基本初等函数的公式及导数的运算法则

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1、基本初等函数的公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式 ;0,.1xfcxf则若 ;,.21*nnnxxfNnxxf则若 ;cos,sin.3xxfxxf则若 ;sin,cos.4xxfxxf则若 ;ln,.5aaxfaxfxx则若 ;e,e.6xxxfxf则若 ;ln1,log.7axxfxxfa则若 ;1,ln.8xxfxxf则若例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t)=p0(1+5%)t,其中 为t=0时的物价.假定某种商品的 =1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解:p

2、(t)=1.05tln1.05,p(10)=1.0510ln1.050.08(元/年).因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.0P0P思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?当p0=5时,p(t)=51.05t求p关于t导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.如何求?导数运算法则 ;.1xgxfxgxf ;.2xgxfxgxfxgxf 0.32xgxgxgxfxgxfxgxf例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y=x3-2x+3的导数.解:y=(x3-2x+3)(x3)(

3、2x)(3)3x22,所以，函数y=x3-2x+3的导数是y=3x2-2.堂上练习求下列函数的导数：140202124xxxy 4326154232xxxxy)3)(12(323xxxy例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 10080 100284 5xxxc求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%;(2)98%.1005284xxc210010052841005284xxx2100152841000 xx21005284x,84.529010052849012c因为,132

4、19810052849822c因为所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢?令 u=x+2(x-2),则y=lnu.y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x-2)复合得到.y与u的关系记作 y=f(u),u与x的关系记作u=g(x)y=f(u)=f(g(x)=ln(x+2).许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到 对于两个函数y=f(u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=

5、f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)且 yx=yuuxy对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积y=(2x+3)2y=u2u=2x+3复合y=sin(2x+5)y=sin uu=2x+5复合例4求下列函数的导数:均为常数其中,sin3;e2 ;321105.02xyyxyxxuxuyy 322xuu4128 x解:(1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有xuxuyy 105.0 xeuue05.0105.0e05.0 xxuxuyy sinxuucosxcos(2)函数 y=e-0.05x+1 可以看作函数 y=eu 和u=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数求导法则有(3)函数 y=sin(x+)可以看作函数 y=sinu 和u=x+的复合函数.根据复合函数求导法则有堂上练习课本第18页练习2小结基本初等函数的导数公式导数运算法则复合函数的导数作业课本第18页习题1.2A组题4,5,6,8