导数09高考汇编.doc

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1、山东省泰安市第一中学 - 1 - 2009 年导数高考题 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)函数 xexf)3()的单调递增区间是 A. 2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】D 【解析】 ()3()()xxxfxeee,令 ()0f,解得 2x,故选 D 2（2009 全国卷 理） 已知直线 y=x+1 与曲线 ylna相切，则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 0(,)Pxy，则 00l1,()xx,又 0 1|xa1,2aa .故答案选 B 3.（2009 安徽卷理）设 b,函数

2、 ()yxb的图像可能是 解析： /()32)yxab，由 /0y得 2,3abx，当 xa时， y取极大 值 0，当 时 y取极小值且极小值为负。故选 C。 或当 xb时 0，当 x时， 选 C 4.（2009 安徽卷理）已知函数 ()f在 R 上满足 2()8fxfx，则曲线()yfx 在点 1,()f处的切线方程是 （A） 2 （B） yx （C） 32yx （D） 23yx 解析：由 2()8fxf得 ()()8()ff， 山东省泰安市第一中学 - 2 - 即 22()4fxx， 2()fx /()fx，切线方程为1y ，即 10y选 A 5.（2009 安徽卷文）设 ，函数 的图像可

3、能是 【解析】可得 2,()0 xabyxab为 的两个零解. 当 时,则 f 当 x时,则 (),x当 时,则 ()0.fx选 C。 【答案】C 6（2009 江西卷文）若存在过点 (1,0)的直线与曲线 3y和 21594ax都相切， 则 a等于 A 1或 25-64 B或 24 C 74或 -6 D 7或 答案：A 【解析】设过 (,0)的直线与 3yx相切于点 30(,)x，所以切线方程为320yx 即 30，又 (1,)在切线上， 则 0 x或 02， 当 x时，由 y与 2594ax相切可得 564a， 当 02时，由 7与 21yx相切可得 1，所以选 A. 7.（2009 江西

4、卷理） 设函数 ()fxg，曲 线 ()yg在点 ,()处的切线方 程为 1yx，则曲线 y在点 (1,)f处切线的斜率为 山东省泰安市第一中学 - 3 - A4B 1C2D 12 答案：A 【解析】由已知 ()g，而 ()fxgx，所以 (1)214fg故选 A 8.（2009 天津卷文） 设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x ,x 下面的不 等式在 R 内恒成立的是 A 0)(xf B )(xf C xf)( D xf)( 【答案】A 【解析】由已知，首先令 ，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单

5、调性的运用。通过分析解析式的特 点，考查 了分析问题和解决 问题的能力。 9.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 Rt。若球的体积以均匀速度 c 增 长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 34()()VtRt，则 2()4()cVtRt，由此可 得 4()()cRtt，而球的表面积为 2Stt， 所以 28()vSttt表 ， 即 228()4()()ccttRtt表 ，故选 D 10.（2009 全国卷理）曲线 21x

6、y在点 ,处的切线方程为 A. 20 xy B. 0 C. 450 xy D. 450 xy 解： 1112|()()xxx , 山东省泰安市第一中学 - 4 - 故切线方程为 1()yx,即 20y 故 选 B. 11.（2009 湖南卷文）若函数 f的导函数在区间 ,ab上是增函数， 则函数 ()yfx在区间 ,ab上的图象可能是【 A 】 A B C D 解: 因为函数 ()yfx的导函数 ()yfx在区 间 ,ab上是增函数，即在区 间,ab 上 各点处的斜率 k是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中 yk为常数噢. 12.（2009 陕西卷文） 设曲线 1*()nyxN在点（1，1

7、）处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 nx,则 12n 的值为 (A) (B) (C) 1n (D) 1 答案:B 解析: 对 1*()()nyxNyx求 导 得 ,令 得在点（1， 1）处的切线的斜率k ,在点 （1，1）处的切 线方程为 (1)()nnkx,不妨设 0y,1nnx 则 2231.41x n , 故选 B. 13.（2009 天津卷理） 设函数 ()l(0),fx则 ()yfx A 在区间 (,)e内均有零点。 B 在区间 ,e内均无零点。 C 在区间 1内有零点，在区间 (1,)e内无零点。 ababa o xo x y ba o x y o x y b y 山东省泰安市

