二章 拉伸、压缩与剪切【例题2.1】 一等直杆所受外力如图2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2. 1 (b)所示)，假定轴力为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程，得 结果为正值，故为拉力。同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2. 1 (c)所示)为在求CD段内

3、的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程，得 结果为负值，说明为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力为(a)(b)(c)(d)(e)(f)图2. 1 例题2.1图【例题2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知。试求荷载引起的最大工作应力。解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。、两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得(压应力)(压应力)由上述结果可见，砖柱的最大

4、工作应力在柱的下段，其值为，是压应力。【例题2.3】 一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为，截面面积为，材料容重为。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。解：应用截面法，在距下端距离为处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为，则有 (a)设横截面上的轴力为，则由平衡条件， (b)将(a)式值代入(b)式，得 (c)即为的线性函数。当时，当时， (a) (b) (a) (b) (c)图2.8 例题2.2图 图2.9 例题2.3图式中为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为 (d)即应力沿

5、杆长是的线性函数。当时，当时，式中为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径，壁厚，气压，活塞杆直径，试求汽缸横截面及纵向截面上的 应力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。(1) 求横截面上的应力。取截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件，当时，得截面上的轴力为截面的面积为那么横截面上的应力为称为薄壁圆筒的轴向应力。图2.10 例题2.4图(2) 求纵截面上的应力。取长为的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平衡条件，得截面上的内力为截面的面积为当时

6、，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面上的应力为称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。【例题2.7】 螺纹内径的螺栓，紧固时所承受的预紧力为。若已知螺栓的许用应力MPa，试校核螺栓的强度是否足够。解：(1) 确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有(2) 计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为(MPa)(3) 应用强度条件进行校核。已知许用应力为螺栓横截面上的实际应力为MPa(MPa)所以，螺栓的强度是足够的。【例题2.8】 一钢筋混凝土组合屋架，如图2.2

7、5(a)所示，受均布荷载作用，屋架的上弦杆和由钢筋混凝土制成，下弦杆为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知：，钢的许用应力MPa，试设计钢拉杆的 直径。解：(1) 求支反力和，因屋架及荷载左右对称，所以图2.25 例题2.8图(2) 用截面法求拉杆内力，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由，得(3) 设计Q235钢拉杆的直径。由强度条件得【例题2.9】 防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，为其中一根支撑杆。各杆为的圆木，其许用应力MPa。试求支杆间的最大距离。解：这是一个实际问题，在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算

8、。(1) 计算简图。防水闸门在水压作用下可以稍有转动，下端可近似地视为铰链约束。杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是杆的计算简图如图2.26(b)所示。图2.26 例题2.9图(2) 计算杆的内力。水压力通过防水闸门传递到杆上，如图2.26(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为 其中为水的容重，其值为10；为水深，其值为3；为两支撑杆中心线之间的距离。于是有根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件，其中得(3) 根据杆的强度条件确定间距的值。由强度条件得【例题2.10】 三角架由和两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆由两根No.

9、14a的槽钢组成，许用应力MPa；杆为一根No.22a的工字钢，许用应力为MPa。求荷载的许可值。 (a) (b)图2.34 例题2.10图解：(1) 求两杆内力与力的关系。取节点为研究对象，其受力如图2.34(b)所示。节点的平衡方程为，解得 (a)(2) 计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆和的横截面面积分别为，。根据强度条件得两杆的许可轴力为(3) 求许可荷载。将和分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为所以该结构的许可荷载应取。【例题2.5】 已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000

10、mm2。要求：(1) 作轴力图；(2) 计算杆的总伸长量。图2.37 例题2.5图解：(1) 画轴力图。因为在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得轴力图如图2.37(b)所示。(2) 求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为杆的总伸长量为【例题2.6】 如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力。已知30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。图2.38 例题2.6图解：(

11、1) 利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A的平衡条件，有，解得各杆的轴力为， (2) 计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有(3) 利用图解法求A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线，相交于点，再过点作水平线，与过点A的铅垂线交于点，则便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得， 可得， 所以点A的铅垂位移为 从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指

