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1、 第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite矩阵31 (1)证明：= ，()，因为A为正定H矩阵，所以，当且仅当由上可知是酉空间。証毕。 （2）解： ，由Cauchy-Schwarz不等式有：32解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组33（1）解：由|E-A| = (+1)得 = 1是A的特征值，当1时，可得|E-A|于是（0，1，0）是A的特征向量。选择与正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U= 则U*A U= 取A= ，|E- A| = (+1) = 1是A的特征值。当1时，可得|E- A|，于是， （ -，）是A的特征向量，选择与正交的向量组成酉阵U = ，U*AU = =33（2）
2、解：首先求出其特征多项式 34证明：由教材定理3.4.9可知正交投影矩阵为,其中35（1）解：易证是Hermite矩阵.35（2）解： 35（3）解：35（4）解：36（1）解： 36（2）解:37（1）解：37（2）解法仿37（1）解题方法.38证明：由于n阶酉矩阵U的特征值不等于1，所以由此可知为满秩矩阵.39 证明：令，又S，T分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，即有，则有，因为显然有，同理可得，即，即证。310 证明：必要性 由于相似矩阵具有相同的特征值，所以A与B的特征值相同. 充分性 A,B均为实对称矩阵，所以分别存在正交矩阵使得311 证明:必要性 由于相似矩阵具有相同的特征值，所以
3、A与B的特征值相同. 充分性 A,B均为实对称矩阵，所以分别存在酉矩阵使得3-12证明：（1）必要性：因为A，B是正规矩阵，所以存在使得，存在使得又因为A酉相似于B，所以存在，使得所以又因为，所以可记为：即A与B特征值相同。（2）充分性：存在使得，存在使得因为所以即A酉相似于B。3-13 证明： A是Hermite矩阵，则存在，使得UAU=diag（，）则A=,由=A可得A=， ，,从而可知0，1是A的特征值,取，得出UAU=，题目得证。3-14 证明：A是Hermite矩阵，则存在，使得则，则-1和1为A的特征值，可记， ，即有UAU=题目得证。3-15 解：（仅供参考） 3-16 解：于是
4、 其中 .由于A为一个Hermite矩阵，所以A可以酉对角化.A的特征值的正交单位特征向： A的特征值的单位特征向：，于是3-17 证明：3-18 证明：令，显然P为Hermite矩阵而且正定唯一，A正定A的特征值全大于0。所以A可逆，P可逆；所以AB与BA 相似，则AB与BA的特征值相同，也为H矩阵的特征值为实数，所以AB，BA的特征值都是实数3-19 证明：由于A是一个半正定的Hermite矩阵，所以A的n个特征值均为非负实数，又由于，于是不能全为零，3-20 证明：3-21证明：由，所以，由题314可知，的特征值为又是正定的，所以的特征值全部为1，则存在所以可得 即证。322证明：（1）
5、令A，B为半正定Hermite矩阵，则存在，使得又由Hermite矩阵的简单性质，为Hermite矩阵，且存在，使得；则为半正定Hermite矩阵。（2）令A为半正定Hermite矩阵，B为正定Hermite矩阵，则有，使得又由Hermite矩阵的简单性质，为Hermite矩阵，且存在，使得；则为正定Hermite矩阵。323证明：由于矩阵A是一个正定的Hermite矩阵，所以A可逆，于是3-24 证明：充分条件：因为A，B是n阶正规矩阵，则存在,使得，其中；分别是A与B的特征值。又因为A与B相似，所以其对应的特征值相同。则有。令，则，因为U、V是酉矩阵，则W也是酉矩阵。所以A与B酉相似。必要
6、条件：因为A与B酉相似，则使得，又由于 则 ，因而A与B相似。3-25 证明： 3-26 证明：3-27 证明：由已知条件可得3-28 证明：329 证明：（1） ，则，；所以和都是半正定的Hermite矩阵。（2）令则，则又因为为可逆矩阵，则则与有相同的非零解330 证明：因为A是正规矩阵，所以，则存在使，其中为的特征值； （1） (2) 即的特征值都为实数又为正规矩阵（3）同理 即331 证明：332设，那么A可以唯一的写成，其中为Hermite矩阵，且A可以唯一的写成，其中B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵。证：令，且 A=S+iT,。 下证唯一性：用反证法。假设存在使,且