8、第一中学 - 5 - D 在区间 1(,)e内无零点，在区间 (1,)e内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得 xxf3)(，令 0)(f得 3x；令 0)(xf得30 x ； 0得 ，故知函数 在区间 ),(上为减函数，在区间),( 为增函数，在点 处有极小值 03ln1；又)(,013,1efeff ，故选择 D。 14.（2009 重庆 卷文）把函数 3fx的图像 1C向右平移 u个单位长度，再向下 平移 v个单位长度后得到图像 2C若对任意的 0u，曲线 1与 2至多只有一个交 点，则 的最小值为（ ） A2B4C6D8 【答案】B 解析根据题意曲线 C 的

9、解析式 为 3()(),yxuv则方程33()()xuvx ，即 20，即 314u对任意0 恒成立，于是 14u的最大值，令 ()(0),g则2()3(2)4g 由此知函数 u在（0，2）上为增函数，在, 上为减函数，所以当 时，函数 ()取最大值，即 为 4，于是 v。 二、填空题 15.（2009辽宁卷文）若函数 2()1xaf 在 处取极值，则 a 【解析】f(x) 2(1)x f(1) 34a0 a3 【答案】3 16.若曲线 2fxInx存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是 . 山东省泰安市第一中学 - 6 - 解析 解析：由题意该函数的定义域 0 x，由 12fxa。因

10、 为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为 0，问题转化为 范围内导函数 12fxa 存在 零点。 解法 1 （图像法）再将之转化为 2gxa与 1hx存在交点。当 0不符合 题意，当 0a时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 0a如图 2，此时正好 有一个交点，故有 应填 ,0 或是 |。 解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 120ax在 ,内有解， 显然可得1,0ax 17.（2009 江苏 卷）函数 32()156fxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 2()30()fx ， 由 1)得单调减区间为 (,)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 18.（

11、2009 江苏 卷）在平面直角坐标系 xoy中，点 P 在曲线 3:10Cyx上，且在 第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 23102yxx ，又点 P 在第二象限内， x点 P 的坐标为（-2，15） 19.（2009 福建卷理）若曲线 3()lnfax存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值 山东省泰安市第一中学 - 7 - 范围是_. 【答案】： (,0) 解析：由题意可知 21()fxax，又因为存在垂直于 y轴的切线， 所以 231(0)(,0)ax。 20.(2009陕西卷理)设曲线 1*nyN在

12、点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 nx,令 lgnx，则 129a 的值为 . 答案：-2 *1 1129129()()| 1()198.lg.l.lg2310nn xnyyx ynxxa A解 析 ： 点 （ ， ） 在 函 数 的 图 像 上 ， （ ， ） 为 切 点 ，的 导 函 数 为 切 线 是 ：令 =0得 切 点 的 横 坐 标 ： 21.（2009 宁夏海南卷文）曲线 2xye在点（0,1 ）处的切线方程为 。 【答案】 31yx 【解析】 2xe，斜率 k 20e3，所以， y13x ，即 31yx 解答题 29.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分

13、） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处 理厂，其 对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和 城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处 的垃圾 处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 山东省泰安市第一中学 - 8 - A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数 为 4；对城 B 的影响 度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的 中点时，对城 A 和城 B

14、的总影响度为 0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1 ）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在， 说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 2240BCx, 24(0)kyx 其中当 02x时，y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 229()40yxx （2） 22490, 423238)18(0)( x ,令 0y得418()xx ,所以 160,即 x,当 时, 4218()x, 即 y所以函数为单调减函数,当 420时

15、, 42(0)x,即 0y所 以函数为单调增函数.所以当 x时, 即当 C 点到城 A 的距离为 时, 函数2249(0)yx 有最小值. 解法二: （1）同上. （2）设 22,4mnx, 则 0, 9y,所以914911()3()(32)4006nmyn 当且仅当4m 即 26时取”=”. 下面证明函数 940ym在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设 0m1m2160,则 12112249()0m A B C x 山东省泰安市第一中学 - 9 - 121249()()04mm2112()9()40m21212() ()(0)1212212()()9()40m

16、, 因为 0m1m24240240 9 m1m29160160 所以 12121()()900mm, 所以 221214(0)()()4即 12y函数 490ym在 (0,160)上为减函数. 同理,函数 490ym在(160,400)上为增函数,设 160m1m2400,则121122()40m 121214(0)()9()40mm 因为 1600m1m2400,所以 4 129160160 所以 121214(0)()90m, 所以 2122121()(4)()0m即 12y函数 490ym在 (160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 4x时取”=”,函数 y 有最小值, 所