12、其位置的移动，而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。【例题2.11】 两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力(如图2.37(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两端的支反力。解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列3个方面来分析。图2.38 例题2.11图(1) 静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为， (a)(2) 几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力来代替此约束对杆AB的作用，则得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受已知力和未知力作用，并引起变形。设

13、杆由力引起的变形为(如图2.38(d)所示)，由引起的变形为(如图2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系 (b)(3) 物理方面。由胡克定律，有， (c)将式(c)代入式(b)即得补充方程 (d)最后，联立解方程(a)和(d)得，求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。【例题2.12】 有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力作用，如图2.39所示。、和、分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少？解：设钢筋和混凝土的内力分别为和，利用截面法，根据平衡方程， (a)这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一

14、个补充方程。由于立柱受力后缩短，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为 (b)由物理关系知图2.39 例题2.12图 ， (c)将式(c)代入式(b)得到补充方程为 (d)联立解方程(a)和(d)得可见 即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。又 可见 即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。【例题2.14】 如图2.42(a)所示，、杆用铰相连接，当温度升高时，求各杆的温度应力。已知：杆与杆由铜制成，GPa，线膨胀 系数，；杆由钢制成，其长度，GPa，。解：设、分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力，考虑铰的平衡(如图2.42(b)所

15、示)，则有图2.42 例题2.14图，得 (a)，得 (b)变形几何关系为 (c)物理关系(温度变形与内力弹性变形)为 (d) (e)将(d)、(e)两式代入(c)得 (f)联立求解(a)、(b)、(f)三式，得各杆轴力 杆与杆承受的是压力，杆承受的是拉力，各杆的温度应力为(MPa)(MPa)【例题2.13】 两铸件用两钢杆1、2连接，其间距为(如图41(a)所示)现需将制造的过长的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有间距。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径，铜杆横截面为的矩形，钢的弹性模量210GPa，铜的弹性模量100GPa。铸铁很厚，其变形可略去不计

16、。解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆3，故其变形关系如图2.41(c)所示。从而可得变形几何方程为 (a)图2.41 例题2.13图物理关系为 (b) (c)以上两式中的和分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的在理论上应是杆3的原长，但由于与相比甚小，故用代替。将(b)、(c)两式代入式(a)，即得补充方程 (d)在建立平衡方程时，由于上面已判定1、2两杆伸长而杆3缩短，故须相应地假设杆1、2的轴力为拉力而杆3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图2.41(

17、d)所示。由对称关系可知 (e)另一平衡方程为 ， (f)联解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得装配内力为所得结果均为正，说明原先假定杆1、2为拉力和杆3为压力是正确的。各杆的装配应力为【例题3.6】 两块钢板用三个直径相同的铆钉连接，如图2.44(a)所示。已知钢板宽度，厚度，铆钉直径，铆钉许用切应力，许用挤压应力，钢板许用拉应力。试求许可荷载。图2.44 例题3.6图解：(1) 按剪切强度条件求。由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组受剪面的形心，可以假定各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连接板的受力情况如图2.44(b)所示。每个铆钉所受的剪力为根据剪切强度条件式(3-1

18、7)可得(2) 按挤压强度条件求。由上述分析可知，每个铆钉承受的挤压力为根据挤压强度条件式(3-19) 可得(3) 按连接板抗拉强度求。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如图2.44(b)所示的是上板的受力情况及轴力图。11截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，则有由此可得根据以上计算结果，应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载。故取【例题3.7】 两块钢板用铆钉对接，如图2.47(a)所示。已知主板厚度，盖板厚度，主板和盖板的宽度，铆钉直径。铆钉的许用切应力，试对此铆接进行校核。解：(1) 校核铆钉的剪切强度。此结构为对接接头。铆钉和主板、盖板的受力情况如图2.47(b

