连续型随机变量的概率密度

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1、定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存在，存在非负函数非负函数 f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 f(x)称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量连续型随机变量 X X 由其密度函数唯一确定由其密度函数唯一确定一一.连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x)具有以下性质：具有以下性质：.0)(10 xf.1)(20 dxxff(x)0 x1几

2、何意义：几何意义：概率分布密度曲线不在概率分布密度曲线不在x x轴轴下方，且该曲线与下方，且该曲线与x x轴所围轴所围的图形的图形面积为面积为1 1。判定一个函数判定一个函数是否是否可以作为一可以作为一个连续型随机变量的分布密度个连续型随机变量的分布密度30bXaP f(x)x0ab)(.)(badxxfba )()(bFaF 几何意义几何意义：X X落在区间落在区间(x(x1 1,x,x2 2 的概率的概率PxPx1 1X0.1.1.0)(1.0dxxfXP 1.033dxex7408.0 解解解得解得A=3.dxxf)(0300dxAedxx30A 11.均匀分布均匀分布定义定义若连续型随

3、机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 ,0,1)(abxfbxa 其它其它).,(baU易见，易见，;0)()1(xf .1)()2(dxxf记为记为X上服从上服从均匀分布均匀分布，则称则称X在区间在区间),(ba注注：在区间在区间),(ba上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量,X其取值落在其取值落在),(ba中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的，是相同的，且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间),(),(balcc 任取任取二二.几个常连续型随机变量几个常连续型随机变量均匀分布均匀分布是相同的，是相同的，

4、且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间),(),(balcc 任取任取.1)(abldxabdxxflcXcPlcclcc 易求得易求得X的分布函数的分布函数 ,1,0)(abaxxFax .bxa bx 完完例例4 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午 7 时起时起,每每 15 分钟来一分钟来一班车班车,即即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站,如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间X是是 7:00 到到 7:30 之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于 5 分钟的分钟的概

5、率概率.解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟分钟,乘客必须在乘客必须在 7:10 到到7:15 之间之间,或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站,故所故所求概率为求概率为30251510 XPXP3130130130251510 dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3.

6、完完2.指数分布指数分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 ,0,)(xexf 0 x其中其中,0 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布，简记为简记为).(eX易见，易见，;0)()1(xf .1)()2(dxxf)(xf的几何图形如图的几何图形如图.注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间，例如，例如，乘客在公交乘客在公交Ox)(xf指数分布指数分布注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间，例如，例如，乘客在公交乘客在公交车站等车的时间，车站等车的时间，

7、电子元件的寿命等，电子元件的寿命等，易求得易求得X的分布的分布 ,0,1)(xexF 0 x其它其它服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性，,0,ts有有因而它在可靠因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用性理论和排队论中有广泛的应用.函数函数即对任意即对任意.|tXPsXtsXP ()*指数分布指数分布服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性，,0,ts有有即对任意即对任意.|tXPsXtsXP ()*)()(|sXPsXtsXPsXtsXP sXPtsXP .)(1)(1)(tXPeeesFtsFtsts 若若X表示某一元件的寿

8、命，表示某一元件的寿命，使用了使用了s小时，小时，它总共能使用至少它总共能使用至少ts 则则式表明：式表明：()*已知元件已知元件指数分布指数分布若若X表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命，使用了使用了s小时，小时，它总共能使用至少它总共能使用至少ts 则则式表明：式表明：()*已知元件已知元件概率与从开始使用时算起概率与从开始使用时算起率相等，率相等，一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过即元件对它使用过s小时没有记忆小时没有记忆,完完t它至少能使用它至少能使用 小时的概小时的概具有这具有这小时的条件小时的条件例例5 某元件的寿命某元

9、件的寿命X服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 由题设知由题设知,X的分布函数为的分布函数为.0,00,1)(1000 xxexFx由此得到由此得到100011000 XPXP.)1000(11 eF各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,例例5 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1

10、 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,).1,3(1 ebY所求概率为所求概率为011 YPYP.1)()1(13310103 eeeC则则完完间间的的概概率率分分钟钟之之分分钟钟到到求求你你需需等等待待前前面面走走进进公公用用电电话话间间，如如果果某某人人刚刚好好在在你你为为参参数数的的指指数数随随机机变变量量以以（单单位位：分分钟钟）是是间间设设打打一

11、一次次电电话话所所用用的的时时2010101 X解：解：的的密密度度函函数数为为X 00010110 xxexfx【例【例2】2010 XPBP令：令：B=等待时间为等待时间为1020分钟分钟 201010101dxex201010101xe 21 ee2325.0 的密度函数为的密度函数为如果连续型随机变量如果连续型随机变量X 的的正正态态分分布布，为为服服从从，参参数数则则称称随随机机变变量量2X xexfx22221xf(x)0 ，为参数为参数，其中其中0 2，NX3 3正态分布正态分布记作记作hh 21)(f正态分布的概率密度曲线有如下性质正态分布的概率密度曲线有如下性质:(a)在直角