17、以弧 上存在一点，当 10时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总 影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数 解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 30.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分） 已知函数 321(fxabx,其中 0a 山东省泰安市第一中学 - 10 - 1 当 ba,满足什么条件时, )(xf取得极值? 2 已知 0,且 )(f在区间 0,1上单调递增,试用 a表示出 b的取值范围. 解: (1)由已知得 2xabx,令 0)(f,得 210 x,)(xf 要取得极值,方程 必须有解,

18、所以 240b,即 2, 此时方程 2axb的根为1abx , 224ba , 所以 12()(fx 当 0a时, x (-,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+) f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 )(xf在 x 1, x2处分别 取得极大值和极小值. 当 0a时, x (-,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+) f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 )(xf在 x 1, x2处分别 取得极大值和极小值. 综上,当 ba满足 a时, )(xf取得极值. (2)要使 )(xf在区间 0,上

19、 单调递增, 需使 2()10fxabx在 (,上恒成立. 即 1,(2恒成立, 所以 mab 设 ()axg, 21()()2xag , 山东省泰安市第一中学 - 11 - 令 ()0gx得 1a或 x(舍去), 当 1a时, ,当 (0,)时 (0gx, 1()2ax单调增函数; 当 1(,xa时 (), ()x单调减函数 , 所以当 时, ()gx取得最大,最大值为 1()ga. 所以 ba 当 01a时, ,此时 ()0gx在区间 (,1恒成立,所以 1()2axg在区间(, 上单调递增,当 1时 最大,最大值为 1)ag,所以 b 综上,当 a时, ba; 当 01a时, 2b 【命

20、题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极 值、 单调性和函数的最 值, 函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒 成立,再转为函数研究最值. 运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解 答问题. 31.（全国，文 21）（本小 题满分 12 分） 设函数 321()()4fxaxa，其中常数 a1 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第 一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，

21、第二问是利用导数及函数的 最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解： （I） )2(4)1(2)( axaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 a知，当 时， 0)(f，故 f在区间 )2,(是增函数； 山东省泰安市第一中学 - 12 - 当 ax2时， 0)(xf，故 )(xf在区间 )2,(a是减函数； 当 时， ，故 在区间 是增函数。 综上，当 1时， )(xf在区间 )2,(和 ),(是增函数，在区间)2,(a 是减函数。 （II）由（I）知，当 0 x时， )(xf在 a或 0 x处取得最小值。 aaf 242123)( 44 f)0( 由假设知 w.w.

22、w.k.s.5.u.c.o.m ,0)(21fa 即 .024,0)6(3,1a 解得 1a6 故 的取值范围是（1，6） 32.（2009 广 东 卷 理 ）（本小题满分 14 分） 已知二次函数 ()ygx的导函数的图像与直线 2yx平行，且 ()ygx在1x 处取得极小值 10m设 ()gfx （1）若曲线 ()yfx上的点 P到点 (,2Q的距离的最小值为 ，求 m的值； （2） (kR如何取 值时，函数 )yfxk存在零点，并求出零点 解：（1）依题可设 1()2maxg ( 0a)，则 axaxg2)1(2) ； 又 的图像与直线 yx平行 2 xg1)(22， 2xmf， 设 ,

23、oPy，则 202002 )()(| xyxQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 山东省泰安市第一中学 - 13 - mmx 2|2202 当且仅当 20时， 2|PQ取得最小值，即 |PQ取得最小值 2 当 m时， )( 解得 12 当 时， 22m 解得 （2）由 10yfxkx( x)，得 20kxm * 当 1k时，方程 *有一解 2，函数 yf有一零点 ； 当 时，方程 有二解 41k， 若 0m， 1k， 函数 yfx有两个零点 )1(24kmx，即1)(kx ； 若 0m， ， 函数 yfxk有两个零点 )1(24kmx，即1)(kx ； 当 时，方程 *有一解 410mk

24、, 1m, 函数 yfxk有一零点 x 综上，当 1k时, 函数 f有一零点 2； 当 m( 0)，或 1km（ 0）时， 函数 yfx有两个零点 1)(kx； 山东省泰安市第一中学 - 14 - 当 1km时，函数 yfxk有一零点 mkx1. 33.（2009 安徽卷理）（本小题满分 12 分） 已知函数 2()(ln),(0fxax，讨论 ()fx的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论 的思想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。 解： ()fx的定义域是(0,+ ), 22()1.axfx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设