19、)、图2.47(c)所示。每个铆钉有两个剪切面，每个铆钉的剪切面所承受的剪力为图2.47 例题3.7图根据剪切强度条件式(3-17)超过许用切应力1.9%，这在工程上是允许的，故安全。(2) 校核挤压强度。由于每个铆钉有两个剪切面，铆钉有三段受挤压，上、下盖板厚度相同，所受挤压力也相同。而主板厚度为盖板的1.5倍，所受挤压力却为盖板的2倍，故应该校核中段挤压强度。根据挤压强度条件式(3-19)剪切、挤压强度校核结果表明，铆钉安全。(3) 校核连接板的强度。为了校核连接板的强度，分别画出一块主板和一块盖板的受力图及轴力图，如图2.47(b)和图2.47(c)所示。主板在11截面所受轴力，为危险截

20、面，即有主板在22截面所受轴力，但横截面也较11截面为小，所以也应校核，有盖板在33截面受轴力，横截面被两个铆钉孔削弱，应该校核，有结果表明，连接板安全。第三章 扭转【例题3.1】 传动轴如图3.9(a)所示，其转速，功率由A 轮输入，B、C两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知：，及。试作轴的扭矩图。图3.9 例题3.1图解：(1) 计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为 (2) 由轴的计算简图(如图3.9(b)所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面22上的扭矩。沿截面22将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图3.9(c)可知 ， 得 同理，在BC段内 在AD段内 (3)

21、根据以上数据，作扭矩图(如图3.1(d)所示)。由扭矩图可知，发生在段内，其值为。【例题3.2】 某传动轴，轴内的最大扭矩，若许用切应力=50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。(1) 实心圆截面轴的直径。(2) 空心圆截面轴，其内、外径之比为。解：(1) 确定实心圆轴的直径。由强度条件(3-13)式得 而实心圆轴的扭转截面系数为 那么，实心圆轴的直径为(2) 确定空心圆轴的内、外径。由扭转强度条件以及空心圆轴的扭转截面系数可知，空心圆轴的外径为而其内径为(3) 重量比较。上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，二者的重量之比等于其横截面之比，即上述数据充分说明，空心

22、轴远比实心轴轻。【例题3.3】 阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径，BC段直径。扭转力偶矩，。已知材料的许用切应力，试校核该轴的强度。解：(1) 作扭矩图。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩图如图3.18(b)所示。(2) 强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。AB段 BC段 图3.18 例题3.3图因此，该轴满足强度要求。【例题3.4】 一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩 ，轴的内外直径之比。钢的许用切应力，切变模量 ，许可单位长度扭转角。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。图3.19 例题3.4图解：(1) 求扭矩。用截面法截取左段

23、为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得(2) 根据强度条件确定轴的外径。由 和 得 (3) 根据刚度条件确定轴的外径。由 和 得 所以，空心圆轴的外径不能小于，内径不能小于。第四章 弯曲内力【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。解：静定梁的段为基本梁或主梁，段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离体求出支反力；然后，取整体为研究对象，求出处的支反力，。图4.5 例题4.1图(1) 取梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程 ， 得 (2) 取整体为脱离体，如图4.5(a)所示，由平衡方程 ， ，得 ，上述求得的约束反力为正值，说明假定的约束反力方向与实际情况一致。为

24、了校核所得支反力是否正确，也可取梁为脱离体，验证所求的支反力是否满足平衡条件。 【例题4.2】 梁的计算简图如图4.8(a)所示。已知、，且，以及尺寸、和。试求梁在、点处横截面上的剪力和弯矩。解：为求梁横截面上的内力剪力和弯矩，首先求出支反力和(如图4.8(a)所示)。由平衡方程，和 ，解得 ，图4.8 例题4.2图当计算横截面上的剪力和弯矩时，将梁沿横截面假想地截开，研究其左段梁，并假定和均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程，可得 由 ，可得 结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向正确，即均为正值。读者可以从右段梁(如图4.8(c)所示)来计算和以验算上述结果。计算横截面上的

25、剪力和弯矩时，将梁沿横截面假想地截开，研究其右段梁，并假定和均为正向，如图4.8(d)所示。由平衡方程，可得 由 ， 可得 结果为负，说明与假定的指向相反()；结果为正()，说明假定的转向正确。将和代入上述各式即可确定、截面的内力值。【例题4.3】 如图4.9(a)所示为一在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度，几何尺寸如图所示。试求、两点处横截面上的剪力和弯矩。图4.9 例题4.3图解：当求悬臂梁横截面上的内力时，若取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，则不必求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写出横截面上的剪力和弯矩。有三角形比例关系，可得 ， 则 【例题4.4】 如图4

