无穷积分的敛散判别法

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1、无穷积分的敛散判别法摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散The convergence and divergence method of infinite integral Abstract：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method，and the method for some regularity analysis ,

2、summary. Key Words：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况， 这时虽然可以用牛顿莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不 是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了这时，这个问题就变成积分上 限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题这即是所谓的反常积分的敛散性问 题这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法1 无穷积分的定义

3、定义：设函数f定义在无穷积分区间a, +上，且在任何有限区间a,u上可积.如果存在极限lim Jf (x)dx = Ju T8 a则称此极限J为函数f在a, +Q上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J+8 f (x)dx = Ja并称卜8 f (x)dx收敛.如果极限不存在，为方便起见，亦称卜8 f (x)dx发散.aa类似地，可定义f在(-8,b上的无穷积分：J b f (x)dx 二 lim fb f (x)dxgu fg u对于在(-8,+8)上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：f+g f (x)dx 二 J+g f (x)dx + fb f (x)dx，gg其中 a 为任一实

4、数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的2 无穷积分的性质性质1若J+s f (x)dx与J+sf (x)dx都收敛，k ,k为任意常数，则a 1a 21 2J+s k f (x) + k f (x)dxa 1 1 2 2也收敛，且性质 2J+s k f (x) + k f (x)dx 二 k J+s f (x)dx + k J+s f (x)dxa 1 12 21 a 12 a 2若f在任何有限区间a,u上可积，a b，则J+sf (x)dx与J a+ f (x)dx 同b敛态，且有J+8 f (x)dx 二p f (x)dxaab其中右边第一项是定积分性质3若f在任何有限区间a,u

5、上可积，且P01 f (x)ldx收敛,+ 1时，limJu一 =，而当p 1时收敛，其值为当p 0,存在Ga，只要 au 、u G 便有12IJu2 f (x)dx-Ju1 f (x)dx I=I Ju2 f (x)dxI aau1因此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分J+g f (x )dx是否收敛.a在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散3. 3 比较判别法这是无穷积分的绝对收敛判别方法由于Jul f (x)ldx关于上限u是单调递增的，因此J+gI f (x)ldx收敛的充要条件是aaJul f (x)l dx存在上界.根据这一分析，我们得到下述比较

6、判别法：a定理2 (比较法则) 设定义在a, +g)上的两个函数f和g都在任何有限区间上a,u 可积，且满足I f (x) l g (x)， x e a, +g)则当卜g(x)dx收敛时卜I f (x) I dx必收敛(或者，当卜I f (x) I dx发散时，J+gg(x)dxaaaa必发散)例2讨论J+g沁dx的收敛性0 1 + x2解 由于|沁| 0 ,且lim = c ,则有：x is g (x)(i) 当0 vc 1,0 X +s 时，JI f (x) I dx 收敛；a(ii) 当 p 1,0 X 1时，取a，1 a n，则 lim xa ln(1+ x) = limln(1+ x

7、) = 0.由柯西判别xi+sxnxi+sxna法知J+s吐型dx收敛.1xn当 n 1时，则 lim xn Ingx i+sx n= lim ln(1 + x) = +s . xi+s由柯西判别法知卜山(1+ x)dx收1xn敛.3. 4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理3 (狄利克雷判别法) 若F(u) = Juf(x)dx在a, +s)有界，g(x)在a, +s)上a当x T+s时单调趋于零，则J+s f (x)g (x)dx收敛.a证 由条件设IJuf (x)dx I 0，由于lim g(x) = 0，因此存xTs在G a，当x G时，有又因为g(x)为单调函数，利用积分第二积分中值定

8、理，对于任何u u G，存在21乜G U , U ，使得12A f (x)g(x)dx = g (u 小 f (x)dx + g (u J2 f (x)dx. U1 U2 己于是有J2 f (x) g (x)dx I | g (u )I -1 f (x)dx I+1 g (u )I J2f (x)dx I u11 u12 己=I g (u )I IJ E f (x)dx J”1 f (x)dx I+1 g (u )I I Ju2 f (x)dx -J f (x)dx I1 aa2 aaSa s 1时，因为I叫I 1时收敛，则由比较x px p1 xp法知J+S伫dx收敛且绝对收敛.1x p当