25、2ga,二次方程 0g的判别式 28. 当 80，即 2a时，对一切 0 x都有 ()0fx,此时 ()fx在(0,) 上是增函数。 当 2a,即 时， 仅对 2x有 ()fx,对其余的 x都有()fx ,此时 ()fx在 0,)上也是增函数。 当 28，即 2a时， 方程 ()0gx有两个不同的实根 218ax , 28ax , 120 x.1,112(,)22(,)()fx + 0 _ 0 +()f 单调递增 A极大 单调递减 A极小 单调递 增 此时 ()fx在 280,)a 上单调递增, 在 228(,)aa 是上单调递减, 在 2(,) 上单调递增. 34.（2009 安徽卷文）（本

26、小题满分 14 分） 山东省泰安市第一中学 - 15 - 已知函数 ，a0， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论 的单调性； （）设 a=3，求 在区间1， 上值域。期中 e=2.71828是自然对数的底数。 【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重 复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 ()fx在 21,e上的值域。 【解析】(1)由于 2()1afxx 令 210)tyttx得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 8a,即 a时, ()0f恒成立.()f 在(,0)及(0, )上都是增函数. 当 20,即 2时 w.w.w

27、.k.s.5.u.c.o.m 由 21ta得 84at或 284at w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2804x 或 0 x或 2 又由 2ta得 22228884aaaat x 综上当 0时, ()fx在 ,0)(,)及 上都是增函数. 当 2a时, f在 228,aa 上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在 228(,0)(,)及 上都是增函数. (2)当 3a时, 由(1)知 fx在 1,上是减函数. 在 2e上是增函数. 山东省泰安市第一中学 - 16 - 又 (1)0,(2)30ffln22()50fe w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函数 fx在

28、,e上的值域为 23n,le w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 35.（2009 江西卷文）（本小题满分 12 分） 设函数 329()6fxxa （1）对于任意实数 ， ()fm恒成立，求 的最大值； （2）若方程 ()0fx有且仅有一个实根，求 a的取值范围 解：(1) 23963(1)2x, 因为 (,)x, fm, 即 39(6)0 xm恒成立, 所以 8120, 得 4，即 的最大值为 34 (2) 因为 当 x时, ()fx;当 12x时, ()fx;当 2时, ()0fx; 所以 当 时, 取极大值 5()fa; 当 2x时, ()f取极小值 ; 故当 ()0f 或 1时,

29、 方程 ()0fx仅有一个实根. 解得 2a或52a . 36.（2009 江西卷理）（本小题满分 12 分） 设函数 ()xef 1 求函数 f的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 若 0k，求不等式 ()1)(0fxkfx的解集 解： (1) 221()fxee, 由 ,得 1x. 因为 当 时, ()0fx； 当 x时, ()f； 当 时, ()0fx； 所以 ()fx的单调增区间是: 1,)； 单调减区间是: (0)， . 山东省泰安市第一中学 - 17 - (2) 由 2 1()1)(xxkfxkfe2(1)0 xke , 得： 0. 故：当 1k时, 解集是： 1

30、xk； 当 时，解集是： ； 当 k时, 解集是： 1xk. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 37.（2009 天津卷文）（本小题满分 12 分） 设函数 0),(,)(31)(2mRxmxxf 其 中 （）当 时 ，m曲线 ） ）（，在 点 （ 1ffy处的切线斜率 （）求函数的单调区间与极值； （）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x，且 21。若 对任意的,21x ， 1恒成立，求 m 的取值范围。 【答案】（1）1（2） )(xf在 ),和 ),(内减函数，在 ),(m内增 函数。函数 )(f在 处取得极大值 1f，且 )1f= 31223 函数 x在 m处取

31、得极小值 )(m，且 (= 【解析】解：当 )(,2,3)(1 /2 fxfxf 故时 ， 所以曲线 ） ）（，在 点 （ 1)(xfy处的切线斜率为 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解： 2 m，令 0)(xf，得到 mx1, 因为 m1,0所 以 当 x 变化时， )(,xf的变化情况如下表：(m)1,(m),1()(xf + 0 - 0 + 山东省泰安市第一中学 - 18 - )(xf 极小值 极大值 在 )1,m和 ),(内减函数，在 )1,(m内增函数。 函数 (xf在 处取得极大值 )f，且 f= 31223 函数 )在 处取得极小值 (，且 )(= （3）解：