26、.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。利用求内力的简便方法，考虑任意截面的右侧梁段，则可写出任意横截面上的剪力和弯矩方程： (a) (b)由(a)式可见，剪力图与无关，是常值，即为水平直线，只需确定线上一点，例如处，即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。由式(b)可知，弯矩是的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需确定线上两点，如处，处，即可绘出弯矩图(如图4.11(c)所示)。图4.11 例题4.4图【例题4.5】 如图4.12(a)所示的简支梁，在全梁上受集度为的均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：对于

27、简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此，两支反力(如图4.12(a)所示)相等。任意横截面处的剪力和弯矩方程可写成 由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题4.4中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个点以上。图4.12 例题4.5图由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，而该截面上的；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，(正值，负值)。【例题4.6】 如图4.13(a)所示的简支梁在点处受集中荷载力作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：首先由平衡方程和分别算得支反

28、力(如图4.13(a)所示)为，由于梁在点处有集中荷载力的作用，显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯矩方程均不相同，故需将梁分为和两段，分别写出其剪力和弯矩方程。图4.13 例题4.6图对于段梁，其剪力和弯矩方程分别为 (a) (b)对于段梁，剪力和弯矩方程为 (c) (d)由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于轴的直线。由(b)、(d)两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图4.13(b)和图4.13(c)所示。由图可见，在的情况下，段梁任一横截面上的剪力值为最大，；而集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，；在集中荷载作用处左、右

29、两侧截面上的剪力值不相等。【例题4.7】 图4.14(a)所示的简支梁在点处受矩为的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：由于梁上只有一个外力偶作用，因此与之平衡的约束反力也一定构成一反力偶，即、处的约束反力为，由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表示，即 (a)而弯矩则要分段建立。段： (b)段： (c)由式(a)可知，整个梁的剪力图是一条平行于轴的直线。由(b)、(c)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图(如图4.14(b)和图4.14(c)所示)。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。若，则最大弯

30、矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上，(负值)。图4.14 例题4.7图【例题4.9】 图4.19(a)所示为一悬臂刚架，受力如图所示。试作刚架的内力图。解：计算内力时，一般应先求支反力。但对于悬臂梁或悬臂刚架，可以取包含自由端部分为研究对象，这样就可以不求支反力。下面分别列出各段杆的内力方程为段： 段： 在段中假定截面弯矩使外侧受拉为正。根据各段的内力方程，即可绘出轴力、剪力和弯矩图。如图4.19(b)、图4.19(c)和图4.19(d)所示。 (a) (b)图4.19 例题4.9图 (c) (d)图4.19 (续)【例题4.10】 一端固定的四分之一圆环在其轴线平面内受集中荷载作用，如图4

31、.20(a)所示。试作曲杆的弯矩图。解：对于环状曲杆，应用极坐标表示其横截面位置。取环的中心为极点，以为极轴，并用表示横截面的位置(如图4.20(a)所示)。对于曲杆，弯矩图仍画在受拉侧。曲杆的弯矩方程为 ()在上式所适用的范围内，对取不同的值，算出各相应横截面上的弯矩，连接这些点，即为曲杆的弯矩图(如图4.20(b)所示)，由图4.20可见，曲杆的最大弯矩在固定端处的截面上，其值为。 (a) (b)图4.20 例题 4.10 图第五章 弯曲应力【例题5.1】 受均布荷载作用的工字形截面等直外伸梁如图5.2()所示。试求当最大正应力为最小时的支座位置。解：首先作梁的弯矩图(如图5.2(b)所示