7、均为Hermite矩阵。则由：A=S1+iT1同理有：S1=S2，T1=T2 可知：A可唯一的写成A=S+iT。令B=S，C=iT，则显然B为Hermite矩阵，C为反Hermite矩阵则A可唯一写成A=B+C,其中証毕。3-33. 设是n维实(列)向量空间，若： ， 令 容易验证，所规定的(,)满足定义3.1.1中的四个条件.因此在这样定义内积后成为欧氏空间. 3-34. 解： 这只需验证满足内积的四个条件即可. 等式成立的充要条件是3-35. 解： 设，不难验证等号成立当且仅当所以是欧式空间. 3-36. 用表示闭区间上的所有实值连续函数构成的实线性空间，对任意、，规定 容易验证，这样规定
8、的是上的一个内积，从而成为一个欧氏空间.3-37. 设A为n阶正定矩阵，对于中任意两个列向量X,Y.规定 容易验证是上的一个内积，于是成为一个欧氏空间.3-38. 设是n维复(列)向量空间，若 命 容易验证，所规定的满足定义3.1.2中的四个条件，因此成为一个酉空间. 3-39. 在中，对任意定义 容易验证是的一个内积，从而成为一个酉空间. 表示A的迹，即是A的主对角元素之和. 3-40. 在空间中，设 求的一个标准正交基.解： 应用Schmidt正交化方法得到 因为=0，故，线性相关，容易，线性无关，因此,把单位化后，的一个标准正交基 3-41. 已知 求的一个标准正交基.解： 命 把单位化
9、得 则为所求之基 3-42. 设，且，若 则H是酉矩阵.解： 故H是酉矩阵. 3-43. 试证 是正交矩阵.解：易知，故A是正交矩阵.该矩阵所代表的正交变换为吉文斯变换.3-44. 2阶矩阵 是正交矩阵，它表示平面上的绕坐标原点的旋转变换3阶矩阵 是正交矩阵，它表示三位空间绕x轴的旋转变换.3-45. 设是V的标准正交基，则与是正交的.3-46. 已知，求T的正交补.解：取 不难知线性方程组的基础解系为，则，便是T的正交补.3-47. 设W是欧式空间V的一个子空间，那么V在W上的正交投影变换P就是一个对称变换. 3-48. 在中，设u为过直角坐标系原点的平面的单位法矢量.变换A是 容易验证：对
10、于任意的，任意实数k,l都有 因此A既是正交变换，又是对称变换，称其为镜面反射.3-49. 已知 试求酉矩阵W，使得 解： 3-50. 已知 验证A是正规矩阵，且求酉矩阵U，使为对角矩阵.解：由于,经计算得： ， 所以A是正规矩阵A的特征多项式 当时，特征矩阵 故 所以属于的单位特征向量当时，特征矩阵 故 所以属于的单位特征向量命 U是酉矩阵，且满足 3-51. 已知 验证A是正规举证，且求酉矩阵U，使为对角矩阵.解： A是Hermite矩阵 对的特征矩阵作初等行变换得 解得属于特征值-1的特征向量为 用Schmidt方法把 ，单位化并正交化得 对的特征矩阵作初等行变换得 故A的属于的单位特征
11、向量为 命： 3-52. 已知 .解： 存在，满足 3-53. 已知U是n阶酉矩阵，且U-E可逆，试证 是反Hermite矩阵.解：由于： 3-54. 设A为欧式空间V上的一个对称变换，那么有因为根据对称变换的定义有 设A为欧式空间V上的一个反对称变换，那么有根据反对称变换的定义有 3-55. 设A为欧氏空间V上的一个Hermite变换，那么有Hermite变换也经常被称做自伴随变换.3-56. 设A为欧氏空间V上的一个正交变换，那么有由定义有 3-57. 设A为酉空间V上的一个酉变换，那么有3-58. 对于任意给定的n阶矩阵A，根据定义不难证明： 3-59. 已知正规矩阵 试求酉矩阵U，使得
12、为对角矩阵.解： 3-60. 已知Hermite二次型 求酉变换Z=Uy 将变为Hermite标准二次型.解： 所给Hermite二次型对应的Hermite矩阵 于是 其中 .由于A为一个Hermite矩阵，所以A可以酉对角化.A的特征值的正交单位特征向量： A的特征值的单位特征向量：，于是3-61. 已知A、B是n阶正定Hermite矩阵，则的根全身正的实数.证明： 因为B是正定的，存在，满足 且是正定的Hermite矩阵.因此的根是正实数.而 故的根是正的实数3-62. 已知A、B是n阶正交矩阵，并且，试证：A+B不可逆.证明： 3-63. 设 验证A是Hermite矩阵B是正定的Hermite矩阵，并求满秩矩阵T，使得.解： 易证B是正定Hermite矩阵. 3-64. 设A,B是Hermite矩阵，且B是半正定的，则 解： 因为 由于矩阵B为半正定，所以.从而得到所需结论.
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