32、由题设， )(31)31() 2122 xxmxxf 所以方程 122=0 由两个相异的实根 2,，故 3，且0)(34m ，解得 )(，舍 因为 123,2,211 xxx故所 以 若 0)(3)(f则 ，而 0)(xf，不合题意 若 ,21x则对任意的 ,21x有 ,21 则 )()(1f 又 )(f，所以函数 )(xf在 ,21x的 最小值为 0，于是对任意的 ,2x， 恒成立的充要条件是31)(2mf ,解得 3m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m 的取值范围是 ),21( 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程 的根的关系解不等式等基础知

33、识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 38.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) 在 R 上定义运算 1: 43pqcqbc（b、c 为实常数）。记21fc ， 2fb， R.令 21fff. 如果函数 在 1处有极什 4,试确定 b、c 的值； 求曲线 yf上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； 山东省泰安市第一中学 - 19 - 记 |1gxfx的最大值为 M.若 k对任意的 b、c 恒成立，试 示 k的最大值。 解当 1()byfx时 ， 函 数 得对称轴 x=b 位于区间 1,之外 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 此时 max(),1()Mgb 由 2(1)4,(1

34、)0fffm有 若 0ax(1),b gb则 ()-,- 于是 2ax1,()()(1)22ffbffbff 若 ，则 (=)， a(), 于是 2111max(),()()()()22Mffbffbffb 综上，对任意的 b、c 都有 M 而当， 10,2时， 21()gx在区间 ,1上的最大值 12M w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 MK对任意的 b，c 恒成立的 k 的最大值为 2 39.（2009 四川卷文）（本小题满分 12 分） 已知函数 32()fxcx的图象在与 x轴交点处的切线方程是 510yx。 （I）求函数 的解析式； （II）设函数 1()3gxfmx，若

35、()g的极值存在，求实数 m的取值范围以及函数()x 取得极值时对应的自变量 的值. 【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有 (2)0f,即 430bc 又 2()34fxbxc，由已知 185得 7 联立，解得 1,. 山东省泰安市第一中学 - 20 - 所以函数的解析式为 32()fxx 4 分 （II）因为 321()gxm 令 2410 当函数有极值时，则 ，方程 213403x有实数解， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 4(1)0m，得 1. 当 时 ， (gx有实数 23x，在 左右两侧均有 ()0gx，故函数()gx 无极值 当 1m时 ， ()0 x有两个实数

36、根 121(),(),3xmxm(),x 情况如下表： 1(,)x112(,)x2x2()x()gx + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以在 (,1)m时，函数 ()gx有极值； 当 23x时， 有极大值；当 1(2)3xm时， ()gx有极小值； 12 分 40.（2009 全国卷理）(本小题满分 12 分) 设函数 21fxaInx有两个极值点 12x、 ，且 12x （I）求 a的取值 范围，并 讨论 f的单调性； （II）证明： 24Ifx 解: （I） 2(1)1axaf x 山东省泰安市第一中学 - 21 - 令 2()gxa，其对称轴为 12x。由 题意知 12x、 是方程

37、()0gx的 两个均大于 1的不相等的实根，其充要条件为 480()ag，得 12a 当 1(,)x时， 0,()fxf在 1,x内为增函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 12(,)时， ,()ff在 12,)内为减函数； 当 ,x时， 0 x在 ,x内为增函数； （II）由（I） 2(0)ga， 2()a+2 2211fxlnxxlnx 设 ()()h， 则 2xxlxlx 当 1(,0)时， 0,()h在 1,0)2单调递增； 当 x时， x， 在 单调递减。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11ln(,0)()224h当 时 故 4Infx 41.（2009 湖南卷文

38、）（本小题满分 13 分） 已知函数 32()fxbcx的导函数的图象关于直线 x=2 对称. （）求 b 的值； （）若 ()fx在 t处取得最小值，记此极小值为 ()gt，求 ()t的定义域和值域。 解: （） 2()3fbc.因为函数 ()fx的图象关于直线 x=2 对称， 所以 6，于是 6. 山东省泰安市第一中学 - 22 - （）由（）知， 32()6fxcx， 22()313()1fxcxc. （）当 c 12 时， 0，此 时 f无极值。 （ii）当 c12 时， ()fx有两个互异实根 1x, 2.不妨设 1x 2，则 1x2 2. 当 x 1时， ， ()f在区间 ()内为