32、)，可见，支座位置直接影响支座或处截面及跨度中央截面上的弯矩值。由于工字形截面的中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等，因此当截面的最大正、负弯矩相等时，梁的最大弯矩的绝对值为最小，即为最小。建立 图5.2 例题5.1图得 由于应为正值，所以上式中根号应取正号，从而解得 【例题5.2】 跨长的铸铁梁受力如图5.3(a)所示。已知材料的拉、压许用应力分别为和。试根据截面最为合适的要求，确定型截面梁横截面的尺寸(如图5.3(b)所示)，并校核梁的强度。图5.3 例题5.2图解：要使截面最为合理，应使梁的同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力(如 图5.3(c)所示)之比与相应的许用应力之比相等。

33、由于和 ，并已知，所以 (a)式(a)就是确定中性轴即形心轴位置(如图5.3(b)所示)的条件。考虑到(如图5.3(b)所示)，即得 (b)显然，值与横截面尺寸有关，根据形心坐标公式(见附录A)及如图5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出 由此求得 (c)确定后进行强度校核。为此，由平行移轴公式(见附录A)计算截面对中性轴的惯性矩为 梁中最大弯矩在梁中点处，即于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大压应力，并据此校核强度： 可见，梁满足强度条件。【例题5.3】 试利用附录C的型钢表为如图5.4所示的悬臂梁选择一工字形截面。已知。图5.4 例题5.3图解：首先作悬臂梁的弯矩图，悬

34、臂梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为应用式(5-7b)，计算梁所需的抗弯截面系数由附录C型钢表中查得，号工字钢，其与算得的最为接近，相差不到%，这在工程设计中是允许的，故选号工字钢。【例题5.4】 一外伸铸铁梁受力如图5.5(a)所示。材料的许用拉应力为，许用压应力为，试按正应力强度条件校核梁的强度。解：(1) 作梁的弯矩图。由图5.5(c)可知，最大负弯矩在截面上，其值为，最大正弯矩在截面上，其值为。图5.5 例题5.4图(2) 确定中性轴的位置和计算截面对中性轴的惯性矩。横截面形心位于对称轴上，点到截面下边缘距离为故中性轴距离底边139mm(如图5.5(b)所示)。截面对中性轴的惯性矩，可

35、以利用附录A中平行移轴公式计算。(3) 校核梁的强度。由于梁的截面对中性轴不对称，且正、负弯矩的数值较大，故截面与都可能是危险截面，须分别算出这两个截面上的最大拉、压应力，然后校核强度。截面上的弯矩为负弯矩，故截面上的最大拉、压应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为截面E上的弯矩为正弯矩，故截面E上的最大压、拉应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为比较以上计算结果，可知，该梁的最大拉应力发生在截面下边缘各点，而最大压应力发生在截面下边缘各点，作强度校核如下。所以，该梁的抗拉和抗压强度都是足够的。【例题5.5】 如图5.12所示两端铰支的矩形截面木梁，受均

36、布荷载作用，荷载集度。已知木材的许用应力，顺纹许用应力，设。试选择木材的截面尺寸，并进行切应力的强度校核。图5.12 例题5.5图解：(1) 作梁的剪力图和弯矩图。木梁的剪力图和弯矩图如图5.12()和图5.12()所示。由图可知，最大弯矩和最大的剪力分别发生在跨中截面上和支座，处，其值分别为 ，(2) 按正应力强度条件选择截面。由弯曲正应力强度条件得 又因，则有 故可求得 (3) 校核梁的切应力强度。最大切应力发生在中性层，由矩形截面梁最大切应力公 式(5-9)得 故所选木梁尺寸满足切应力强度要求。第六章 弯曲变形【例题6.1】 如图6.4所示一弯曲刚度为的简支梁，在全梁上受集度为的均布荷载

37、作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：由对称关系可知梁的两支反力为 梁的弯矩方程为 (a)将式(a)中的代入式(6-1b)图6.4 例题6.1图 再通过两次积分，可得 (b) (c)在简支梁中，边界条件是左、右两铰支座处的挠度均等于零，即 在处， 在处，将边界条件代入式(c)，可得 和 从而解出 于是，得梁的转角方程和挠曲线方程分别为 (d)和 (e)由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点是对称的，因此梁的挠曲线也应是对称的。由图6.4可见，两支座处的转角绝对值相等，且均为最大值。分别以及代入 式(d)，可得最大转角值为 又因挠曲线为一光滑曲线，故在对称的挠曲线中，最