9、0 p 1 的，有11usinxdx I=Icosl-cosu I 0 1x p时单调趋于零(x T+a )，故由狄利克雷判别法知J +w伫dx当p 0时总是收敛的.1 x p但另一方面，由于sin x sin2 x 1cos 2xIl=-， x G 1,+8)，x px2x2x其中卜響dx=2卜牛满足狄利克雷条件，是收敛的，而卜存是发散的，因此当0 p 1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条件收敛的.当p 1时绝对收敛，0 p 1时条件收敛，p 01 xp时发散3. 5 根值判别法定理5设f (x)为a, +s)上的非负函数，若lim gf (x) = p则当p 1时，反常积分卜f (x)

10、dx发散. aa证 (i ) 取s =再,(0 p 0，任给x A时,p-甲 內p +字p- f = p0( p Df(x) A1I +s p xdx = lim pa 0xs ln p 00|x = lim 1axs ln p (p00p0a )二1 p a ln p 00收敛.从而f+s f (x)dx收敛.a由p1，取 呼存在A 0，任给x A时，有1ppT x-f (x) p+ p字 bf(x)p x,x A1I +s PXdx = lim a為p1l1二 lim 1 (p x - pxs ln p111发散，故卜f (x)dx发散.例5讨论无穷积分卜兰dx的敛散性(a 0).1 (1

11、)xa + Ix丿解记2xf (x)二 kJ 0,(1A xa + Ix丿2xf (x) = ，a + k x丿所以2lim(x)= 一.xsa因此当a 2时，无穷积分J+兰 dx收敛；当(0 a 0，又f (x) = limIn I xf (x) Iln ln x(i) 若X 1，则无穷积分卜f (x)dx收敛；1(ii) 若X 0存在X 1，当x X时-X-s 巴幼(x)| _x + s,lnln xln(ln x)-九-& In I xf (x) l ln(ln x)-九+& , f (x) 1日寸，取九一1,即 X s 1，由 f (x) 1x(ln x)九-&知f +8 f (x)d

12、x 收敛;1当九v 1日寸，取X + s 1,即，由一1x(ln x)x+s 0),易知当(p 1)时收敛，当(p 0都有in( x)ln(xf (x)xlnx(lnlnx)p-lnlnx- plnlnlnx plnlnlnxxinx=1 xin xxinxxin x注意到p ln ln ln xplim= lim= 0x T8x In xx T8 Inin x所以limln( xf (x) =-1, xts x in x即当X = 1时，无穷积分可能收敛，也可能发散.同理可证：当X =+8为时，即limln(xf (x)x ln x无穷积分J +8 f (x )dx必收敛.1 此定理为我们提

13、供了一个判别无穷积分的新方法利用洛必达法则我们可以得到如下的推论推论 若f (x)在1,+8)上连续，对任意x e 1,+8)的有f (x) 0 , lim f (x)二0又x T8limlnx 1 + 乂了 (x) =_九，则当九为定理的各种情况，都有相同的结论成立.xT8If (x)证 由洛必达法则和已知条件知ln xf (x)limxT8lim xts lnln x-1-1f (x) + xf(x)xf (x)L111i= limln x 1 +xf( x)f (x)=九ln x x故推论的结论成立.1例6 6讨论无穷积分Jsm+8 xdx的敛散性.1 ln2 x1sm 解这里f (x)

14、 =x在1,+8)上连续，对任意x e 1,+8)的有f (x) 0，又ln2 xlimln Lf (x)ln ln x=limln( x sin 丄)匚2 ln ln x=_2，1sin 这里九二2，由定理6知，则无穷积分J+8xdx收敛.1 ln2 x参考文献：1 华东师范大学数学系数学分析M.北京：高等教育出版社，2003.2 华东师范大学数学系.数学分析习题解析M.上海：华东师范大学出版社，2003.3 徐利治.大学数学解题诠释M.安徽：安徽教育出版社，1987.4 美G.A.科恩T.M科恩.数学手册M.北京：工人出版社，1990. 郝涌等数学分析考研精编M.信阳师范学院，2003.裴东林.关于正值函数无穷积分收敛性判别法的讨论J.甘肃教育学院学报：自然科学版，2002.