39、增函数； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 1x 2时， ()0fx， ()f在区间 12(,)x内为减函数; 当 时， ， 在区间 2内为增函数. 所以 ()fx在 1处取极大值，在 x处取极小值. 因此，当且仅当 2c时，函数 ()f在 2处存在唯一极小值，所以 2tx. 于是 ()gt的定义域为 (,.由 310ttc得 231. 于是 322)66,()fttc. 当 2t时， (1()0t 所以函数 gt 在区间 ,)内是减函数，故 g的值域为 (,8). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 42.（2009 福建卷理）（本小题满分 14 分） 已知函数 321()fx

40、axb,且 (1)0f (1) 试用含 的代数式表示 b,并求 x的单调区间 ； （2）令 1a,设函数 ()fx在 12,()处取得极值，记点 M ( 1x, )f)，N( 2x,()fx )，P(mf), ,请仔细观察曲线 ()fx在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若 对 任意的 m ( 1x, x 2)，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结论； （II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时, 2 当 x 变化时， ()fx与 f的变化情况如下表： x (,12)a(,1)(,)()f +

41、+x 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数 ()f的单调增区间为 (,12)a和 (,)，单调减区间为(12,a 。 当 时 ，12a此时有 ()0fx恒成立，且仅在 1x处 ()0fx，故函 数 ()fx的单调增区间为 R 当 a时 ， 同理可得，函数 ()fx的单调增区间为 (,)和(12,) ，单调减区间为 (1,2a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上： 当 a时，函数 ()fx的单调增区间为 (,1)和 (,)，单调减区间为(12,) ； 当 时，函数 ()fx的单调增区间为 R； 当 a时，函数 的单调增区间为 (,1)和 (2,)a，单调减区间为(1,2) . 山

42、东省泰安市第一中学 - 24 - ()由 1a得 32()fxx令 2()30fx得 12,3x 由（1）得 增区间为 ,1)和 ,，单调减区间为 (,)，所以函数 ()fx在 处 2,3x取得极值，故 M（ 53）N（ ,9）。 观察 ()f的图象，有如下现象： 当 m 从-1（不含-1）变化到 3 时， 线段 MP 的斜率与曲线 ()fx在点 P 处切线的斜 率 ()fx之差 Kmp- ()f的 值由正连续变为负。 线段 MP 与曲 线是否有异于 H，P 的公共点与 Kmp ()f的 m 正负有着密切的 关联； Kmp ()fm=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmp ()f的

43、m 就是 所求的 t 最小 值，下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线 ()fx在点 ,P处的 切线斜率 2()3f； 线段 MP 的斜率 Kmp 45m 当 Kmp ()f=0 时，解得 12或 直线 MP 的方程为 2454()33myx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 22()()mgxf 当 时， 2)x在 (1,上只有一个零点 0 x，可判断 ()fx函数在(1,0) 上单调递增，在 0,)上单调递减，又 (1)2g，所以 g在 1,2上 没有零点，即线段 MP 与曲 线 (fx没有异于 M，P 的公共点。 当 2,3m时， 24(0)03mg . 2)()0gm 所以存

44、在 ,使得 山东省泰安市第一中学 - 25 - 即当 2,3m时 MP 与曲线 ()fx有异于 M,P 的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，t 的最小值为 2. （2）类似（1）于中的观察，可得 m 的取值范围为 1,3 解法二： （1）同解法一. （2）由 a得 321()fxx，令 2()0fx，得 12,3x 由（1）得的 单调增区间为 (,和 3,，单调减区间为 (,)，所以函数 在处取得极值。故 M( 51,3).N( 9) () 直线 MP 的方程为 22454.3mmyx 由 22324531myx 得 322(4)40 xxm 线段 MP 与曲线 f有异于

45、M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m) 上有根,即函 数 322()(4)4gxx在 (-1,) 上有零点. 因为函数 )为三次函数,所以 )g至多有三个零点 ,两个极值点. 又 (10m.因此, (x在 ,m上有零点等价于 ()gx在 1,)m内恰有一个极大 值点和一个极小值点,即 22)36(40,x在 内有两不相等的实数 根. 等价于 22236140()()m （ ） 即 152,25mm或 解 得 又因为 13,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小 值为 2. 43.（2009辽宁卷文）（本小题满分 12 分） 山东省泰安市第一中学 - 26 - 设

46、2()1)xfea，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 x轴平行。 I 求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性； II 证明：当 0,(cos)f(in)22时 ， 解：（） ()1xfeax.有条件知， ，故 301. 2 分 于是 2()(2)xxfee. 故当 ,(1,时， f0； 当 (2)x时， )fx0. 从而 f在 ,，(,单调减少，在 (2,1)单调增加. 6 分 （）由（）知 ()fx在 0,1单调增加，故 ()fx在 0,的最大值为 (1)fe， 最小值为 (0)1f. 从而对任意 x， 2,，有 12()1fxfe. 10 分 而当 0,时， cos,in0,. 从而