38、大挠度必在梁跨中点处。所以其最大挠度值为 【例题6.2】 如图6.5所示一弯曲刚度为的简支梁，在点处受一集中荷载F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：梁的两个支反力为， (a)对于和两段梁，其弯矩方程分别为 () () () ()分别求得梁段和的挠曲线微分方程及其积分，见表6.1。表6.1 梁段和的挠曲线微分方程及其积分梁段()梁段 ()挠曲线微分方程：挠曲线微分方程： () ()积分一次：积分一次： () ()再积分一次：再积分一次： () ()图6.5 例题6.2图在对梁段进行积分运算时，对含有的弯矩项不要展开，而以作为自变量进行积分，这样可使下面确定积分常

39、数的工作得到简化。利用点处的连续条件： 在处，将式，()、()和()、()代入上边界条件可得 ，如前所述，积分常数和分别等于和，因此有 ，由于图中简支梁在坐标原点处是铰支座，因此，故。另一积分常数，则可利用右支座处的约束条件，即在处，来确定。根据这一边界条件，由梁段的式()可得即可求得 将积分常数代入()、()、()、()四式，即得两段梁的转角方程和挠曲线方程，见表6.2。表6.2 梁段和梁段的转角方程和挠曲线方程梁段梁段转角方程： ()转角方程： () 挠曲线方程： ()挠曲线方程： ()将和分别代入()和()两式，即得左、右两支座处截面的转角分别为 =当时，右支座处截面的转角绝对值为最大，

40、其值为现确定梁的最大挠度。简支梁的最大挠度应在处。先研究梁段，令，由式()解得 (h)当时，由式(h)可见值将小于。由此可知，最大挠度确在梁段中。将值代入式()，经简化后即得最大挠度为 (i)由式(h)可见，b值越小，则值越大。即荷载越靠近右支座，梁的最大挠度点离中点就越远，而且梁的最大挠度与梁跨中点挠度的差值也随之增加。在极端情况下，当值甚小，以致与项相比可略去不计时，则从式(i)可得 (j)而梁跨中点处截面的挠度为 在这一极端情况下，两者相差也不超过梁跨中点挠度的3%。由此可知，在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精确度能满足

41、工程计算的要求。当集中荷载F作用在简支梁的中点处，即时，则 【例题6.3】 一弯曲刚度为的简支梁受荷载如图6.6(a)所示。试按叠加原理求跨中点的挠度和支座处截面的转角和。图6.6 例题6.3图 解：梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图6.6(b)和图6.6(c)所示。由附录D可以查出两者分别作用时梁的相应位移值，然后按叠加原理，即得所求的位移值。中点最大挠度为【例题6.4】 一弯曲刚度为的外伸梁受荷载如图6.7(a)所示，试按叠加原理求C截面的挠度。图6.7 例题6.4图解：在附录D中给出的是简支梁或悬臂梁的挠度和转角，为此，将这外伸梁沿截面截开，看成是一简支梁和悬臂梁(如图6.7(b)和图

42、6.7(c)所示)。其中，F作用在支座不会使梁产生弯曲变形；由附录D可分别查出由力偶矩和集中荷载引起的(如图6.7(d)和图6.7(e)所示)，得由叠加原理得原外伸梁的端挠度也可按叠加原理求得。由图6.7(a)、图6.7(b)和图 6.7(c)可见，由于截面的转动，带动段作刚性转动，从而使端产生挠度，而由段本身弯曲变形引起的挠度，即为悬臂梁(如图6.7(b)所示)挠度，因此，端的总挠度为将前面的结果代入上式，得【例题6.5】 一弯曲刚度为的悬臂梁受荷载如图6.8(a)所示，试按叠加原理求C截面的挠度和转角，。解：求C截面的挠度和转角，可以将力F向点简化，简化结果是作用在处的一个力F和一个力矩(