12、坐标系内在直角坐标系内f(x)的图形呈钟形的图形呈钟形;(b)在在x=处得最大值处得最大值(c)关于直线关于直线x=对称；在对称；在x=处有拐点；处有拐点；(d)固定固定,改变改变，f(x)的图形沿的图形沿x轴平行移动轴平行移动,形状不改变形状不改变,可见可见 决定形状，决定形状，决定位置决定位置.dtexFxt 22221)(当当x时时,曲线以曲线以x轴为渐近线轴为渐近线;当当 大时大时,曲线平缓曲线平缓;当当 小时小时,曲线陡峭曲线陡峭(e)正态分布的分布函数正态分布的分布函数正态分布的重要性正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加

13、以说明：这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布

14、正态分布可以作为许多分布的近似分布说明说明 为为标标准准正正态态分分布布，称称，若若1010N 密密度度函函数数 xexx2221 标准正态分布标准正态分布N(0,1)分布函数分布函数dtexxt 2221)()(1)()1(xx 性质：性质：)(21)()(22xdtexxxt xudue22211tu 令令dtext 22211(0)(0)2P X(2)()1;()0 )1,0(2NXYNX ，则，则，设设引理：引理：yFY yYPyXP yXP ytdte22221，作变换作变换 tu dtdu yuYdueyF2221 y )1,0(NXY 则则 函函数数是是标标准准正正态态分分布布的

15、的分分布布x)(xXPxFX 注意注意 xXP)(x,有有对任意的对任意的ba ).()-b(bXPa a12xXP xXP)(x一般正态分布的计算一般正态分布的计算(1)任意一个正态分布，均可化为标准正态分布任意一个正态分布，均可化为标准正态分布.(2)若若XN(,2),)1,0(2NXYNX ，则则，设设小结小结 2121)(xXxPxXxP 12xx(3)若若XN(,2),对于任意区间对于任意区间(x1,x2有有解：)321()325(311 1311 162930.084134.0 47064.0 )1()5(51FFXP 【例【例5】62 XP 6261 XP 841 XP)324(

16、)328(1 221 212 0455.097725.012 621 XP 010 XPXP)320(1 3217486.032 【例【例 6】89 XP)5.09089()2(1 0228.0 解解:(1)5.090895.090 XP)2(8099.0 XP5.0895.0ddXP 5.0895.01ddXP )5.089(1d 01.099.01)5.089(d237.25.089 d1635.81 d 则则得得(2)d 需满足需满足0 x)(x查表可知查表可知.57.2,645.1z ,z ,57.2,645.1z 995.00.95-1005.00.05 zzz 1z z三三 小结小

17、结1.连续型随机变量的概率密度函数及其性质连续型随机变量的概率密度函数及其性质 xdttfxF,)()(2.几个常用的一维连续型随机变量几个常用的一维连续型随机变量指数分布、均匀分布、正态分布指数分布、均匀分布、正态分布1 1 某地抽样调查结果表明，考生的外某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩平均成绩=72,=72,又又9696分以上占考生总数的分以上占考生总数的的的概概率率不不超超过过个个月月的的月月降降水水量量都都起起连连续续的的正正态态分分布布求求从从某某月月）（单单位位：，某某地地区区的的月月降降水水量量服服从从cm

18、cm5010440 23 3 设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7 7时起每隔时起每隔1515分钟来一班车分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是如果某乘客到达此站的时间是 7:00 7:00 到到7:307:30之间的之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5 5分钟的分钟的概率概率2.32.3,求考生的外语成绩在求考生的外语成绩在6060分至分至8484分之间的概率。分之间的概率。96023.0XP961XP)7296(1977.0)24(977.0)2(查表查表2)127260()127284(8460 XP1)1(2)1()1(682.0考生的外

19、语成绩在考生的外语成绩在60分至分至84分之间的概率为分之间的概率为0.682。1 解解：考生外语成绩：考生外语成绩XN(72,2).由题意由题意解：解：22440，则：该地区的月降水量设：NXX月降水量不超过再设：cmA50 50XPAP则：)44050(5.299379.0cmP5010个月降水量都不超过连续所以，1099379.09396.0其其密密度度函函数数为为 其它其它0300301xxf3 解：解：设该乘客于设该乘客于7时时X分到达此站分到达此站 上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间则则300X令：令：B=候车时间不超过候车时间不超过5分钟分钟 30251510 XPXPBP则则 30251510301301dxdx31