47、 (cos)(in)2ff 12 分 44.（2009 辽宁卷理）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= 21x ax+(a1) lnx， 1a。 （1）讨论函数 ()f的单调性； （2）证明：若 5a，则对任意 x 1，x 2(0,)，x 1x 2，有 12()1ffx。 山东省泰安市第一中学 - 27 - 解：(1) ()fx的定义域为 (0,)。2 11()1)axaxaf 2 分 （i）若 即 ,则2(1)xf 故 ()f在 0,)单调增加。 (ii)若 1a,而 ,故 12a,则当 (1,)xa时 ， ()0fx; 当 (,)x及 ()x时， ()0f 故 f在 ,单调减少，

48、在 ,)单调增加。 (iii)若 1a,即 2,同理可得 ()fx在 1a单调 减少，在 (0,1),)a单调增 加. (II)考 虑 函数 ()gxf211lnxa 则 21()()2()(1)agxa g 由于 1a1,证明对任意的 c,都有 M2: 山东省泰安市第一中学 - 32 - ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立， 试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进 行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分 14 分） （I）解： 2()fxbxc，由 ()fx在 1处有极值 43 可得 104()33f 解得 ,1bc或 若 ,，则

49、 22()1()0fxx，此时 ()fx没有极值； 若 3bc，则 31x 当 x变化时， ()fx， 的变化情况如下表：,33(3,1) 1 (,)()fx 0 + 0 A 极小值 12A极大值 43A 当 1x时， ()fx有极大值 43，故 b， 3c即 为所求。 （）证法 1： 2|()|gx 当 |b时，函数 )yf的对称轴 位于区间 1.之外。()fx 在 ,上的最值在两端点处取得 故 M应是 1)g和 (中较大的一个2(|2|12|4|,bcbc 即 2M 证法 2（反证法）：因为 |，所以函数 ()yfx的对称轴 xb位于区间 1,之外， 山东省泰安市第一中学 - 33 - (

50、)fx在 1,上的最值在两端点处取得。 故 M应是 )g和 (中较大的一个 假设 2，则(1)|bcg w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 将上述两式相加得：4|2|12|4|ccb ，导致矛盾， 2M （）解法 1： 2()|()|gxfxc （1）当 |b时，由（）可知 M； （2）当 |时，函数 (yfx）的对称轴 xb位于区间 1,内， 此时 max(1),)Mgb 由 (1)4,f有 2(1()0ff 若 0b则 ),max(1),ggb， 于是 21ax|(1,|(|()|()22fbffbf 若 ，则 ),f1a(), 于是 2ma|(|,|(|()|1()|1)Mfffff

51、b 综上，对任意的 b、c都有 12M 而当 10,2时， ()gx在区间 1,上的最大值 2M 故 Mk对任意的 b、c恒成立的 k的最大值为 2。 解法 2： 2()|()|gxfxbc （1）当 |时，由（）可知 M； （2）当 |b时，函数 ()yfx的对称轴 x位于区间 1,内， 此时 max(1),Mgb 山东省泰安市第一中学 - 34 - 24(1)2()|1|1|Mgghbcbc 22| ()|bc ，即 1M 下同解法 1 50.（2009 宁夏海南卷文）（本小题满分 12 分） 已知函数 323()9fxax. (1) 设 1a，求函数 f的极值； (2) 若 4，且当 1

52、,4x时， )(xf12a 恒成立，试确定 a的取值范围. 解：（）当 a=1时，对函数 ()f求导数，得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2()369.fx 令 120,3x解 得 列表讨论 ()fx的变化情况：,) （-1，3） 3 (,)()fx + 0 0 +A 极大值 6 A极小值-26 A 所以， ()fx的极大值是 (1)f，极小值是 (3)26.f （） 22369a的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称. 若 1,()4fx则 在 ,4上是增函数，从而 ()fx在 上的最小值是 2(1)369,fa最大值是 2(4)15.fa 由 22|12,ax得 于是有