43、如图6.8(b)所示)，。截面的挠度和转角可以按叠加法求得(如图6.8(c)、图6.8(d)所示)，由附录D查得则截面的挠度转角分别为图6.8 例题6.5图【例题6.6】 如图6.9所示电动葫芦的轨道拟用一根工字型钢制作，荷载，可沿全梁移动，已知材料；梁的许用挠度，不计梁的自重，试确定工字钢的型号。解：(1) 画内力图。当荷载F移动到梁跨中点时，产生最大弯矩；当移动到支座附近，产生最大剪力。这两种最不利位置的图、图如图6.9(b)和图6.9(c)所示。 图6.9 例题6.6图(2) 由正应力强度条件选择截面。梁跨中点截面的上、下边缘各点是危险点。由得 查型钢表，选工字钢有 ，(3) 切应力强度

44、校核。支座内侧截面的中性轴上各点处切应力最大。 满足切应力强度要求。(4) 刚度校核。最大挠度发生在梁跨中点，由附录D可得 即可见，刚度条件不满足要求，应加大工字钢截面以减小变形。如改用25a号工字钢号，则有刚度条件也满足，故可选用工字钢号。【例题6.7】 试求如图6.12所示一端固定一端简支的梁在均布荷载作用下的约束反力。解：该梁的约束反力共有四个，而独立的平衡方程只有三个，有一个多余约束，因此是一次超静定问题。首先，假设B支座为多余约束，相应的多余未知力是(方向可以假设)。拆除多余约束，由相应的约束反力代替，则原结构变成悬臂梁(如图6.12(b)所示)。将如图6.12(b)所示的结构叫做原

45、超静定梁(如图6.12(a)所示)的基本静定系。基本静定系与原来的超静定梁是等效的，即受力是等效的，变形也是等效的。因此，按叠加原理，在基本静定系上，点的挠度等于均布荷载与单独作用引起挠度的代数和。点的变形应与原结构点的变形相等，而原结构点的挠度为零。于是可得变形几何方程 或+=0 (a)由附录D可得力与变形间的物理关系 (b) (c)图6.12 简单超静定梁(例题6.7图)将式(b)、(c)代入式(a)，即得补充方程-=0 (d)由此解得多余反力为 为正号，表明原来假设的指向是正确的。求得后，即可在基本静定系上(如图6.12(b)所示)由静力平衡方程求出固定端处的支反力，以上是将支座作为多余

46、约束来求解的，其基本静定系是悬臂梁。同样，也可取支座A处的转动约束作为“多余”约束，即将解除转动约束并用相应的反力偶来代替，基本静定系是一个简支梁，如图6.12(c)所示。变形几何方程为 或 (e)由附录D可知 代入式(e)得 +=0求得为 第七章 应力和应变分析 强度理论【例题7.1】 试用解析法求如图7.5(a)所示平面应力状态的主应力和主平面方位。解法1：(1) 求主应力 所以，。 (a) (b)图7.5 例题7.1图(2) 求主平面方位 因为是正的，说明在第一象限，故 ，即为所在截面的方位角。和的方向如图7.5(b)所示。解法2：先确定主平面方位 在范围内有两个解 即 ，下面确定哪个是

47、、哪个是。由的判定规则可知，一定发生在0的截面上，因此在和中，满足这一条件，故，那么所在方位角。将代入斜截面应力公式(7-1)，得 将代入斜截面应力公式(7-1)，可得。【例题7.2】 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图7.9(a)和图7.9(b)所示，梁的横截面尺寸如图7.9(c)所示。试分别绘出截面C(如图7.9(a)所示)上a和b两点处(如图7.9(c)所示)的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。图7.9 例题7.2图图7.9 (续)解：计算支反力，并作出梁的剪力图和弯矩图如图7.9(d)和图7.9(e)所示。然后根据截面C的弯矩=80kNm及截面C左侧的剪力值=200kN，计算横截面上a，b两点处的应力。为此，先计算横截面(如图7.9(c)所示)的惯性矩和求a点处切应力时需用的静矩等。 由以上各数据可算得横截面C上a