53、 ()369,(4)5.f f且 由 41205aa得 由 得 所以 1(,0,(,.4354a即 山东省泰安市第一中学 - 35 - 若 a1,则 2 |()|1.1,4|()|12faaxafxa故 当 时 不恒成立. 所以使 |,4)x恒成立的 a 的取值范围是 4(,5 51.(2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需要建两端 桥墩 之间的桥面和桥墩，经预测，一个 桥墩的工程费用为 256 万元，距离 为 x米的相邻 两墩之间的桥面工程费用为 (2)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视 为点，且不考虑其他因素，记余

54、下工程的费用为 y万元。 （）试写出 y关于 x的函数关系式； （）当 m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y最小？ 解 （）设需要新建 n个桥墩， (1)1mxx， 即 n= 所以 (2)xy=f(x)256+256(-)+ .mx （） 由（）知， 2 33221()(51).mfx 令 ()0fx，得 3251 ，所以 =64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 0 64 时 ()fx0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以 ()fx在 =64 处取得最小 值，此时， 64019.mnx 故需新建 9 个桥墩才能使 y最小。 52.（2009 天津卷理） （本小题满分

55、 12 分） 已知函数 22()3)(),xfxaeR其中 a 1 当 0a时，求曲线 1yff在 点 处的切线的斜率； 山东省泰安市第一中学 - 36 - 2 当 3a时，求函数 ()fx的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值 等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 （I）解： .3)1()2()(02 efexxfexfa ， 故，时 ，当 .31,y处 的 切 线 的 斜 率 为在 点所 以 曲 线 （II） .42)()(2 xeaxaxf解 ： .2320 a知 ，由， 或， 解 得令 以下分两种情况讨论。

56、 （1） a若 32，则 a 2.当 x变化时， )(xf， 的变化情况如下表：x， a， 2，a + 0 0 + 极大值 极小值 .)2()2()() 内 是 减 函 数，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 aaxf .3)(efaf， 且处 取 得 极 大 值在函 数 .)4()2)( 2axf ， 且处 取 得 极 小 值在函 数 （2） a若 3，则 a2 ，当 x变化时， xf， 的变化情况如下表：x， a， ，a2 + 0 0 + 极大值 极小值 内 是 减 函 数 。，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 )2()2()() aaxf .342( 2 eff， 且处 取 得 极

57、 大 值在函 数 .)()( 2axf ， 且处 取 得 极 小 值在函 数 53.（2009 四川卷理）（本小题满分 12 分） 山东省泰安市第一中学 - 37 - 已知 0,1a且 函数 ()log(1)xafx。 （I）求函数 ()fx的定义域，并判断 f的单调性； （II）若 ()*,lim;fnnNa求 （III）当 ae（ 为自然对数的底数）时，设 ()2()11)fxhem，若函数 ()hx的 极值存在，求实数 的取值范围以及函数 的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考 查分类整合思想、推 理和运算能力。 解：（）由题意知 10 xa 当 0() 1()

58、0af afx时 ， 的 定 义 域 是 （ ， ） ； 当 时 ， 的 定 义 域 是 （ ， ）lnog11ae xx-f()= 当 0(0,).0,xxa时 ， 因 为 故 f0,因 为 n 是正整数，故 0a1时 ， g(x)在 R上 恒 成 立 ，故 函 数 g(x)在 R上 为 增 函 数 （2）当 40,k即 当 =时 ， 2(1)0()xegxk K=1时，g（x）在 R 上为增函数 （3） 40,k即 当 1时 ， 方程 20 xk有两个不相等实根12xxk w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 (,)(0,(),1)gxk是 故 在 （ 上 为 增 函数 当 1xk（

59、 ） 时， ,故 (),1gxk在 （ ） 上为减函数（ ， +） 时， (),x故 k在 （ ， +） 上为增函数 山东省泰安市第一中学 - 42 - 56.（2009 重庆 卷文）（本小题满分 12 分， （）问 7 分， （）问 5 分） 已知 2()fxbc为偶函数，曲线 ()yfx过点 2,)， ()(gxafx （）求曲线 ()yg有斜率为 0 的切线，求实数 a的取值范围； （）若当 1x时函数 ()yx取得极值，确定 ()yx的单调区间 解: （） 2()fbc为偶函数,故 ()ff即有2()xbcx 解得 0 又曲线 ()yf过点 2,5),得 25,c有 13()gxaxax 从而 2()31gxax,曲线y 有斜率为 0 的切线，故有 ()0有实数解.即 0有实数解. 此时有 241A 解得 ,3,a 所以实数 a的取值范围: （）因 1x时函数 ()ygx取得极值,故有 (1)0g即 3210,解得2a 又 2()3